Probrané učivo - semináře Žáček

pondělí 9:15, paralelka 301
Týden	Probrané učivo
1 1.10.2007	Úvod Organizace výuky, bodový systém, požadavky na zápočet. Polynomy Definice, stupeň, vlastnosti. Operace s polynomy: násobení číslem, sčítání, násobení, dělení. Hornerovo schema Výhody z hlediska počtu operací a zaokrouhlovacích chyb, postup. Použití Hornerova schematu k nalezení podílu a zbytku při dělení lineárním polynomem tvaru x − x₁.
2 8.10.2007	Kořeny polynomů násobné a komplexní kořeny, komplexně sdružené kořeny, rozklad polynomu na součin kořenových činitelů a na součin ireducibilních polynomů. Speciální polynomy: polynom s nulovým absolutním členem, bikvadratický polynom ax⁴ + bx² + c, polynom se sudými mocninami, snížení stupně substitucí, binomický polynom xⁿ − a. Postup hledání kořenů polynomů stupně > 2: rychlý test kořenů 0, +1, −1, odhad celočíselných kořenů, snižování stupně.
3 15.10.2007	Písemka na základní operace s polynomy a hledání kořenů. Věta o racionálních kořenech polynomu a její důkaz. Příklady. Další typy speciálních polynomů: reciproké polynomy (případ s lichým a sudým stupněm, hledání kořenů substitucí y = x + 1/x).
4 22.10.2007	Matice Postup řešení soustavy lineárních rovnic, motivační příklad - proložení kvadratické funkce třemi body, zápis koeficientů soustavy a pravých stran do tabulky tvaru rozšířené matice soustavy. Gaussova eliminace, dovolené úpravy (násobení řádku číslem, přičtení řádku k jinému řádku, přehození řádků), ekvivalentní rozšířená matice soustavy (tj. taková, která má týž řešení). Matice, řádkový a sloupcový index, maticové násobení. Pravidla, podle kterých se pozná, zda lze dvě matice vynásobit a jaký bude výsledek, zápis pomocí indexů, sčítací indexy, pevné indexy. Vlastnosti maticového násobení (nekomutativita, asociativita), ilustrace na příkladech. Řešení jednoduché soustavy maticových rovnic.
5 29.10.2007	Příklad na Gaussovu eliminační metodu, kdy vyjde sporná soustava, případy kdy řešení neexistuje a kdy existuje nekonečně řešení, soustava s parametrem. Determinanty Definice determinantu, permutace, znaménko permutace, Sarusovo pravidlo, rozvoj determinantu podle řádku (sloupce), algebraický doplněk k pozici i, j. Motivace, k čemu determinant je: a) Případ, kdy součin nenulových matic je nulová matice a důsledky pro řešení maticových rovnic, b) případ soustavy rovnic, kdy vyjde závislá rovnice (je to tehdy, je-li determinant matice soustavy nulový). Závěr, že zobecněním nulovosti/nenulovosti reálného čísla z hlediska algebraických úprav rovnic je nulový/nenulový determinant matice. Důležitý poznatek je, že zobecněním nuly z oboru reálných čísel nejsou jen nulové matice z oboru čtvercových matic ale i třída nenulových matic s nulovým determinantem. Příklady výpočtu determinantů řídkých matic typu (4, 4) rozvojem podle řádků/sloupců, determinant trojúhelníkové matice.
6 5.11.2007	Determinanty - dokončení Vlastnosti deteminantů: Přehození řádků/sloupců v matici → změna znaménka determinantu, násobení řádku/sloupce matice číslem α → násobení determinantu α, násobení celé matice číslem α → násobení determinantu αⁿ, det A^T = det A, přičteme-li k libovolnému řádku/sloupce libovolný násobek jiného řádku/sloupce, determinant se nezmění. Poslední vlastnost jsme využili při metodě výpočtu determinantu spočívající v převedení matice na trojúhelníkový tvar. Postupuje se podobně jako při Gaussově eliminaci použité pro hledání řešení soustavy lineárních rovnic s tím rozdílem, že a) nesmíme beztrestně přehazovat řádky (když, tak buď hned dvakrát nebo je nutno opravit výsledek o znaménko) a b) nesmíme násobit řádek číslem (pokud nemůžeme jinak, musíme výsledný determimant tímto číslem opět vydělit). Na rozdíl od Gaussovy eliminace použité při hledání řešení soustavy lineárních rovnic, lze při převádění matice na trojúhelníkový tvar za účelem výpočtu determinantu provádět i sloupcové úpravy. To nám zajišťuje předposlední z výše uvedených vlastností (det A^T = det A). Inverzní matice K čemu nám je, úpravy maticových rovnic, porovnání s obdobnými úpravami v případě rovnic s reálnými čísly, kde můžeme dělit, pokud tedy není dělitel nulový, definice inverzní matice, kriterium kdy inverzní matice existuje (musí mít nenulový determinant), výpočet inverzní matice Gaussovou eliminační metodou.
7 12.11.2007	Procvičovací příklad na determinant matice typu (3, 3), kde bylo možné kombinovat různé metody výpočtu. Písemka - výpočet inverzní matice (Gaussovou eliminací). Výpočet inverzní matice pomocí algebraických doplňků, příklad na matici typu (3, 3), ilustrace na transformačních maticích typu (2, 2) a ověření, že inverzní matice je matice inverzní transformace (zrcadlení kolem osy, pootoční o úhel α, zvětšení). Maticové rovnice řešitelné pomocí inverzní matice, postup řešení. Laplaceova věta det AB = det A.det A, Důsledek: det A⁻¹ = (det A)⁻¹.
8 19.11.2007	Maticové rovnice řešitelné pomocí inverzní matice (řešení je jediné, lze jej vyjádřit explicitně pomocí vzorce), neřešitelné pomocí inverzní matice (řešení nemusí existovat nebo může být více řešení, řešení nezískáme v explicitním tvaru). Úloha nalézt všechny matice komutující s maticí A (je například zřejmé, že řešením jsou například matice 0, E, A, A⁻¹ a existuje mnoho dalších řešení). Lineární prostor Lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost, kriterium lineární nezávislosti, ilustrace na maticích.
9 26.11.2007	Lineární prostor - pokračování Dálší pojmy: báze, dimenze, uspořádaná báze, souřadnice v uspořádané bázi, průnik lineárních podprostorů spojení lineárních podprostorů Rovnost dim(M) + dim(N) = dim(M∩N) + dim(M+N) Příklady (vztah mezi dvěma bázemi, matice přechodu, dimenze průniku a spojení dvou lineárních podporostorů).
10 3.12.2007	Rozcvičovací příklad na lineární prostor: M = <(1,2,3), (2,3,4), (5,9,13), (1,1,1), (5,10,14)>. a) Najděte některou z bází M. b) Spočítejte dimenzi M. c) Patří vektor (1,2,4) do množiny M? Písemka na lineární prostor (hledání polynomu, jsou-li zadány jeho souřadnice a uspořádaná báze, hledání souřadnic polynomu v jiné bázi). Matiíce přechodu mezi bázemi, přepočet souřadnic. Bohužel jsme nestihli další zamýšlené příklady (hledání průniku lineárních podporostorů, další poněkud jinak zadané příklady na báze a souřadnice, začátek lineárního zobrazení), ale snad neuškodí, když jsme látce, která je abstraktnější a obtížnější, věnovali více času.
11 10.12.2007	Velká písemka, 3 příklady na polynomy, matice a lineární prostor, maximum 20 bodů.
12 31.12.2007	Cvičení odpadlo, pondělí vyšlo na Silvestr.
12 17.12.2007	Lineární zobrazení Ověřování z definice, zda zadané zobrazení je či není lineární. Zobrazení zadané pomocí obrazů báze - ověření zobrazením obecně zadaného vektoru, že v tomto případě je o zobrazení zadáno vše. Hodnost, jádro a defekt lineárního zobrazení. Příklad, kdy je jádro jednoprvková množina a kdy jde o podprostor nenulové dimenze. Věta hod dim L = hod A + def A.
14 7.1.2008	Mattice lineárního zobrazení Matice lineárního zobrazení pro případ s nenulovým defektem, další příklad na zobraznení odpovídající derivaci polynomu, jádro v tomto případě tvoří konstantní polyomy.