Zadání příkladů - semináře Žáček


Poř.	Zadání
1	Rozložte polynom x⁴ − 2x³ − 2x² + 8x − 8 na součin ireducibilních polynomů, znáte-li dva kořeny x₁ = 2 a x₂ = 1 + j. (4 body). [(x − 2)(x + 2)(x² − 2x + 2)] Maximum 4 body, průměr 2,46 bodů (61,4%), s = 1,36, 180 testů.
2	1. Vypočtěte determinant matice, jejíž řádky jsou (1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, 2), (1, 3, 4, 4) a (1, 4, 7, 8). (2 body) 2. Vypočtěte determinant matice, jejíž řádky jsou (0, 1, 0, 2), (2, 0, 1, 0), (0, −1, 0, −1) a (1, 1, 1, 1) (2 body). [1, nejvýhodnější postup je úpravou na trojůhelníkový tvar ;1, nejvýhodnější postup je rozvojem do subdeterminantů podle řádku či sloupce] Maximum 4 body, průměr 3,30 bodů (82,4%), s = 1,02, 47 testů.
3	1. Najděte vektor x = (1, 2, 3, 4) jako lineární kombinaci vektorů a = (1, 1, 1, 1), b = (1, 2, 2, 2), c = (1, 3, 4, 4) a d = (1, 4, 7, 8). (3 body) 2. Jsou vektory a, b, c, d lineárně nezávislé a proč? (1 bod) [1. α = 0, β = 2, γ = −2, δ = 1; Vektory a, b, c, d jsou lineárně nezávislé, neboť maice soustavy při řešení otázky 1. je ekvivalentní trojúhelníkové matici a homogenní soustava má tedy jediné, nulové řešení] Maximum 4 body, průměr 3,94 bodů (98,6%), s = 0,24, 18 testů.
4	1. Najděte vektor x = (1, 2, 1, 0) jako lineární kombinaci vektorů a = (1, 1, 1, 1), b = (1, 2, 2, 2), c = (1, 3, 4, 4) a d = (1, 2, 3, 4). (3 body) 2. Jsou vektory a, b, c, d lineárně nezávislé a proč? (1 bod) [1. α = 0, β = 2, γ = 0, δ = −1; Vektory a, b, c, d jsou lineárně nezávislé, neboť maice soustavy při řešení otázky 1. je ekvivalentní trojúhelníkové matici a homogenní soustava má tedy jediné, nulové řešení] Maximum 4 body, průměr 3,41 bodů (85,3%), s = 1,02, 39 testů.
5	1. Najděte vektor x = (0, 1, 2, 3) jako lineární kombinaci vektorů a = (1, 1, 1, 1), b = (1, 2, 2, 2), c = (1, 3, 4, 4) a d = (1, 4, 7, 8). (3 body) 2. Jsou vektory a, b, c, d lineárně nezávislé a proč? (1 bod) Nejčastější chyby: chybějící pravá strana v rozšířené matici soustavy (Bartoň), chybně napsaná rozšířená matice, vektory psané do řádků místo do sloupců (Bárta, Bartoš), upravovala se matice soustavy, neupravovala se pravá strana (Caha), [1. α = −1, β = 2, γ = −2, δ = 1; Vektory a, b, c, d jsou lineárně nezávislé, neboť maice soustavy při řešení otázky 1. je ekvivalentní trojúhelníkové matici a homogenní soustava má tedy jediné, nulové řešení] Maximum 4 body, průměr 2,00 bodů (50,0%), s = 1,84, 20 testů.
6	1. Najděte vektor x = (4, 7, 12, 20) jako lineární kombinaci vektorů a = (1, 1, 1, 1), b = (1, 2, 2, 2), c = (1, 3, 4, 4) a d = (1, 4, 7, 8). (3 body) 2. Jsou vektory a, b, c, d lineárně nezávislé a proč? (1 bod) Nejčastější chyby: [1. α = 1, β = 1, γ = 1, δ = 1; Vektory a, b, c, d jsou lineárně nezávislé, neboť maice soustavy při řešení otázky 1. je ekvivalentní trojúhelníkové matici a homogenní soustava má tedy jediné, nulové řešení] Maximum 4 body, průměr 3,37 bodů (84,2%), s = 1,16, 19 testů.
7	1. Vypočtěte determinant matice, jejíž řádky jsou (1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, 2), (1, 2, 3, 3) a (1, 2, 3, 5) (2 body). 2. Vypočtěte determinant matice, jejíž řádky jsou (0, 1, 0, 2), (2, 0, 1, 0), (0, −1, 0, −1) a (1, 1, 1, 0) (2 body). [2, nejvýhodnější postup je úpravou na trojúhelníkový tvar ; 1, nejvýhodnější postup je rozvojem do subdeterminantů podle řádku či sloupce] Maximum 4 body, průměr 3,41 bodů (85,2%), s = 0,93, 27 testů.
8	1. Vypočtěte determinant matice, jejíž řádky jsou (1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, 2), (1, 3, 4, 4) a (1, 4, 7, 9) (2 body). 2. Vypočtěte determinant matice, jejíž řádky jsou (0, 1, 0, 2), (2, 0, 1, 0), (0, −1, 0, −1) a (1, 1, 1, 0) (2 body). [2, nejvýhodnější postup je úpravou na trojúhelníkový tvar ; 1, nejvýhodnější postup je rozvojem do subdeterminantů podle řádku či sloupce] Maximum 4 body, průměr 3,80 bodů (95,0%), s = 0,42, 10 testů.
9	1. Vypočtěte inverzní matici k matici A, jejíž řádky jsou (6, 0, 2), (0, 1, 0), (2, 0, 1) (2 body). 2. Vypočtěte inverzní matici k matici A, jejíž řádky jsou (1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, 2), (1, 1, 2, 2) a (1, 1, 1, 2) (2 body). [1. ((1, 0, −2), (0, 2, 0), (−2, 0, 7)); 2.((2, −1, 0, 0), (0, 1 −1, 0), (0, 0, 1, −1), (−1, 0, 0, 1))] Maximum 4 body, průměr 3,39 bodů (84,7%), s = 0,98, 18 testů.
10	1. Vypočtěte inverzní matici k matici A, jejíž řádky jsou (7, 0, 2), (0, 1, 0), (2, 0, 1) (2 body). 2. Vypočtěte inverzní matici k matici A, jejíž řádky jsou (1, 1, 1, 1), (1, 2, 2, 2), (1, 1, 2, 2) a (1, 1, 1, 2) (2 body). [1. 1/3 ((1, 0, −2), (0, 3, 0), (−2, 0, 7)); 2.((2, −1, 0, 0), (0, 1 −1, 0), (0, 0, 1, −1), (−1, 0, 0, 1))] Maximum 4 body, průměr 3,80 bodů (95,0%), s = 0,65, 25 testů.
11	a). Najděte matici X jako řešení maticové rovnice XAB − X = C, kde matice jsou zadány takto: A = ((0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)), B = ((0, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0)), C = ((1, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 1)) (3 body). b) Ke kterým z matic A, B, C existuje inverzní matice? (1 bod) [a) X = C(AB − E)⁻¹ = ((0, 1, 1), (0, 0, 0), (1, 1, 0)); b) inverzní matice existuje pouze pro A, ta jediná je regulární, zbylé dvě matice jsou singulární] Maximum 4 body, průměr 3,48 bodů (87,1%), s = 0,96, 58 testů.
12	a). Najděte matici X jako řešení maticové rovnice AX−X = B, kde matice jsou zadány takto: A = ((0, 0, 1), (0, 2, 0), (3, 0, 0)), B = ((1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0)) (3 body). b) Ke kterým z matic A, B existuje inverzní matice? (1 bod) [a) X = (A − E)⁻¹B = 1/2 ((1, 1, 0), (0, 0, −2), (−3, 1, 0)); b) inverzní matice existuje pro obě matice, A i B, obě jsou regulární] Maximum 4 body, průměr 1,81 bodů (45,4%), s = 0,92, 27 testů.
13	a). Najděte matici X jako řešení maticové rovnice AX−X = B, kde matice jsou zadány takto: A = ((0, 0, 2), (0, 2, 0), (2, 0, 0)), B = ((0, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0)) (3 body). b) Ke kterým z matic A, B existuje inverzní matice? (1 bod) [a) X = (A − E)⁻¹B = ((0, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0)); b) inverzní matice existuje pouze pro A, která je regulární, matice B je singulární a inverzní matice pro ní neexistuje] Maximum 4 body, průměr 2,29 bodů (57,1%), s = 1,25, 7 testů.
14	Písemka paralelka 3, varianta A. Zadání i řešení najdete zde (formát PDF, odkaz směřuje na stránku přednášející - paní Kalousové). Maximum 20 bodů, průměr 4,00 bodů (20,0%), s = 2,72, 11 testů.
15	Písemka paralelka 3, varianta B. Zadání i řešení najdete zde (formát PDF, odkaz směřuje na stránku přednášející - paní Kalousové). Maximum 20 bodů, průměr 2,00 bodů (10,0%), s = 2,16, 7 testů.
16	Písemka paralelka 3, varianta C. Zadání i řešení najdete zde (formát PDF, odkaz směřuje na stránku přednášející - paní Kalousové). Maximum 20 bodů, průměr 2,67 bodů (13,3%), s = 2,60, 9 testů.
17	Písemka paralelka 3, varianta D. Zadání i řešení najdete zde (formát PDF, odkaz směřuje na stránku přednášející - paní Kalousové). Maximum 20 bodů, průměr 2,14 bodů (10,7%), s = 2,27, 7 testů.
18	Písemka úterý, paralelka 1, varianta A. Maximum 20 bodů, průměr 11,61 bodů (58,1%), s = 3,73, 18 testů.
19	Písemka úterý, paralelka 1, varianta B. Maximum 20 bodů, průměr 9,19 bodů (45,9%), s = 3,62, 16 testů.
20	Písemka úterý 14:30, paralelka 1, varianta A. Maximum 20 bodů, průměr 13,00 bodů (65,0%), s = 6,82, 10 testů.
21	Písemka úterý 14:30, paralelka 1, varianta B. Maximum 20 bodů, průměr 7,00 bodů (35,0%), s = 5,79, 9 testů.
22	Písemka v jiném cvičení, není mi známo zadání, písemku jsem neopravoval. Maximum 20 bodů, průměr 9,00 bodů (45,0%), s = 0,00, 1 testů.
23	Písemka cvičení čtvrtek, varianta A. Maximum 20 bodů, průměr 5,81 bodů (29,1%), s = 4,83, 16 testů.
24	Písemka cvičení čtvrtek, varianta B. Maximum 20 bodů, průměr 9,30 bodů (46,5%), s = 4,62, 23 testů.
25	Písemka cvičení pátek, varianta I. Zadání i řešení najdete zde (formát PDF, odkaz směřuje na stránku přednášející - paní Kalousové). Maximum 20 bodů, průměr 8,73 bodů (43,7%), s = 5,32, 15 testů.
26	Písemka cvičení pátek, varianta J. Zadání i řešení najdete zde (formát PDF, odkaz směřuje na stránku přednášející - paní Kalousové). Maximum 20 bodů, průměr 5,92 bodů (29,6%), s = 5,63, 12 testů.
27	Písemka cvičení pátek, varianta K. Zadání i řešení najdete zde (formát PDF, odkaz směřuje na stránku přednášející - paní Kalousové). Maximum 20 bodů, průměr 5,17 bodů (25,8%), s = 2,32, 6 testů.
28	Písemka cvičení pátek, varianta L. Zadání i řešení najdete zde (formát PDF, odkaz směřuje na stránku přednášející - paní Kalousové). Maximum 20 bodů, průměr 6,88 bodů (34,4%), s = 1,96, 8 testů.