Týdeník věnovaný aktualitám a novinkám z fyziky a astronomie. Vydavatel: AGA (Aldebaran Group for Astrophysics) Číslo S4 – vyšlo 4. srpna, ročník 2 (2004) © Copyright Aldebaran Group for Astrophysics Publikování nebo šíření obsahu je zakázáno. ISSN: 1214-1674, Email: bulletin@aldebaran.cz

S4/2004

Pár otázek nad konstantami a jednotkami SI

Petr Kulhánek

BIPM – Bureau International des Poids et Mesures; International Bureau of Weights and Measures; Mezinárodní úřad měr a vah. Úřad má sídlo v Sevres v blízkosti Paříže. Založen byl v roce 1875 a jeho hlavním úkolem je zajistit jednotný celosvětový systém měr a vah. Prováděcí práva má výbor CIPM. CGPM – Conférence Générale des Poids et Mesures; General Conference on Weights and Measures; Všeobecná konference o mírách a váhách. Konference svolávaná za účelem řešení problematiky definice základních jednotek SI. CIPM – Comité International des Poids et Mesures; International Committee for Weights and Measures; Mezinárodní výbor pro míry a váhy. NIST – National Institute for Standards and Technology. Americký Úřad pro standardy a technologie. Založen byl v roce 1901.

Co je to přirozená soustava jednotek?

Kde se vlastně vzalo číslo vyjadřující rychlost světla ve vakuu – 299 792 458 m/s? Jaký má význam? Samozřejmě, význam je jasný, jde o maximální rychlost přenosu informace, o rychlost šíření elektromagnetické interakce. Ale hodnota sama závisí na tom, čemu říkáme metr a čemu sekunda. Kdybychom si v historii zvolili jiné jednotky pro měření vzdálenosti a jiné jednotky pro měření času, měla by rychlost světla úplně jinou hodnotu. A tady se vtírá myšlenka: nešlo by jednotky pro měření délky a času uzpůsobit tak, aby rychlost světla byla rovna nějakému hezčímu, kulatějšímu číslu? Třeba jedné? Ano, je to možné. Podívejme se, co by to znamenalo: c = 1, tedy 299 792 458 m/s = 1. To ale znamená vzájemný vztah mezi metrem a sekundou: 299 792 458 m = 1 s. Jinými slovy, k měření času a délky stačí jediná jednotka, například sekunda. Vzdálenosti již z převodního vztahu snadno dopočteme.

Na první pohled to vypadá divně. Měřit čas v sekundách, to je jasné. Ale měřit vzdálenosti v sekundách? Co je to sekunda vzdálenosti? To je jednoduché: je to vzdálenost, kterou prolétne světlo za sekundu, neboli světelná sekunda. Podobně se můžeme zeptat: A co je to hodina nebo rok vzdálenosti? Odpověď je stejná: je to vzdálenost, kterou světlo urazí za hodinu (tzv. světelná hodina) nebo za rok (tzv. světelný rok). Tyto jednotky jsou ve fyzice velmi oblíbené. Vždyť světelné roky se dostaly i do sci-fi literatury.

Tyto přirozené jednotky se využívají zejména v relativitě. Vždyť v teorii, která k popisu událostí využívá čtyři souřadnice (jednu časovou a tři prostorové) je nanejvýše přirozené, aby všechny čtyři osy měly stejný rozměr a vyjadřovaly se ve stejných jednotkách. A všechny vzorečky jsou mnohem jednodušší. Rychlost světla je rovná jedné a tak konstanta "c" ze vzorečků vymizí. Například známý vztah mezi energií a hmotností E = mc² bude ještě jednodušší: E = m. To, že hmota a energie jsou jedno a to samé, je zde vidět na první pohled.

Rychlosti v těchto jednotkách budou bezrozměrné, protože jde o vzdálenost dělenou časovým úsekem a obě veličiny mají nyní stejný rozměr. Řekneme-li, že rychlost tělesa je 0,5, neznamená to nic jiného, než že se v dané soustavě těleso pohybuje rychlostí 0,5 c, tedy polovinou rychlosti světla.

Co kdybychom se ale dožadovali, aby i gravitační konstanta byla rovna jedné? Potom budeme moci používat pro hmotnost, délku i čas jednu jedinou jednotku. Taková soustava jednotek se využívá ve speciální i obecné relativitě a nazývá se přirozená soustava jednotek (c = 1, G = 1). Obdobně se v kvantové teorii využívá často soustava jednotek, ve které je redukovaná Planckova konstanta rovna jedné (c = 1, ħ = 1). V každé z těchto teorií se zjednoduší vhodnou volbou jednotek řada vztahů a fyzikové se nemusí trápit s nepodstatnými koeficienty.

Jak vůbec vznikl metr? Jaká byla historie jeho zavedení?

Asi nejbohatší je historie vzniku metru. Je to dáno tím, že měření vzdáleností mělo prvotní význam. Zcela neúnosný nepořádek v délkových jednotkách panoval ve Francii na konci 18. století. Stále více politiků a vědců volalo po uzákonění jednotného systému měr a vah.

Sekundové kyvadlo: Těsně před rokem 1790 navrhli Jean Picard a Ole Rømer, aby nová jednotka délky byla stejně dlouhá jako závěs kyvadla o periodě 1 sekunda. Přesto, že návrh měl značnou podporu významných vědců té doby, neujal se. Hlavním důvodem byla závislost periody na zeměpisné šířce a nadmořské výšce, nová jednotka by musela být definována pro konkrétní místo na Zemi, navrhována byla samozřejmě Paříž.

Metr a poledník: V roce 1790 požádala Francouzská akademie vědeckou komisi v čele s Josephem Lagrangem a  Pierrem Laplacem, aby vyřešila problém nové délkové jednotky. 19. března 1791 komise navrhla, aby nová jednotka délky byla definována jako desetimiliontina zemského kvadrantu (vzdálenosti od pólu k rovníku měřené podél poledníku v nulové nadmořské výšce). Přestože realizace byla ještě složitější než u sekundového kyvadla, návrh byl přijat 26. března 1791. Měření nebylo principiálně možné provést podél celého kvadrantu. Na moři to nešlo a v polárních oblastech už vůbec ne. Proto byl vybrán co možná nejdelší úsek pevniny podél poledníku, jehož začátek i konec je u mořské hladiny. A který poledník byl zvolen? No samozřejmě ten procházející Paříží! Měření bylo prováděno z Dunkirku na severu Francie do španělské Barcelony. Delší část pevniny procházející podél poledníku ve Francii nebylo možné nalézt.

Měření započalo v létě 1792. J. B. J. Delambre prováděl triangulační měření od severu na jih, P. F. A. Méchain od jihu na sever, sejít se měli v Rodezu. Jižní část byla kratší, ale o to složitější, protože procházela Pyrenejemi. Měření se neobešla bez problémů a byla přerušena Francouzskou revolucí. V roce 1798 byla měření dokončena a z triangulačních měření čtyři nezávislí učenci vypočetli vzdálenost obou míst a následně velikost jednoho metru. Již od roku 1795 se vyráběly provizorní platinové metry, ten který se při 0 °C nejvíce blížil vypočtenému výsledku byl prohlášen 22. 6. 1799 za Mètre des Archives, prototyp metru. V roce 1837 zjistil Friedrich Bessel, že výpočty byly chybné, neuvažovaly zploštění způsobené rotací Země a tak se první prototyp metru lišil od zamýšlené délkové jednotky o 0,2 mm.

Bohužel se platinový metr prohýbal, při měření bylo třeba se dotýkat obou konců, atd. Vůbec nešlo o ideální řešení. V roce 1875 byl založen Mezinárodní úřad měr a vah BIPM (Bureau International des Poids et Mésures) se sídlem v Sevres u Paříže a 18 zemí podepsalo Dohodu o metru (Convention du Mètre). Nový metr zde byl uložen v roce 1889. Je vyroben z mimořádně tvrdé slitiny platiny a iridia (90 % Pt, 10 % Ir), profil má ve tvaru X (proti průhybu) a na rozdíl od původního metru je delší a metrová vzdálenost je na něm vyznačena ryskami. Bylo vyrobeno 30 číslovaných prototypů, z nichž číslo 6 se nejvíce blížilo minulému etalonu (Mètre des Archives) a proto byl prohlášen za nový metr (International Prototype). Stalo se tak na první Všeobecné konferenci o mírách a vahách CGPM (La Conférence Générale des Poids et Mesures), kde byly přesně stanoveny podmínky, za kterých je metr metrem. Od nového prototypu byly odvozeny národní metry jednotlivých zemí.

Metr a světlo: V podstatě od zavedení prototypu metru v roce 1899 byly konány pokusy definovat metr pomocí vlnové délky světla. V letech 1892 až 1893 přeměřil prototyp metru svým interferometrem Albert Michelson a definoval metr pomocí násobku vlnové délky červené čáry kadmia. Jeho měření potvrdili v roce 1906 Charles Fabry a Alfred Pérot novým typem interferometru. V roce 1952 byla ustanovena komise pro posouzení možnosti nově definovat metr pomocí vlnové délky světla. K tomu došlo v roce 1960, na jedenácté konferenci CGPM. Metr byl definován jako 1 650 763.73 násobek vlnové délky oranžovo-červené čáry kryptonu ve vakuu. Tato definice se udržela do roku 1983.

Metr a sekunda: V roce 1983 na konferenci CGPM došlo k poslední změně v definici metru. Byl definován pomocí jiné jednotky SI, sekundy a to takto: Metr je délka dráhy, kterou proběhne světlo ve vakuu za 1/299 792 458 sekundy. Touto definicí je ovšem přesně definována rychlost světla a její hodnota je proto 299 792 458 m/s přesně.

1799	Z provizorních platinových metrů byl vybrán Mètre des Archives, prototyp metru odvozený z délky zemského kvadrantu.
1889	Byl schválen nový prototyp ze slitiny platiny a iridia, odvozen od skutečné velikosti Mètre des Archives.
1960	Metr definován jako 1 650 763,73 násobek vlnové délky světla emitovaného ve vakuu přechodem elektronu ze stavu 2p10 do stavu 5d5 v izoleft-topu kryptonu s hmotnostním číslem 86.
1983	Metr definován jako dráha, kterou světlo proběhne ve vakuu za 1/299 792 458 zlomek sekundy.

A co kilogram a sekunda?

Kilogram: Snad nejjednodušší byl vývoj kilogramu. Již na konci 18. století byl kilogram chápán jako hmotnost 1 litru vody. V době, kdy byly připravovány prototypy metru, bylo také ze slitiny platiny a iridia odlito 40 prototypů kilogramu a jeden z nich byl vybrán a v roce 1899 byl prohlášen na první Všeobecné konferenci o mírách a vahách CGPM (La Conférence Générale des Poids et Mesures) za prototyp kilogramu. Od té doby je uložen v Mezinárodním úřadu pro míry a váhy (BIPM) v Sevres u Paříže. Jde o poslední jednotku SI definovanou pomocí prototypu. V poslední době proto probíhají intenzivní jednání o změně definice kilogramu tak, aby nebyla závislá na reálném etalonu. Jedna z možností je definice za pomoci Planckovy konstanty (viz bulletin Speciál C).

Sekunda: Sekunda byla původně definovaná jako 1/86 400 díl středního slunečního dne. Vzhledem k nerovnoměrnostem v rotačním pohybu Země, nebyla tato definice dlouhodobě udržitelná. V roce 1960 na jedenácté konferenci CGPM byla změněna definice sekundy. Byla přijata definice Mezinárodní astronomické unie založená na přesně definovaném zlomku tropického roku (doby zdánlivého oběhu Slunce kolem Země vzhledem k ekliptice). Krátce poté se ale ukázalo, že definice založená na frekvenci záření při přechodu mezi dvěma hladinami v atomu či molekule by byla mnohem přesnější. Proto došlo ke změně definice sekundy v roce 1967, stalo se tak na třinácté konferenci CGPM. Od té doby je sekunda definována jako doba trvání 9 192 631 770 period záření, které odpovídá přechodu mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu atomu cesia 133.

1889	Sekunda definována jako 1/86 400 díl středního slunečního dne. Kilogram definován jako hmotnost platino-iridiového prototypu uloženého v Mezinárodním úřadu pro míry a váhy v Sevres u Paříže.
1960	Sekunda definována jako určitý zlomek tropického roku.
1967	Sekunda definována jako doba trvání 9 192 631 770 period záření, které odpovídá přechodu mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu atomu cesia 133.

Mezinárodní úřad pro míry a váhy v Sevres u Paříže

Co by se stalo, kdyby měly fundamentální konstanty jinou hodnotu?

Nevím, zda na tuto otázku lze vůbec odpovědět, ale slýchám ji velmi často. My žijeme ve světě, kde karty byly rozdány kdysi dávno a hodnota rychlosti světla, gravitační a Planckovy konstanty je prostě taková, jaká je. Kdyby vesmír vznikl s jinými hodnotami fundamentálních konstant, vypadal by úplně jinak a možná by také vůbec nevzniknul. Vždyť jen nepatrně odlišná hodnota gravitační konstanty znamená úplně jiné rozměry hvězd a galaxií a pravděpodobně vznik úplně nových neznámých struktur. Vyšší hodnota gravitační konstanty by mohla znamenat takovou přitažlivou sílu, že by zabránila expanzi vesmíru a pravděpodobně vůbec jeho vzniku. Naopak nižší hodnota by vedla k rychlému rozfouknutí celého vesmíru a nedostatek času pro vznik hvězd a galaxií. A to jsme se zamysleli jen nad gravitační konstantou, kde její role v dnešním vesmíru je víceméně jasná. Ale co teprve Planckova konstanta? Její odlišná hodnota by znamenala značný vliv na vesmír hned v jeho zárodečných stádiích, kdy hustota hmoty a energie částic byly tak obrovské, že pro popis těchto fází je potřebná kvantová teorie, kde je Planckova konstanta ústřední hodnotou.

Kdyby dnes měla Planckova konstanta výrazně vyšší hodnotu, mohli bychom vnímat kvantové jevy přímo kolem nás. Jakmile bychom na cokoli sáhli, ihned bychom to ovlivnili. Viděli bychom kvantově rozmazaný svět s konečnou rozlišovací schopností. Podobně jako záměrně rozostřený obrázek na monitoru počítače bychom vnímali vše kolem nás. Jen by principielně nebylo možné zaostřit. Krasobruslař dělající piruetu by se roztáčel trhaně, po kvantových skocích, vše by se odehrávalo podle pravděpodobnostního scénáře, nebylo by předem dáno, co se odehraje za chvíli. Kostky ledu ve sklenici s nápojem by divoce kmitaly mezi stěnami.

Pokud by rychlost světla měla výrazně nižší hodnotu, mohli bychom kolem nás zase pozorovat relativistické jevy. Rychlosti dvou pohybujících se předmětů by se nesčítaly, těleso letící kolem nás by se natáčelo a zkracovalo ve směru pohybu, chodec by měl na hodinkách jiný čas než zevlující pobuda, Temelín by produkoval méně energie.

Existuje jedna krásná knížka, ve které se můžete vydat do světů s jinými hodnotami fundamentálních konstant a spolu s panem Tomkinsem prožít nejedno dobrodružství. Mistrovsky napsané příběhy pocházejí z pera teoretického fyzika George Gamowa a první z nich vyšel již v roce 1936 (Mr. Tomkins in Wonderland). V českém překladu vyšla knížka například v roce 1986 (George Gamow: Pan Tomkins v říši divů, Mladá fronta, 1986) a navazující příběhy v roce 2001 (George Gamow, Russell Stannard: Pan Tompkins – stále v říši divů, Aurora, 2001). Určitě existují i další překlady tohoto vynikajícího díla.

Mění se fundamentální konstanty?

S představou, že by se fyzikální konstanty mohly s časem měnit se fyzikové zabývali již dávno. První seriózní práci na toto téma uveřejnil Paul Adrien Maurice Dirac v časopise Nature v roce 1937. Jeho hypotéza se dnes nazývá LNH (Large Number Hypotheses, hypotéza velkých čísel). Dirac si povšiml, že z některých velkých čísel lze vytvořit bezrozměrné kombinace a ve svém dopise časopisu Nature poukazuje na dvě z nich. Prvním je podíl stáří vesmíru a doby průchodu světla atomem N₁ ~ t₀/(e²/m_ec³) ~ 10⁴⁰. Druhým bezrozměrným číslem je podíl elektrické a gravitační síly mezi protonem a elektronem N₂ ~ e²/(Gm_pm_e) ~ 10³⁹. Obě čísla dávají řádově srovnatelnou hodnotu. První z nich se ale mění se stářím vesmíru. Dirac přišel s myšlenkou, že by podobnost obou čísel nemusela být náhodná, ale obě by mohla v poměru tvořit přirozenou malou konstantu. To by ale znamenalo proměnnost druhého čísla s časem a tím i proměnnou gravitační konstantu, která by byla nepřímo úměrná stáří vesmíru. Dirac dále ukázal, že by to znamenalo například proměnný poloměr dráhy Měsíce. Z dnešních pozorování víme, že pokud se gravitační konstanta mění s časem, je její relativní změna menší jak 10⁻⁹ % za rok.

Diracova hypotéza působila na fyziky jako červená barva na býka. Nekonečné diskuze, v nichž někteří významní fyzikové hypotézu ostře odsoudili a jiní zase bezhlavě propagovali. Džin vypuštěný z láhve se však nedá zastavit. Za posledních půl století se objevily snad stovky teorií o proměnnosti fundamentálních konstant. Pravdou je, že žádná z těchto teorií nebyla nikdy potvrzena, dnes jsou známy horní hranice pro hypotetickou proměnnost konstant dané přesností experimentálního určení fundamentálních konstant.

Co jsou to Planckovy škály?

Na počátku 20. století ukázal Max Planck, že tři fundamentální konstanty c, G a h lze jednoznačným způsobem (až na násobící číselný faktor) zkombinovat tak, abychom získali veličinu, která má rozměr času. Obdobně lze vytvořit jednoznačné kombinace, které mají rozměr délky, hmotnosti a energie. Těmto veličinám se říká Planckovy škály. Výsledné hodnoty jsou více než zarážející. Planckova délka, Planckův čas, Planckova hmotnost a energie by měly být jakýmisi přirozenými jednotkami v našem vesmíru. Pak se ale musíme ptát: "Proč je náš vesmír tak veliký, tak starý a tak hmotný? Jaký je význam Planckových škál?"

Zdá se, že na některé otázky dávají odpověď dnešní kosmologické modely založené na sjednocovacích teoriích gravitace s ostatními interakcemi. Planckův čas zde koresponduje s okamžikem oddělení gravitační interakce od ostatních interakcí. Teprve od doby 10⁻⁴³ s zde začíná fungovat samostatná gravitační interakce a pro popis vesmíru je možné použít obecnou relativitu. V časech dřívějších musíme uvažovat i ostatní interakce. Planckova energie je potom typickou energií částic v Planckově čase, tedy v době oddělení gravitační interakce. Planckova hmotnost je jen hmotnostní ekvivalent Planckovy energie (hmotnost a energie souvisí vztahem E = mc²).

Kvantová teorie popisuje úspěšně slabou, silnou a elektromagnetickou interakci. K základním axiomům patří nekomutativnost teorie (k popisu přírody využívá nekomutující operace). Gravitační interakce je popsána obecnou relativitou, kde k základním axiomům patří zakřivení časoprostoru hmotnými objekty. Spojení obou teorií je těžko řešitelný oříšek. Nejnadějnější se zdá teorie strun, ve které jsou elementární částice jednorozměrné útvary ve vícerozměrném vesmíru. Nejčastěji používaný počet dimenzí vesmíru je v těchto teoriích deset. Desetirozměrný svět, ve kterém jsou čtyři pozorovatelné dimenze (čas a prostor) a šest je nějakým způsobem zavinutých (tzv. kompaktifikovaných) tak, že nejsou viditelné. Představte si chomáč vaty, na který se díváme z dálky – vypadá jako třírozměrné těleso. Když se podíváte zblízka, uvidíte jednotlivá vlákénka. I náš svět vypadá jinak při našem pohledu a jinak na úrovni malých rozměrů. Někdy se používá pojem kvantová pěna. V každém případě by Planckova délka měla odpovídat nejmenším strukturám na této úrovni, ať už jakýmsi vlákénkům či pěně.

Přicházíme tak k zajímavému poznání. V hodnotách fundamentálních konstant jsou zakódovány informace z nejranějších fází existence tohoto světa. A při poznání, že měřením rychlosti světla, gravitační a Planckovy konstanty se dozvídáme poselství 14 miliard let staré, až zamrazí.

Odkazy