Buzené kmity
Matematický dodatek

Pružinový oscilátor je charakterizován tuhostí pružiny k, hmotností závaží m a koeficientem tlumení b. (b je konstanta úměrnosti mezi brzdnou silou a rychlostí)
Pohyb buzení, který rozkmitává horní část pružiny, popíšeme rovnicí: yB   =   AB cos (ωt),
 kde yB je okamžitá výchylka horního konce pružiny oproti klidové poloze, AB je amplituda budícího kmitání, ω je úhlová frekvence buzení a t je čas.

Naším úkolem je vyjádřit výraz pro velikost okamžité výchylky buzeného pružinového oscilátoru y v závislosti na čase. Užitím vztahu ω0   =   (k/m)1/2 popíšeme tento problém následující diferenciální rovnicí:

y''(t) = ω02(AB cos(ωt) – y(t)) – b y'(t)

Počáteční podmínky:  y(0) = 0; y'(0) = 0

Jestliže chcete řešit tuto difrenciální rovnici, musíte rozlišit mezi několika případy:

Případ 1: b < 2 ω0
 
Případ 1.1: b < 2 ω0; b ≠ 0 nebo ω ≠ ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)  +   e–bt/2[A1 sin (ω1t) + B1 cos (ω1t)]
ω1   =  (ω02 – b2/4)1/2
Aabs   =   AB ω02 b ω / [(ω02 – ω2)2+ b2 ω2]
Ael   =   AB ω02 (ω02 – ω2) / [(ω02 – ω2)2 + b2 ω2]
A1   =   – (Aabs ω + (b/2) Ael) / ω1
B1   =   – Ael

Případ 1.2: b < 2 ω0; b = 0 a zároveň ω = ω0

y(t)   =   (AB ω t / 2) sin (ωt)

Případ 2: b = 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e–bt/2 (A1 t + B1)
Aabs   =   AB ω02 b ω / (ω02 + ω2)2
Ael   =   AB ω02 (ω02 – ω2) / (ω02 + ω2)2
A1   =   – (Aabs ω + (b/2) Ael)
B1   =   – Ael

Případ 3: b > 2 ω0

y(t)   =   Aabs sin (ωt) + Ael cos (ωt)   +   e–bt/2 [A1 sinh (ω1t) + B1 cosh (ω1t)]
ω1   =   (b2/4 – ω02)1/2
Aabs   =   AB ω02 b ω / [(ω02 – ω2)2 + b2 ω2]
Ael   =   AB ω02 (ω02 – ω2) / [(ω02 – ω2)2 + b2 ω2]
A1   =   – (Aabs ω + (b/2) Ael) / ω1
B1   =   – Ael

 
 

URL: http://www.walter-fendt.de/ph14cz/resmath_cz.htm
© Walter Fendt, September 9, 1998
© Překlad do češtiny: Miroslav Panoš, Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy
Last modification: September 6, 2009

back Zpět na hlavní stránku