Řešení:
Přeložíme-li zadání z českého jazyka do matematiky, jde o úlohu nalézt řešení (diferenciální) pohybové rovnice F = ma za počátečních podmínek r(t=0) = r0 a v(t=0) = v0. Přitom F má speciální tvar Lorentzovy síly F = -evxB.
Počáteční podmínky ještě dourčíme volbou souřadnicové soustavy, kterou se snažíme zvolit tak, aby výpočet byl co nejjednodušší (pokud možno aby co nejvíce složek vektorů bylo nulových a pod.). Například při volbě ortogonální souřadnicové soustavy takové, kdy vektor B je rovnoběžný s osou z a vektor v v počátečním čase leží v rovině XZ (nakreslete si obrázek), mají počáteční podmínky tvar
r(0) = (0, 0, 0),
v(0) = (v0sina, 0, v0cosa) = (vT, 0, vL),
kde vT označuje kolmou (transverzální) a vL rovnoběžnou (longitudiální) složku vektoru rychlosti v vzhledem k B. Všiměte si, že v počátečních podmínkách nevyznačuji fyzikální jednotky, nejsme teď na chvíli ve fyzice ale v matematice. Na zkoušce z fyziky toto však raději nedoporučuji, tam všude kde se vyskytnou numerické hodnoty, pište důsledně fyzikální jednotky. Obvzláště někteří pedagogové na to velmi dbají a můžete se u nich setkat s velkou nevolí. Pohybová rovnice rozepsaná do složek s dosazenou Lorentzovou silou vypadá takto:
-e(vyBz - vzBy) = mvx',
-e(vzBx - vxBz) = mvy',
-e(vxBy - vyBx) = mvz'.
Časovou derivaci d/dt značím čárkou ' (to má pouze typografické důvody, obvykle se značí tečkou nad písmenem, každý si ji může samozřejmě označit jak chce, pokud to po něm nebude číst nikdo jiný a sám to své označení nezapomene, bude-li to bude později po sobě číst). Spolu s počáteční podmínkou
| vx(0) = vT, | (1a) | |
| vy(0) = 0, | (1b) | |
| vz(0) = vL | (1c) |
tak dostaneme matematicky dobře formulovanou počáteční úlohu s proměnnými vx, vy a vz, nezávisle proměnná je čas t. Jde o tři svázané diferenciální rovnice prvního řádu. Protože jsme zvolili souřadnicovou soustavu v níž má vektor B tvar B = (0, 0, B), přejde naše soustava rovnic na jednodušší tvar (sami si vyškrtejte nulové členy, máte to jako křížovku a ta je přece určena pro zábavu ne?)
| -eBvy = mvx', | (2a) | |
| eBvx = mvy', | (2b) | |
| 0 = mvz' . | (2c) |
Soustava se nám rozpadla na dvě podsoustavy, poslední rovnice poněkud osiřela a můžeme jí triviálně řešit jako vz(t) = konst. = vL (rovnou aplikujeme i počáteční podmínku (1c)). Doufám, že jste mezitím nezapomněli, že čárka za rychlostmi značí derivaci. Podsoustavu (2a) a (2b) proto nemůžeme řešit eliminací jedné proměnné tak, jak se to učí na střední a možná na základní škole. V jedné rovnici je totiž proměnná a v druhé je vždy její derivace. Eliminace se nám snadno podáří poté, co jednu z rovnic ((2a) nebo (2b), je to jedno) zderivujeme. Zderivujme (2a), dostaneme rovnici -eBvy' = mvx'' (málo kdy se podaří derivovat tak, že se jen připíše čárka), za vy' z této rovnice dosadíme do (2b) a obdržíme jenom jednu rovnici pro vx, zato však druhého řádu
| vx'' + (eB/m) vx = 0. | (3) |
Pokud nyní nejásáte, může to znamenat, že jste zapomněl(a) látku z matematiky, kdy se řešily lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty a nebo, že jste si rovnici dostatečně pozorně neprohlédl(a). Rovnice (3) se totiž nyní dá snadno řešit známým postupem kdy předpokládáme exponenciální tvar jednoho zřešení. Standardní kroky s charakteristickou rovnicí a fundamentálním systémem pro stručnost vynecháme a napíšeme rovnou obecné řešení v reálném tvaru
| vx(t) = Ccoswt + Dsinwt, | (4a) |
kde w = eB/m je takzvaná Larmorova, gyrační nebo cyklotronní frekvence. Druhou složku vy získáme zpětným dosazením (4a) do rovnice (2a) a dostaneme ( (4a) při tom musíme zderivovat)
| vy(t) = Csinwt - Dcowt. | (4b) |
Matematik by řekl, že jsme získali obecné řešení. Nyní dosadíme do počátečních podmínek (1a) a (1b). Obdržíme C = vT a D = 0. Nic nám nyní nebrání, napsat si celé počáteční řešení pro rychlost
| vx(t) = vTcoswt, | (5a) | |
| vy(t) = vTsinwt, | (5b) | |
| vz(t) = vL. | (5c) |
Soustava (2) s počátečními podmínkami (1) je vyřešena, matematik je spokojen. My (ve fyzice) musíme ještě nalézt z vektoru rychlosti v(t) vektor polohy r(t), což provedeme integrací jednotlivých složek rychlosti podle času t. Integrační konstanty při tom volíme s ohledem na počáteční polohu r(0) = (0, 0, 0):
| rx(t) = Rsinwt, | (6a) | |
| ry(t) = -Rcoswt + R, | (6b) | |
| rz(t) = vL.t . | (6c) |
Písmenem R jsme označili člen R = vT/w = vTm/eB, nazývaný Larmorův poloměr. Že je to skutečně poloměr nějakého pohybu po kružnici se přesvědčíme vyloučením času z rovnic (6a) a (6b), které jsou z geometrického hlediska parametrickým zadáním křivky v rovině XY. Můžeme to provést tak, že členy Rsinwt a Rcoswt převedeme na jednu stranu, každou rovnici umocníme a obě rovnice sečteme. Dostaneme rovnici kružnice rx 2 + (ry - R)2 = R2 s poloměrem R a středem v bodě (0, R). Elektron se po této kružnici pohybuje s konstantní úhlovou rychlostí w. Tento pohyb se skládá s rovnoměrnou rychlostí vz(t) = vL ve směru rovnoběžném s magnetickým polem a výsledný pohyb je šroubovice.
Číselné výsledky:
w = 1,7588.109 rad/s
R = 2,8428.10-6 m.
Frekvence 270 MHz přibližně spadá do TV pásma VHF a poloměr 3 mm je
srovnatelný s velikostí bakterie.
Obecný závěr:
Pohybující se nabitá částice v magnetickém poli není ve směru magnetického pole nijak ovlivňována a pohybuje se volně. Ve směru kolmém na magnetické pole je držena v oblasti srovnatelné s Larmorovým poloměrem a nemůže se pohybovat kolmo na magnetické siločáry ve větších délkových měřítkách než je Larmorův poloměr. Částice nejsou samotným magnetickým polem ani bržděny ani urychlovány (jako je to v elektrickém poli) ale jejich dráha je zakřivována. Toto má důležitý význam chceme-li udržet horké plazma v magnetickém poli tak, aby se nedotýkalo stěn aparatury. Šroubovicový pohyb se rovněž uplatňuje v kosmickém plazmatu, např. při interakci slunečního větru se zemským magnetickým polem, kdy magnetické pole zabraňuje přímé interakci slunečního větru se zemskou atmosférou. Místo kam částice mohou nejsnadněji pronikat na zemský povrch je v oblasti magnetických pólů. Ionizaci atmosféry částicemi slunečního větru můžeme na pólech pozorovat jako polární záři.
| Napsáno: | Někdy na jaře 1999. |
| Revidováno: | 6.6.2000 (doplněny dvě chybějící pravé závorky v textu, několik znamének ve vzorcích, jedno chybějící slovo v textu a pár dalších drobných chybiček). |
| Autor textu: | Martin Žáček |