| Týden | Datum | Přednáška |
|---|---|---|
| 12 | 19. 15. 2017 |
Debyeova tepelná kapacita (založena na výpočtu energie od atomů tvořících vázané oscilátory)
1. 1d případ, na němž byl ukázán princip výpočtu, který spočívá v nalezení počtu energetických módů za pomocí vlnové rovnice a jejího řešení na úsečce 〈0, L〉, dosazením řešení do vlnové rovnice se získá vztah mezi módy stojatých vln a frekvencí, hustota stavů v závislosti na frekvenci dn = z(ω)dω, kde n je počet stavů a z(ω) je hustota stavů ve frekvencích. 2. 3d případ, počítání módů stojatých vln v krychli o straně L, zopakování co jsou Laplaceův a D'Ambertův operátor, v ortonormální bázi Δ = ∂xx + ∂yy + ∂zz a ⬜ = Δ − 1/v² ∂tt, nalezení vztahu pro počet stavů v závislosti na frenvenci (ve sférických souřadnicích v prostoru stavů), odvození hustoty stavů. Z Debyeovy tepelné kapacity bych požadoval umět napsat vlnovou rovnici, její řešení pro vlnu v krychli o straně L s okrajovými podmínkami nulových amplitud na stěnách a odvodit disperzní relaci, tj. zde vztah mezi frekvencí ω a rychlostí zvuku cs a umět odvodit hustotu stavů, budeme toto potřebovat i v budoucnu. Postup najdete ve shrnutí probrané látky na snímku 50 pro jednodimenzionální případ a na snímku 52 výpočet ve 3d. Protože je to však obtížnější část, zkoušet to jako celek nebudu, budu chtít znát řešení pro jednotlivé stavy a umět spočítat závislost počtu stavů na frekvenci a z tohoto napsat hustotu stavů. Edit 19. 12. 2017 pozdě večer: Ve shrnutí odpřednášeného učiva byly zrevidovány a doplněny snímky týkající se Debyeova modelu akustických kmitů krystalové mříže, snímky 53 a 54, podívejte se na ně. Okomentoval jsem horní mez v sumách pro středování energie přes všechny stavy dané frekvence, jelikož toto v žádné učebnici autoři nikde nezmiňují a automaticky dosadí jako horní mez nekonečno, přestože je v Debyeově modelu počet stavů vždy konečný, shora omezený jako pro pevně volenou fkekvenci, tak celkově. Na přednášce jsem tyto jemné nuance nezmiňoval. |
| 11 | 12. 15. 2017 |
Dnes přišel pouze jeden student, věnovali jsme se individuálně tématům fyziky podle jeho zájmu, což mi přišlo užitečnější, probírali jsme tenzory, jejich geometrický význam, vztah vektorů intenzity elektrického pole E, elektrické indukce D a vektoru polarizace P, svázané tenozrem susceptibility χ, podobně jako je síla F působící na orientovanou orientovanou plochu, jejíž orientace je dána normálovým vektorem n, dána tenzorovým vztahem F = σ⋅n kde "⋅" je zde skalární součin. Ve složkách Fi = Σσijnj, kde suma je přes index j, který se nazývá sumační neboli volný, index i vystupuje mimo sumu, je přítomný na levé i pravé straně rovnosti a nazývá se vázaný index.
Ne každá trojice čísel (a, b, c) je vektor, podobně jako ne každá devítice složek aij je tenzor druhého řádu, všechny složky ve stejném objektu musí mít stejný fyzikální rozměr a musí se transformovat při přechodu do jiné souřadnicové soustavy tak, aby se zachovávaly některé vlastnosti, u vektoru je to například jeho velikost, u tenzoru jeho stopa. Matematicky exaktně je vektor či tenzor lineární zobrazení a koeficienty ai resp. aij jsou souřadnice tohoto zobrazení v bázi dané souřadnicovým systémem. Toto však již je mimo rámec předmětu Fyzika pevných látek. V další části jsme probírali diagramy hustoty stavů a energetických hladin v závislosti na krystalografickém směru. Domluvili jsme se, že tuto partii zařadím na některou z příštích hodin. |
| 10 | 5. 15. 2017 |
Tepelná kapacita z klasického modelu (atomy jako klasické, třídimenzionální osciátory), zopakování vztahů pro LHO, předpoklady, výpočet, výsledek U = 3sRT, CV = 3sR (tzv. Dulong-Petitův zákon), podle kterého je tepelná kapacita konstantní. Výsledek je v souladu s experimentem pro vysoké teploty, kdežto pro nízké teploty naměřené hodnoty tepelných kapacit klesají a klasický vzorec tak selhává.
Einsteinova tepelná kapacita (založená na atomech v krystalu jako nezávislých třídimenzionálních kvantových oscilátorech), stavy energie En = nħω, střední energie je počítána z téhož vzorce jako u klasického modelu, jen zde máme pouze diskrétní stavy, místo integrálů jsou sumy. Rozdělovací funkce je, stejně jako v klasickém případě, Boltzmannovo rozdělení. Ke zkoušce nebudu chtít znát zpaměti výsledek ale předpoklady, na kterých je model Einsteinovy tepelné kapacity založen, umět spočítat součty v čitateli a ve jmenovateli výrazu pro střední energii, znát Boltzmannovo rozdělení, umět načrtnout graf a odvodit limitní případ Einsteinova rozdělení pro vysoké teploty (vyjde konstanta, jako u klasického výpočtu vedoucímu na Dulong-Pettitův zákon). |
| 9 | 28. 11. 2017 |
Kód v jazyce OpenSCAD generující první Brillouinovu zónu, ukázky Brillouinových zón pro různé typy elementárních buněk. Tematicky sice patří do krystalografie ale naprogramováno to bylo teprve teď. Program umožňuje nejen 3d zobrazení ale také různé numerické výpočty, stačí si prohlédnout kód a nechat funkcí echo() vypsat libovolný mezivýsledek.
Termodynamické potenciály - dokončení Konjungované proměnné - derivace jedné podle druhé je až na multiplikativní konstantu vždy nějaký empirický parametr, například koeficient objemové roztažnosti, tepelná kapacita, elektrická permitivita apod. Užitečné vztahy mezi parciálními derivacemi a úplnými diferenciály a jejich úpravy, derivace složené funkce, vztah (∂x/∂y)z(∂y/∂z)x(∂z/∂x)y = −1. Transformace přírůstku proměnné do jiné množiny proměnných. Jakobiho determinat a jeho použití v úpravách výrazů s parciálními derivacemi. Tepelná kapacita krystalu Klasický model, v němž každý atom je klasický oscilátor s energií E ∈ 〈0, ∞〉, střední energie se vypočítá z Boltzmannova rozdělení, selhání klasického výsledku pro tepelnou kapacitu při malých teplotách. |
| 8 | 21. 11. 2017 |
Úvod do termodynamických potenciálů
Pfaffova diferenciální forma dΩ = ∑αidxi. Věta o ekvivalencích pro diferenciální formu, která je úplným diferenciálem: Pro jednoduše souvislou oblast proměnných x1, x2, ..., xn jsou následující tvrzení ekvivalentní: ① integrál ∫dΩ nezávisí na cestě, ② existuje funkce Φ(x1, x2, ..., xn) taková, že integrál ∫dΩ se rovná rozdílu hodnot této funkce v počátečním a koncovém bodě integrační křivky, funkce Φ se nazývá potenciálem diferenciální formy dΩ, ③ koeficienty αi se rovnají derivaci potenciálu podle proměnných xi, ④ platí Eulerovy reciproční vztahy, derivace koeficientu αi podle proměnné xj rovná se derivaci s prohozenými indexy. Věta tvrdí, že ① ⇔ ② ⇔ ③ ⇔ ④, v oblasti, která není jednoduše souvislá, tj. ve které chybí izolované body nebo celé podoblasti, můžeme vést integrační křivků mezi dvěma body a hodnoty takových integrálů se mohou lišit, přestože vlastnosti ③ a ④ splněny jsou. První termodynamický zákon v přírůstkovém tvaru dU = dQ − dA, entropie dS = (1/T)dQ. Termodynamické potenciály, jejich přírůstková vyjádření a další vztahy: ▶ entalpie H = U + pV, ▶ Helmholtzova energie F = U − TS, ▶ Gibbsovaova energie G = U + pV − TS. Tepelné kapacity CV a Cp, jejich definiční vztahy a jejich vyjádření pomocí termodynamických potenciálů. |
| 7 | 14. 11. 2017 | Lennard-Jonesův potenciál, nalezení minima a energie v minimu
Elektrostatická složka vazby iontového krystalu, Madelungova konstanta, například pro kubickou mřížku M = ∑(−1)i+j+k+1/√(i2+j2+k2) Odvození vztahů pro vlnovou délku částice v závislosti na kinetické energii, speciálně pro foton, který má nulovou klidovou energii. Výrazně byl předělaný snímek 28 z opakovací prezentace, je nyní přehlednější a logičtější, podívejte se na něj. Příklad na výpočet reciprokých vektorů pro konkrétně zadanou krystalovou mříž (hexagonální, u zkoušky můžete dostat podobný příklad s jinou mříží). |
| 6 | 7. 11. 2017 | Ewaldova konstrukce - vektory k' mohou ležet pouze na na povrchu koule o poloměru |k|, přičemž vektor k se dotýká jednoho uzlu reciproké mříže, tam kde na sféře leží některý z dalších uzlů reciproké mříže, existuje jedno řešení k' pro difrakční maximum.
Experimentální vyšetřování krystalů:
|
| 5 | 31. 10. 2017 | Reciproký prostor, definice vektorů reciproké mříže, explicitní vyjádření vektorů reciproké mříže z definice, ilustrace že souhlasí směr a velikost, důkaz jednoznačnosti je v textu ke cvičení, kde jsou reciproké vektory vyjádřeny jako řešení soustavy rovnic; translační vektor reciproké mříže G a jeho vztah k translačnímu vektoru T (nebylo ukázáno zvlášť ale až dále u odvození periodicity koncentrace elektronů n(r) = n(r + T) vyjádřené jako Fourierův rozvoj, že mezi vektory G a T platí relace ejr⋅G = 1); tvrzení bez důkazu (viz příklady), že směr G = ha* + kb* + lc* je stejný jako normála k rovině (h k l) (důkaz viz text ke cvičení) a vzorec dhkl =2π/|Ghkl| (důkaz také viz text ke cvičení).
Obecná difrakční podmínka, důkaz, že koncentrace elektronů vyjádřená ve tvaru Fourierovy řady n(r) = ΣnGejr⋅G je periodická funkce s periodou T; Odvození obecné difrakční podmínky G − Δk = 0,
|
| 4 | 24. 10. 2017 | Braggův rozptyl, Laueovy podmínky, odvození. Odvození, že Laueovy podmínky obsahují Braggovu podmínku (volíme translační vektor T kolmý na povrch krystalu a velikost T rovnu vzdálenosti meziatomových rovin d). Odvození vzorce pro vzdálenost rovin zadaných Millerovými indexy (h k l) pro kubickou mříž. |
| 3 | 17. 10. 2017 | Zlaté číslo, některé jeho matematické vlastnosti, zlatý obdélník, zlatý trojúhelník. Pokrytí plochy Penroseovými dlaždicemi, pokrytí prostoru Ammannovými romboedry, kvazikrystaly, definice krystalu zahrnující kvazikrystaly. |
| 2 | 10. 10. 2017 | Symetrie translační a rotační, periodické vydláždění roviny a prostoru, rozdělení elementárních buněk podle symetrie v rovině a v prostoru, 7 krystalografických soustav a jejich pojmenování, rozpoznání jejich typů na modelech. Bravaisovy elementární buňky. Diamatová mřížka, její symetrie a parametry (meziatomová vzdálenost, koordinační číslo, koeficient zaplnění, úhel mezi vazbami, ...). Millerovy indexy, ekvivalentní roviny, směry.
Vzorec pro vzdálenost dvou rovin zadaných Millerovými indexy pro kubickou mříž. |
| 1 | 3. 10. 2017 | Úvod, požadavky na zápočet a na zkoušku. Vymezení fyziky pevných látek, souvislost s příbuznými obory. Základní pojmy z krystalografie, translační mřížkové vektory, elementární buňka, primitivní buňka, krystalová mříž, translační vektor (celočíselná lineární kombinace translačních mřížkových vektorů), báze, krystal. |
Aktualizováno 19. 12. 2017