Pohyb částic ve zkříženém elektrickém a magnetickém poli

Karel Řezáč, FEL ČVUT, 2003

Na této stránce se Vám pokusím vysvětlit pohyb částic ve zkříženém elektrickém a magnetickém poli. Jak známo, pohyb částic závisí na několika faktorech. Je to samozřejmě velikost a směr elektrického a magnetického pole, počáteční rychlost částic, náboj částic a také jejich hmotnost. Většina lidí ví, že elektrické pole částici urychluje a magnetické pole zakřivuje její trajektorii. Jak je to ale, když se pohybuje ve zkříženém elektrickém a magnetickém poli? Je to pouhé složení těchto dvou pohybů? Na tuto otázku hodně lidí odpoví špatně. Není to pouhé složení pohybů! Jak to tedy ve skutečnosti funguje se vám pokusí ozřejmit aplet, který je umístěn v dolní části této stránky. Stačí snad jen dodat, že se počítají trajektorie dvou částic (jedna s kladným nábojem, druhá se záporným nábojem, které jsou od sebe natolik vzdáleny, že se navzájem neovlivňují.

V kombinovaném elektrickém a magnetickém poli se pohyb částice skládá ze dvou částí:

1. Driftu, tj. odvalování částic konstantní rychlostí kolmo na obě pole. Obecně tento typ pohybu nelze složit jako pohyb v elektrické a magnetické komponentě a koná se po křivkách, které se jmenují trochoidy. Speciálním případem je cykloida.
2. Elektrická složka pole rovnoběžná s polem magnetickým urychluje kladně a záporně nabité částice na opačné strany. Částice, která má rychlost rovnoběžnou s magnetickými silokřivkami není magnetickým polem ovlivněna.

Více o této problematice naleznete ve skriptu Teoretická mechanika nebo v učebnici Teorie plazmatu. Návod ke spuštění apletů je na úvodní straně.

Výpočet

Na částici v elektromagnetickém poli působí Lorentzova síla

Po dosazení předpisu pro sílu

dostáváme soustavu tří diferenciálních rovnic druhého řádu

kterou musíme řešit. K řešení lze použít několik různých výpočetních schémat. Například to jsou: Newtonovo schéma, Runge-Kutta 4. řádu, Boris-Buneman schéma, Kanonické schéma a další. Pro náš výpočet jsem zvolil Kanonické schéma (pro výpočet nelze použít Newtonovo schéma - je to metoda pouze 1. řádu s velkou chybou). Výpočet je ukončen pokud se částice octne mimo oblast, která je pro nás zajímavá (tato oblast je o něco větší než zobrazovaná oblast) nebo pokud je proveden zadaný počet výpočetních kroků (nastavení viz ovládání).

Zobrazení

Trajektorie pohybu částic jsou zobrazovány v jednotlivých řezech. Více napoví obrázek:

Toto je prostor, ve kterém se počítají trajektorie částic.

           

Zde jsou zobrazeny jednotlivé řezy. Podívejte se pozorně na pojmenování řezů a na polohy os v těchto řezech.

Ovládání

Hodnoty vstupující do výpočtu se nastavují pomocí posuvníků a editačních polí. Můžeme takto měnit hodnoty elektrického pole E, hodnoty magnetického pole B a počáteční rychlost v obou částic. Vše se nastavuje ve třech složkách (x, y, z). V editačním poli lze zadat podíl hmotnosti kladně nabité částice/hmotnosti záporně nabité částice. Jinými slovy, kolikrát je kladná částice těžší (hodnoty musí být v rozmezí 1÷20). Počáteční poloha částic je (0, 0, 0) a nelze ji nastavovat.

V apletu lze také pomocí náčtového pole Step nastavit délku výpočtu tj. počet výpočetních kroků. Jsou akceptovány hodnoty od 1 do 10000. Také můžete zvětšit zobrazené trajektorie pomocí posuvníku Zoom. Hodnoty zvětšení se pohybují v rozmezí 0,1÷10. Výpočet se odstartuje tlačítkem Start. Při spuštění apletu jsou již některé hodnoty nastaveny a je odstartován výpočet.

Ukázky, speciální případy

Jako první speciální případ Vás asi napadne triviální případ, kdy jsou obě pole nulová a částice má nulovou nebo nenulovou rychlost. Ano, je to jeden ze speciálních případů, ale myslím si, že si ani nezaslouží obrázek. Ostatně vyzkoušejte sami.

Dalším speciálním případem je přítomnost pouze magnetického pole B. Pokud částici udělíme nenulovou rychlost, bude se pak pohybovat po kružnici s Larmorovým poloměrem. Na ukázku jsou zde projekce x–y a z–x.

       

Pokud je pro změnu přítomno pouze elektrické pole E, jsou částice urychlovány ve směru respektive proti směru tohoto pole. I zde si myslím, že obrázek není třeba. Vyzkoušejte si sami a odpovězte si na otázku: Jakým směrem poletí záporně nabitá částice? Ve směru nebo proti směru E?

Jako poslední speciální případ jsem zvolil přítomnost obou polí E i B (pro náš případ jsou pole na sebe kolmá). Pak dochází k takzvanému driftu (obě částice se odvalují stejným směrem, pouze jejich rotace se liší). Na ukázku jsou zde projekce x–y a z–x. Při spuštění je aplet nastaven na tento speciální případ.

       

Pohrajte si s nastavováním velikosti a směru polí a počáteční rychlosti částic. Lehce můžete získat i tyto obrázky.

       

Aplet