Týdeník věnovaný aktualitám a novinkám z fyziky a astronomie. Vydavatel: AGA, IČO: 26551772, ISSN: 1214-1674, Číslo Speciál B  (vyšlo 21. července), ročník 2 (2004) (c) Copyright Aldebaran Group for Astrophysics Publikování nebo šíření obsahu je zakázáno. Email: bulletin@aldebaran.cz

Speciál B/2004

Václav Kaizr: Měření univerzální gravitační konstanty

Gravitace je základní interakcí zodpovědnou za pohyb planet, hvězd a galaxií. Podstatnou měrou ovlivňuje charakter struktur ve vesmíru. Gravitace působí na všechna tělesa bez výjimky a je tak jedinou skutečně univerzální interakcí. Vliv gravitace na planety poprvé pozoroval Tycho Brahe. Z jeho pečlivých měření poloh zformuloval Johannes Kepler tři zákony nebeské mechaniky týkající se pohybu planet. Objevil, že planety se pohybují po elipsách, v jejichž ohnisku je Slunce, zjistil, že planety se blíže ke Slunci pohybují rychleji než ve větších vzdálenostech a nalezl vztah mezi oběžnou dobou planety a poloměrem její dráhy. Obecný gravitační zákon zformuloval ale až sir Isaac Newton v roce 1678: Síla působící na dvě tělesa je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná kvadrátu jejich vzdálenosti:

F = G m₁m₂/r².

Konstanta úměrnosti G v tomto zákonu se nazývá univerzální gravitační konstanta a její hodnota je jediným parametrem charakterizujícím gravitační interakci.

Sir Isaac Newton podle pověsti přemýšlí v sadu nad otázkou proč padá jablko.

Gravitační interakce působí skutečně na všechna tělesa bez rozdílu. Pro elementární částice je ale neporovnatelně menší než ostatní interakce. Například gravitační přitahování dvou protonů je 10³⁶ krát slabší než jejich elektrostatické odpuzování. Proto má gravitační působení význam až u větších těles, která jsou již elektricky neutrální a krátkodosahové interakce (slabá a silná) se neuplatňují.

Cavendishova měření pomocí torzního kyvadla

První měření gravitační konstanty provedl v roce 1798 Henry Cavendish v experimentu s torzním kyvadlem, který se zapsal zlatým písmem do dějin fyziky. Experiment původně navrhl John Michell (1724-1793), sám sestrojil měřící zařízení, ale zemřel dříve než mohl experiment uskutečnit. Po jeho smrti získal aparaturu Francis John Hyde Wollaston, který ji věnoval Cavendishovi.Ten ji přestavěl a provedl řadu pečlivých experimentů, které umožnily první změření gravitační konstanty.

Jak zařízení vypadalo? Šlo o dřevěnou tyč dlouhou 180 cm, na obou koncích opatřenou malými kovovými koulemi. Tyč byla vodorovně zavěšena na svisle upevněném vlákně. Takovéto zařízení se nazývá torzní váhy a je schopno torzně kmitat na vlastní frekvenci kolem rovnovážné polohy. Vratnou silou je kroutící moment ve vlákně. Silový moment potřebný ke stočení vlákna o daný úhel je úměrný čtvrté mocnině poloměru vlákna. Pro tenká vlákna proto stačí ke stočení nepatrná síla. Cavendish do blízkosti malých koulí přiložil velké olověné koule (každá o hmotnosti 160 kg) a pomocí malého dalekohledu měřil změnu rovnovážné polohy torzních kmitů (stočení vlákna způsobené gravitací): Z naměřeného úhlu potom vypočetl hodnotu gravitační konstanty.

Schéma Cavendishova experimentu. Na zrcátko byl poslán světelný (později laserový)
paprsek, z jehož stopy na stupnici se odečetlo stočení rovnovážné polohy.

Po změření gravitační konstanty je možno určit z tíhy olověné koule (síly, kterou je přitahováno Zemí) hmotnost Země. Proto tento experiment vešel do dějin pod názvem "vážení Země". Cavendishovi vyšla hodnota gravitační konstanty G = 6,75×10⁻¹¹ N·kg⁻²·m² a hodnota hmotnosti Země 5,90×10²⁴ kg.

Další metody měření

Odklon od svislice

Další metoda měření gravitační konstanty (a tím hmotnosti a průměrné hustoty Země) spočívá v měření úhlu mezi svislicí a volně zavěšeným tělesem vychýleným ze svislé polohy gravitačním působením dalšího velkého tělesa, například olověné koule. Bohužel úhel, o který se zavěšené těleso vychýlí, je tak malý, že je tato metoda v praxi nepoužitelná. V laboratorních podmínkách totiž není možné použít dostatečně hmotné těleso, které by způsobilo výchylku o měřitelný úhel. Modifikací této metody se roku 1738 pokusil změřit velikost gravitační konstanty Pierre Bouguer, francouzský geofyzik. Místo olověné koule použil celou horu. Na úpatí hory Chimborasso, která stojí osamocena v krajině, naměřil úhel 7,5” což ho vedlo k závěru, že Země je 22 krát hustější než voda. Tento výsledek by sice v současné době neobstál, avšak byl velice důležitý z jiného důvodu. Ukázal, že Země není homogenní a že povrchové vrstvy mají nižší hustotu. Dalšími, kdo vylepšili tuto metodu byli Nevil Maskelyne a Charles Hutton. Roku 1774 zřídili dvě měřící stanice na stejném poledníku u skotského hřebenu Schiehallion. Kdyby na závaží, použitá v experimentu, nepůsobila žádná síla vyvolaná masivem, tak by na jižním i severním svahu naměřili stejný směr svislice vzhledem ke hvězdám. Avšak mezi měřenými úhly byla odchylka 15″. Problémem u těchto druhů měření však bývá zjistit rozměry a hustotu kopce či hory, u kterého se tyto pokusy provádí. Oba experimentátoři měřili u masivu celé dva roky a nakonec odhadli průměrnou hodnotu hustoty kopce na 2,5 g/cm³. Tak došli k závěru, že hustota Země je 4,5÷5 g/cm³.

Metoda kyvadla

Měříme-li dobu kyvu kyvadla, můžeme určit gravitační zrychlení a odsud usuzovat na hmotu Země či hodnotu gravitační konstanty. Kdyby Země byla homogenní koulí, bylo by gravitační zrychlení pod jejím povrchem přímo úměrné vzdálenosti pozorovacího místa od jejího středu. Což by mělo za následek, že při sestupu do nitra Země by hodnota gravitačního zrychlení klesala. Pozorujeme však pravý opak. Tento jev je způsoben vzrůstající hustotou vrstev pod povrchem. Metodu kyvadla ke svým experimentům použil v roce 1854 George Biddell Airy. Pokus prováděl v šachtě uhelného dolu ve Walesu. Šachta byla hluboká 383 m a kyvadlo umístěné na dně se předbíhalo za 24 hodin o 2 s. Jako nejpravděpodobnější hustotu okolní povrchové vrstvy zvolil hodnotu 2.5 g/cm³. Z tohoto předpokladu mu vyšla hmotnost Země M_Z = 7,2×10²⁴ kg a gravitační konstanta G = 5,5×10⁻¹¹ m³·s⁻²·kg⁻¹. Dále se touto metodou zabývali Haughton a Sterneck na šachtě sv. Vojtěcha u Příbrami. Šachta je hluboká 1 000 m. K jejich údivu začalo v této hloubce gravitační zrychlení opět klesat. Z jejich měření určili průměrnou hustotu v rozmezí 5,7÷7,6 g/cm³, čemuž odpovídá hmotnost Země v rozmezí (6,1÷8,2)×10²⁴ kg a hodnota gravitační konstanty v rozmezí (4,9÷6,5)×10⁻¹¹ m³·s⁻²·kg⁻¹.

Medaile ze slitiny olova se sv. Barborou na památku zasvěcení
tisícimetrové hloubky na dole Vojtěch u Příbrami z roku 1875.
Průměr 30 mm - váha 7.45 g. V tomto dole měřili gravitační
konstantu Haughton a Sterneck.

Jollyho váhy

Philipp von Jolly byl dalším, kdo v letech 1879 až 1880 měřil gravitační konstantu. Experiment uskutečnil ve věži univerzitní budovy v Mnichově. Ke svému pokusu si vybral speciální váhy, které umístil uvnitř věže. Pod každou miskou bylo lanko s další (dolní) miskou vzdálenou 21 m. V první fázi byly váhy v rovnováze, v horních miskách byly baňky s 5 kg rtuti, v dolních baňky prázdné. Dolní baňky byly identické s horními a měly za účel vyloučit vztlakové síly. Pod jednou dolní miskou byla umístěna olověná koule o průměru 1 m a hmotnosti 5 775 kg. Lze předpokládat, že v této fázi experimentu na rtuť vzdálenou 21 metrů koule gravitačně nepůsobila. V druhé fázi se baňka se rtutí vyměnila s prázdnou baňkou tak, aby na rtuť působila gravitačně olověná koule a z výchylky vahadla sledované pomocí odrazu paprsku od zrcátka na vahadle Jolly určil hodnotu gravitační konstanty. Bohužel je tato metoda náchylná na vnější vlivy (zejména změnu teploty, vzdušné proudy, atd.). Zlepšení experimentu provedl John Henry Poynting v roce 1891, který umístil olověnou kouli na otočnou desku, čímž byla umožněna snazší manipulace a koule tak mohla být pohodlně přesunuta pod obě dolní misky.

Schématické znázornění Jollyho experimentu. Nalevo: první fáze
experimentu. Napravo: Vychýlení ramena vah po přehození baněk.

Současnost

Zpřesňování měření univerzální gravitační konstanty probíhá samozřejmě až do současnosti. Většina měření využívá výše popsané metody, nejčastěji se používá různě modifikovaného Cavendishova experimentu. V roce 1930 byla navržena rezonanční metoda J. Zahradníčkem z Československa. Váhy s velmi hmotnými tělesy na miskách jsou umístěny v blízkosti prázdných testovacích vah, které jsou upraveny tak, aby měly stejnou frekvenci. Testovací váhy se rezonančně rozkmitají a z amplitudy kmitů je možné určit gravitační konstantu. K přesnému měření gravitační konstanty použil navržené zařízení C. Pontikis z Francie v roce 1972.

Měření gravitační konstanty je mimořádně obtížné. Jde o interakci, která je v porovnání s elektromagnetickou interakcí velmi slabá. Nejčastěji používaná Cavendishova metoda (s torzním kyvadlem) je zatížena chybou způsobenou velkým rozdílem mezi hmotností torzního kyvadla a hmotností koule, která gravitačně stáčí jeho rovinu. Díky značnému rozptylu měření z posledních 10 let, jehož podstatu se nepodařilo objasnit, přistoupil mezinárodní výbor Committee on Data for Science and Technology ke zvýšení udávané relativní chyby z hodnoty 1,28×10⁻⁵ na hodnotu 1,5×10⁻⁴. Stalo se tak v roce 1999, dvě stě let po provedení Cavendishova experimentu. Gravitační konstanta je dnes určena s nejmenší přesností ze všech fundamentálních konstant.  NIST (National Institute of Standards and Technology) udává poslední hodnotu z roku 2002, a to G = (6,6742±0,0010)×10⁻¹¹ m³·s⁻²·kg⁻¹ s relativní přesností 1,5×10⁻⁴.

O lidech ...

Odkazy