Probrané učivo - semináře Žáček

středa 11:00, paralelka 306
Týden	Probrané učivo
1 3.10.2007	Cvičení odpadlo z důvodu zrušení dopolední výuky.
2 10.10.2007	Úvod Organizace výuky, bodový systém, požadavky na zápočet. Polynomy Definice, stupeň, vlastnosti. Operace s polynomy: násobení číslem, sčítání, násobení, dělení. Hornerovo schema Výhody z hlediska počtu operací a zaokrouhlovacích chyb, postup. Použití Hornerova schematu k nalezení podílu a zbytku při dělení lineárním polynomem tvaru x − x₁.
3 17.10.2007	Kořeny polynomů násobné a komplexní kořeny, komplexně sdružené kořeny, rozklad polynomu na součin kořenových činitelů a na součin ireducibilních polynomů. Speciální polynomy: polynom s nulovým absolutním členem, bikvadratický polynom ax⁴ + bx² + c, polynom se sudými mocninami, snížení stupně substitucí, binomický polynom xⁿ − a. (řešili jsme jen přímým rozkladem na ireducibilní polynomy, bez hledání komplexních kořenů) Postup hledání kořenů polynomů stupně > 2: rychlý test kořenů 0, +1, −1, odhad celočíselných kořenů, snižování stupně.
4 24.10.2007	Přímý rozklad polynomů na součin ireducibilních polynomů za použití různých vzorců a doplňování na úplný čtverec. Písemka na základní operace s polynomy a hledání kořenů. Věta o racionálních kořenech polynomu a její důkaz. Příklady.
5 31.10.2007	Matice Postup řešení soustavy lineárních rovnic, motivační příklad - proložení kvadratické funkce třemi body, zápis koeficientů soustavy a pravých stran do tabulky tvaru rozšířené matice soustavy. Gaussova eliminace, dovolené úpravy (násobení řádku číslem, přičtení řádku k jinému řádku, přehození řádků), ekvivalentní rozšířená matice soustavy (tj. taková, která má týž řešení). Matice, řádkový a sloupcový index, maticové násobení. Pravidla, podle kterých se pozná, zda lze dvě matice vynásobit a jaký bude výsledek, zápis pomocí indexů, sčítací indexy, pevné indexy. Vlastnosti maticového násobení (nekomutativita, asociativita), ilustrace na příkladech. Řešení jednoduché soustavy maticových rovnic. Řešení rovnice AB = BA kde A je zadaná matice. Tj. úloha nalézt všechny matice takové, které komutují se zadanou maticí A.
6 7.11.2007	Determinanty Definice determinantu, permutace, znaménko permutace, Sarusovo pravidlo. Motivace, k čemu determinant je: a) Případ, kdy součin nenulových matic je nulová matice a důsledky pro řešení maticových rovnic, b) případ soustavy rovnic, kdy vyjde závislá rovnice (je to tehdy, je-li determinant matice soustavy nulový). Závěr, že zobecněním nulovosti/nenulovosti reálného čísla z hlediska algebraických úprav rovnic je nulový/nenulový determinant matice. Zobecněním nuly z oboru reálných čísel nejsou tedy jen nulové matice z oboru čtvercových matic ale mnohem větší třída nenulových matic s nulovým determinantem. Rozvoj determinantu podle řádku (sloupce), znaménko, subdeterminant. Příklady výpočtu determinantů řídkých matic typu (4, 4) rozvojem podle řádků/sloupců, determinant trojúhelníkové matice. Vlastnosti deteminantů: Přehození řádků/sloupců v matici → změna znaménka determinantu, násobení řádku/sloupce matice číslem α → násobení determinantu α, násobení celé matice číslem α → násobení determinantu αⁿ, det A^T = det A, přičteme-li k libovolnému řádku/sloupce libovolný násobek jiného řádku/sloupce, determinant se nezmění. Poslední vlastnost jsme využili při metodě výpočtu determinantu spočívající v převedení matice na trojúhelníkový tvar. Postupuje se podobně jako při Gaussově eliminaci použité pro hledání řešení soustavy lineárních rovnic s tím rozdílem, že a) nesmíme beztrestně přehazovat řádky (když, tak buď hned dvakrát nebo je nutno opravit výsledek o znaménko) a b) nesmíme násobit řádek číslem (pokud nemůžeme jinak, musíme výsledný determimant tímto číslem opět vydělit). Na rozdíl od Gaussovy eliminace použité při hledání řešení soustavy lineárních rovnic, lze při převádění matice na trojúhelníkový tvar za účelem výpočtu determinantu provádět i sloupcové úpravy. To nám zajišťuje předposlední z výše uvedených vlastností (det A^T = det A).
7 14.11.2007	Příklady na determinanty, procvičování metody převodem na trojúhelníkovou matici. Inverzní matice K čemu nám je, úpravy maticových rovnic, porovnání s obdobnými úpravami v případě rovnic s reálnými čísly, kde můžeme dělit, pokud tedy není dělitel nulový, definice inverzní matice, kriterium kdy inverzní matice existuje (musí mít nenulový determinant), výpočet inverzní matice Gaussovou eliminační metodou. Výpočet inverzní matice pomocí algebraických doplňků, příklad na matici typu (3, 3), ilustrace na transformačních maticích typu (2, 2) a ověření, že inverzní matice je matice inverzní transformace (zrcadlení kolem osy, pootoční o úhel α, zvětšení). Maticové rovnice řešitelné pomocí inverzní matice, postup řešení.
8 21.11.2007	Procvičovací příklad na determinant matice typu (3, 3). Písemka - výpočet inverzní matice (Gaussovou eliminací nebo pomocí vzorce). Maticové rovnice řešitelné pomocí inverzní matice (řešení je jediné, lze jej vyjádřit explicitně pomocí vzorce), neřešitelné pomocí inverzní matice (řešení nemusí existovat nebo může být více řešení, řešení nezískáme v explicitním tvaru). U prvního typu jsme řešili příklady, v nichž se vyskytují všechny úpravy, s nimiž se můžeme setkat. U druhého typu jsme si ukazovali pouze princip, jak tyto rovnice vypadají, jak se řeší, jaké mohou mít řešení a zkoušeli jsme najít i některá řešení zpaměti. Jednu z rovnic tohoto typu (nalezení matice komutující s danou maticí) jsme již řešili 5. týden. Lineární prostor Definice, lineární kombinace, ilustrace na maticích typu (2, 2).
9 28.11.2007	Lineární prostor - pokračování Dálší pojmy: lineární obal, báze, dimenze, uspořádaná báze, souřadnice v uspořádané bázi, lineární podprostor, Nalezení souřadnic vektoru v zadané bázi, příklad na polynomy. Vztah mezi dvěma bázemi, matice přechodu.
10 3.12.2007	Rozcvičovací příklad na lineární prostor: M = <(1,2,3), (2,3,4), (5,9,13), (1,1,1), (5,10,14)>. a) Najděte některou z bází M. b) Spočítejte dimenzi M. c) Patří vektor (1,2,4) do množiny M? Písemka na lineární prostor (hledání souřadnic matice typu (2, 2) v uspořádané bázi tvořící 4 jiné matice). Průnik a spojení lineárních podporostorů. Malezení průniku, určení jeho báze a dimenze. Případ kdy M∩N = {0}, případ kdy M = N = M∩N. Spojení lineárních podprostorů, nalezení báze a dimenze. Rovnost dim(M) + dim(N) = dim(M∩N) + dim(M+N) .
11 12.12.2007	Velká písemka, 3 příklady na polynomy, matice a lineární prostor, maximum 20 bodů.
12 2.1.2008	Cvičení odpadlo, děkanský den.
12 19.12.2007	Lineární zobrazení Ověřování z definice, zda zadané zobrazení je či není lineární. Zobrazení zadané pomocí obrazů báze - ověření zobrazením obecně zadaného vektoru, že v tomto případě je o zobrazení zadáno vše. Hodnost, jádro a defekt lineárního zobrazení. Příklad, kdy je jádro jednoprvková množina a kdy jde o podprostor nenulové dimenze. Věta hod dim L = hod A + def A.