Týdeník věnovaný aktualitám a novinkám z fyziky a astronomie. Vydavatel: AGA (Aldebaran Group for Astrophysics) Číslo 38 – vyšlo 6. prosince, ročník 11 (2013) © Copyright Aldebaran Group for Astrophysics Publikování nebo šíření obsahu je zakázáno. ISSN: 1214-1674, Email: bulletin@aldebaran.cz

38/2013

Zeemanov stroj na katastrofy

Vladimír Scholtz

Tento bulletin je venovaný matematike a podobnosť s politickou scénou je čisto náhodná. V matematike sa pod katastrofou rozumie náhla kvalitatívna zmena stavu systému spôsobená infinitezimálne malou zmenou riadiacich parametrov. V živote bežne zažívame rôzne či už väčšie alebo menšie katastrofy. Príkladom môže byť napríklad auto na útese. Auto sa približuje ku zrázu a v určitom bode dôjde náhle k pádu. Hlinená hrádza zadržiava vodu až do určitej výšky hladiny, kedy voda začne minimálne pretekať. Ďalej si už vymieľa stále väčší a väčší kanál, až sa celá hrádza odplaví. Katastrofa je v podstate tá povestná posledná kvapka, pri ktorej pohár pretečie. Vo fyzike sa za katastrofu môže považovať napríklad prechod látok k supravodivosti. Látka sa stáva náhle supravodivou, keď teplota poklesne pod kritickú teplotu a naopak supravodivosť náhle stráca, ak teplota vystúpi nad kritickú teplotu. Podobne, aj keď o niečo komplikovanejšie, je to aj so skupenskými premenami.

Obr. 1. Prof. Christopher Zeeman predvádza svoj stroj na katastrofy.

Počítačová simulace – napodobení skutečnosti pomocí numerického výpočtu, nezbytná součást modelování fyzikálních procesů. Dokáže na základě sofistikovaných algoritmů předpovědět jak kvantitativní, tak kvalitativní výsledky pokusů při různých počátečních podmínkách. Umožňuje omezit výběr jevů, které celý pokus ovlivňují nejvíce, a tím vysvětlit příčiny a podstatu procesů. Bifurkace – větvení řešení, které vede k náhlé změně chování systému v závislosti na malé změně nějakého řídícího parametru (například u fázového přechodu může jít o teplotu). K typické bifurkaci dochází v systému s několika základními stavy (energetickými minimy). Za nízké teploty dojde ke spontánnímu narušení symetrie a systém si „vybere“ jeden z dostupných základních stavů.

Príčina katastrof spočíva v dvoch (a prípadne viacerých) minimách potenciálnej energie systému. Pokiaľ sa systém nachádza v jednom z nich, nemôže bez vonkajšieho vplyvu prekonať lokálne maximum medzi nimi, aby sa dostal do druhého minima, a to ani v prípade, že by sa tým znížila jeho potenciálna energia. Systém musí počkať, kým sa nezmenia parametre tak, aby lokálne maximum potenciálnej energie medzi dvoma minimami zaniklo. Pre podrobnejší výklad doporučujem vhodnú učebnicu mechaniky, napríklad [3].

Princíp katastrofy je možné demonštrovať na Zeemanovom stroji na katastrofy. Anglický matematik, profesor sir Erik Christopher Zeeman, navrhol tento prístoj v 70. rokoch minulého storočia na demonštráciu princípu náhlej kvalitatívnej zmeny systému, tzv. bifurkácieBifurkace – větvení řešení, které vede k náhlé změně chování systému v závislosti na malé změně nějakého řídícího parametru (například u fázového přechodu může jít o teplotu). K typické bifurkaci dochází v systému s několika základními stavy (energetickými minimy). Za nízké teploty dojde ke spontánnímu narušení symetrie a systém si „vybere“ jeden z dostupných základních stavů., na príklade otáčajúceho sa kotúča. Majme kotúč s priemerom d otáčajúci sa okolo svojej osi, ku ktorému sú v jednom bode na okraji pripojené dve gumičky dĺžky d (v uvoľnenom stave). Koniec prvej gumičky je pevne spojený s bodom Q, koncom druhej gumičky môžeme voľne pohybovať. Situácia je jasná z obrázku.

Obr. 2. Zeemanov stroj na katastrofy.

Predpokladajme, že kotúč sa otáča bez trenia, má zanedbateľnú hmotnosť a že naťahujúce sa gumičky sa chovajú ako ideálne pružiny, to znamená, že ich návratná sila je úmerná predĺženiu (viz [3]):

F = −k Δl

Pokiaľ je uhol otočenia disku α a poloha voľného konca druhej gumičky x, y, sú dĺžky gumičiek rovné:

l₁ = √[(¹/2 d sin α)² + (³/2 d − ¹/2 d cos α)²],

l₂ = √[(x + ¹/2 d sin α)² + (y − ¹/2 d cos α)²],.

Z toho relatívne predĺženia sú

Δ l₁ = l₁ − d,

Δ l₂ = l₂ − d,

z čoho môžeme priamo spočítať potenciálnu energiu ako súčet potenciálnych energií dvoch pružín

E_p = ¹/2 k {√[(¹/2 d sin α)² + (³/2 d − ¹/2 d cos α)² ] – 1}² + ¹/2 k {√[(x + ¹/2 d sin α)² + (y − ¹/2 d cos α)²] – 1}².

Ďalšie analytické pokračovanie riešenia ponecháme na ľubovôle čitateľa, tu si ukážeme numerické riešenie pre dva významné prípady. Pre jednoduchosť položme k = 2 a d = 1. Pohybujme voľným koncom druhej gumičky vodorovne (y je konštantné) zľava doprava (x rastie zo záporných hodnôt do kladných) a sledujme prípadné katastrofy. Triviálny prípad bez katastrofy nastane napríklad v prípadoch keď je y = −3d = −3. Pre tieto prípady je priebeh potenciálnej energie pre dané y a rôzne hodnoty x v závislosti na uhle α znázornená na Obr. 3. Potenciálna energia (pre danú polohu konca druhej gumičky a pre meniaci sa uhol otočenia disku) má vo všetkých prípadoch iba jedno minimum, ktorého poloha (otočenie disku) sa posúva spolu s meniacim sa x.

Obr. 3. Zeemanov stroj bez katastrof.

Katastrofa nastane napríklad pre y = −1.5 d = −1.5. Pohybujme voľným koncom zľava doprava a sledujme chovanie potenciálnej energie. Prvý prípad pre x = −0.7 má stále iba jedno minimum, pre zvyšujúce sa x sa postupne objavuje druhé minimum, ktoré má zatiaľ stále vyššiu hodnotu. Pri x = 0 sa obe minima vyrovnajú a ďalej je druhé vzniknuté minimum nižšie ako pôvodné. Systém však nemôže prekonať lokálne maximum (otočiť disk na opačnú stranu) medzi nimi, a tak stále zostáva v lokálnom, aj keď nie globálnom minime. Toto lokálne maximum zmizne pri ďalšom pohybe doprava pre x ≈ 0.615. V tomto bode nastane katastrofa, stačí jemný pohyb správnym smerom a disk sa skokom natočí do novej polohy.

Obr. 4. Zeemanov stroj s katastrofou.

Praktická ukážka Zeemanovho stroja na katastrofy je priložená v nasledujúcom klipe. Do pozornosti odporúčam aj stránku [1] s apletom simulujúcim pohyb kotúča pri pohybe voľným koncom gumičky a prácu [2], kde je podrobnejšie diskutovaná teória katastrof.

Zeemanov stroj na katastrofy postavený zo stavebnice. (mp4/h264, 37 MB)

Odkazy