| Poř. |
Zadání |
|
1
|
Protiletadlové dělo střílí na severní polokouli na cíl směrem vzhůru. Kterým směrem se odchýlí střela ze svislého směru vlivem Coriolisovy síly? Zanedbejte odpor vzduchu i vojensko-taktické hledisko nevýhodnosti snažit se zasáhnout cíl přímo nad námi.
[Střela se odchýlí na západ. Aby udržela přesně svislý směr, musela by její obvodová rychlost růst neboť se zvyšuje její vzdálenost od osy otáčení. Setrvačností si však udržuje původní obvodovou rychlost odpovídající povrchu Země, proto se za zemským povrchem zpozdí. Země se otáčí od západu na východ, střela se proto odchýlí na západ.]
Maximum 2 body, průměr 1,56 bodů (77,8%), s = 0,86, 18 testů.
|
|
2
|
Tzv. neinerciální hokej, (zatím) neexistující obdoba obyčejného hokeje, spočívá v tom, že hrací plocha je umístěna na otáčející se desce. Nechť se deska otáčí ve směru hodinových ručiček při pohledu shora. Kterým směrem se odchýlí puk střelený na branku v radiálním směru směrem ke středu vlivem neinerciálnosti soustavy? Přímý směr je myšlen v lokálních souřadnicích, z pohledu hráče, stejně tak směr odchýlení vpravo - vlevo.
[Puk se odchýlí vlevo, neboť si udržuje setrvačností obvodovou rychlost vyšší, než je potřeba na udržení se v radiální dráze. Puk se tedy předbíhá, jeho dráha bude z pohledu střílejícího hráče zakřivena vlevo.]
Maximum 2 body, průměr 0,67 bodů (33,3%), s = 0,98, 15 testů.
|
|
3
|
Na pouti je speciální atrakce, otočný autodrom, spočívající v umístění autodromu na otáčející se desce. Deska se otáčí při pohledu shora proti směru otáčení hodinových ručiček s dobou otočení 20 s. V radiálním směru od osy otáčení k obvodu se pohybuje autíčko s hmotností m = 200 kg rychlostí v = 3 m/s.
Určete:
a) Jaká je velikost Coriolisovy síly působící na autíčko v důsledku otáčení autodromu? (2 body)
b) Jaký je její směr z pohledu řidiče? (1 bod)
[Fc = 4πmv/T = 120π=377 N; směr Coriolisovy síly je doprava.]
Maximum 3 body, průměr 2,71 bodů (90,5%), s = 0,47, 14 testů.
|
|
4
|
Je zadáno silové pole F = (2y, 2x) (v ortonormální bazi, x, y jsou souřadnice).
a) Najděte potenciální energii Ep(x, y) (1 bod)
b) Spočítejte práci, kterou musíme vykonat na přemístění tělesa z bodu (1,0) do bodu (1,1) po přímce. (2 body)
[a) Musíme najít funkci souřadnic Ep(x, y) takovou, že bude platit Fx = −∂Ep⁄∂x a zároveň Fy = −∂Ep⁄∂y. Snadno se přesvědčíme, že taková funkce je Ep = 2xy ... buď se uhodne, nebo se zintegruje libovolný z obou výrazů a druhý se ověří, pokud by nebyl splněn, síla není konzervativní a potenciální energie neexistuje.
b) A = Ep(1,1) − Ep(1,0), lze řešit rovněž integrací, v tom případě ale musíme integrovat −F, neboť práci koná vnější síla, opačně orientovaná k silovému poli, integruje se pouze člen Fydy, neboť souřadnice x je na křivce konstantní a je rovna jedné. Vyjde A = −2.]
Maximum 3 body, průměr 0,50 bodů (16,7%), s = 0,73, 16 testů.
|
|
5
|
Je zdáno silové pole F = (3y, 3x) (v ortonormální bazi, x, y jsou souřadnice).
a) Najděte potenciální energii Ep(x, y) (1 bod)
b) Spočítejte práci, kterou musíme vykonat na přemístění tělesa z bodu (0,1) do bodu (1,1) po přímce. (2 body)
[a) Musíme najít funkci souřadnic Ep(x, y) takovou, že bude platit Fx = −∂Ep⁄∂x a zároveň Fy = −∂Ep⁄∂y. Snadno se přesvědčíme, že taková funkce je Ep = 3xy ... buď se uhodne, nebo se zintegruje libovolný z obou výrazů a druhý se ověří, pokud by nebyl splněn, síla není konzervativní a potenciální energie neexistuje.
b) A = Ep(1,1) − Ep(0,1), lze řešit rovněž integrací, v tom případě ale musíme integrovat −F, neboť práci koná vnější síla, opačně orientovaná k silovému poli, integruje se pouze člen Fydy, neboť souřadnice x je na křivce konstantní a je rovna jedné. Vyjde A = −3.
Poznámka k této a k minulé úloze: Zde šlo vpodstatě o matematický postup, nešlo o rozměry veličin a jejich jednotky, proto bylo zadání v bezrozměrných veličinách. Všem veličinám lze samozřejmě přiřadit vhodné fyzikální jednotky, např. v metrickém systému SI – síla v Newtonech, souřadnice v metrech, práce a energie pak vyjde v Joulech.]
Maximum 3 body, průměr 0,00 bodů (0,0%), s = 0,00, 14 testů.
|
|
6
|
1. zápočtová písemka, varianta A, paralelka 1 (přednášející Petr Koníček)
Maximum 30 bodů, průměr 14,56 bodů (48,5%), s = 5,71, 18 testů.
|
|
7
|
Je zdáno jednodimenzionální silové pole F(x) = F0sin(2πx/a).
a) Najděte potenciální energii Ep(x) (1 bod)
b) Spočítejte vykonanou práci na dráze z bodu 0 do bodu a/2 (1 bod)
c) Naktreslete graf F(x) a Ep(x). (1 bod)
[a) Ep = F0a/2π.cos(2πx/a). b) A = F0a/2π; c) graf F(x)je sinusovka s maximem rovným F0 a s periodou rovnající se hodnotě a, graf Ep je kosinusovka s maximem rovným F0a/2π a s periodou rovnající se hodnotě a]
Maximum 3 body, průměr 0,77 bodů (25,6%), s = 0,83, 13 testů.
|
|
8
|
Zápočtová písemka, varianta B, 7 otázek po třech bodech, dva příklady po čtyřech a pěti bodech.
Maximum 30 bodů, průměr 15,29 bodů (51,0%), s = 7,23, 17 testů.
|
|
9
|
1. zápočtová písemka, varianta A, paralelka 2 (přednášející Michal Bednařík)
Maximum 30 bodů, průměr 15,20 bodů (50,7%), s = 8,89, 10 testů.
|
|
10
|
1. zápočtová písemka, varianta B, paralelka 2 (přednášející Michal Bednařík)
Maximum 30 bodů, průměr 15,17 bodů (50,6%), s = 4,75, 6 testů.
|
|
11
|
Po nakloněné rovině s úhlem sklonu 45° se pohybuje bez tření těleso směrem dolů. V bodě A má rychlost v1 = 1 m/s, v bodě B má rychlost v2 = 3 m/s. Určete délku uražené dráhy mezi body A a B.
[S = (v22-v12)/2gsin(π/2) = 0,566 m]
Maximum 2 body, průměr 1,17 bodů (58,3%), s = 0,79, 30 testů.
|
|
12
|
Matematické kyvadlo má délku ramene l = 0,5 m, závaží má hmotnost m = 1 kg. Kyvadlo rozkývame tak, že na počátku v rovnovážné poloze udělíme závaží rychlost ve vodorovném směru v = 0,2 m/s. Jaký bude maximální úhel výchylky kyvadla?(2 body)
[Ze vztahů 1/2 mv2 = mgh a l.cosφ = l - h dostaneme cosφ = 1 - v2/2gl = 0,996.]
Maximum 2 body, průměr 1,64 bodů (81,8%), s = 0,67, 11 testů.
|
|
13
|
Nosník je tvořen dvěma různě hmotnými rameny o stejné délce, ležícími v jedné přímce za sebou. Hmotnost těžšího ramene je m1 = 2 kg, hmotnost lehčího ramene je m2 = 1 kg. Celková délka nosníku je l. Nosník je podepřen na odou koncích.
Vypočítejte reakční síly obou podpěr F1 a F2.
Za podmínky pro sílu, podmínky pro momenty a řešení soustavy rovnic po jednom bodě, celkem3 body.
[Podmínka rovnováhy pro síly: F1 + F2 = 3mg kde m = m1 + m2.
podmínka rovnováhy pro momenty: 1/4 2mg + 3/4 mg - F2 = 0;
řešení: F1 = 7/4 mg, F2 = 5/4 mg.]
Maximum 3 body, průměr 1,94 bodů (64,7%), s = 0,97, 17 testů.
|
|
14
|
Homogenní tyč délky l je uchycena na konci nehmotného ramene délky 2l na jejím konci tak, že rameno i tyč leží v přímce. Opačný konec ramene je uchycen otočně k ose kolmé na rameno i tyč.
a) spočítejte moment setrvačnbosti tyče pomocí Steinerovy věty. (2 body)
b) naznačte, jak by se úloha počítala přímou integrací (1 bod).
Moment setrvačnosti tyče vzhledem k ose procházející kolmo na tyč jejím těžištěm je 1/12 ml2.
[a) Momentsetrvačnosti zadaného systému je vzhledem k ose posunuté o 5/2 l od osy procházející těžištěm, dostaneme tedy
J = 1/12 ml2 + m(5/2 l)2 = 19/3 ml2
b) integrujeme výraz m/l x2dx přes interval <2l, 3l>]
Maximum 3 body, průměr 1,08 bodů (35,9%), s = 1,12, 13 testů.
|
|
15
|
2. zápočtová písemka, varianta A, 6 teoretických otázek po třech bodech, dva příklady po šesti bodech, paralelka 1 (přednášející Petr Koníček)
Maximum 30 bodů, průměr 18,00 bodů (60,0%), s = 4,29, 19 testů.
|
|
16
|
Homogenní válec o hmotnosti m a poloměru R je upevněn na nehmotném otáčivém rameni délky l kolmém k ose otáčení tak, že rotační osa válce je rovnoběžná s osou otáčení. Rameno se dotýká pláště válce uprostřed výšky.
a) spočítejte moment setrvačnosti takto upevněného válce pomocí Steinerovy věty, víte-li, že moment setrvačnosti válce vzhledem k jeho ose rotační symetrie je 1/2 mR2. (1 body)
b) Spočítejte speciální případ, kdy l = R. (1 bod).
c) Spočítejte speciální případ, kdy l >> R. (1 bod).
[a) J = 1/2 mR2 + m(l + R)2; b) J = 3/2 mR2; c) J = ml2.]
Maximum 3 body, průměr 1,87 bodů (62,2%), s = 0,83, 15 testů.
|
|
17
|
2. zápočtová písemka, varianta B, 6 teoretických otázek po třech bodech, dva příklady po šesti bodech, paralelka 1 (přednášející Petr Koníček)
Maximum 30 bodů, průměr 25,38 bodů (84,6%), s = 3,79, 16 testů.
|
|
18
|
2. zápočtová písemka, varianta A, 6 teoretických otázek po třech bodech, dva příklady po šesti bodech, paralelka 2 (přednášející Michal Bednařík)
Maximum 30 bodů, průměr 17,90 bodů (59,7%), s = 9,23, 10 testů.
|
|
19
|
2. zápočtová písemka, varianta B, 6 teoretických otázek po třech bodech, dva příklady po šesti bodech, paralelka 2 (přednášející Michal Bednařík)
Maximum 30 bodů, průměr 21,60 bodů (72,0%), s = 2,79, 5 testů.
|
|
20
|
2. zápočtová písemka, varianta A, 10 teoretických otázek po třech bodech, dva příklady po šesti bodech, psáno na přednášce paralelky doc. Hanitze, jako náhradní písemka
Maximum 30 bodů, průměr 11,00 bodů (36,7%), s = 0,00, 1 testů.
|
|
21
|
2. zápočtová písemka, varianta B, 10 teoretických otázek po třech bodech, dva příklady po šesti bodech, psáno na přednášce paralelky doc. Hanitze, jako náhradní písemka
Maximum 30 bodů, průměr 7,00 bodů (23,3%), s = 0,00, 1 testů.
|