Probrané učivo - semináře Žáček

čtvrtek 14:30, paralelka 102
Týden	Probrané učivo
1 4.10.2007	Úvod Organizace výuky, bodový systém, požadavky na zápočet. Polynomy Definice, stupeň, vlastnosti. Operace s polynomy: násobení číslem, sčítání, násobení, dělení. Hornerovo schema Výhody z hlediska počtu operací a zaokrouhlovacích chyb, postup. Použití Hornerova schematu k nalezení podílu a zbytku při dělení lineárním polynomem tvaru x − x₁.
2 11.10.2007	Kořeny polynomů násobné a komplexní kořeny, komplexně sdružené kořeny, rozklad polynomu na součin kořenových činitelů a na součin ireducibilních polynomů. Speciální polynomy: polynom s nulovým absolutním členem, bikvadratický polynom ax⁴ + bx² + c, polynom se sudými mocninami, snížení stupně substitucí, binomický polynom xⁿ − a. Postup hledání kořenů polynomů stupně > 2: rychlý test kořenů 0, +1, −1, odhad celočíselných kořenů, snižování stupně.
3 18.10.2007	Příklady na rozcvičení (x¹⁰⁰ − 1) : (x² − 1), odvození vzorců pro součet konečné mocninné řady a součet nekonečné mocninné řady s \|q\|<1. Písemka na základní operace s polynomy a hledání kořenů. Věta o racionálních kořenech polynomu a její důkaz. Příklady. Přímý rozklad polynomů na součin ireducibilních polynomů za použití různých vzorců a doplňování na úplný čtverec. Další typy speciálních polynomů: reciproké polynomy (případ s lichým a sudým stupněm, hledání kořenů substitucí y = x + 1/x).
4 24.10.2007	Gaussova eliminační metoda Postup řešení soustavy lineárních rovnic, motivační příklad - proložení kvadratické funkce třemi body, zápis koeficientů soustavy a pravých stran do tabulky tvaru rozšířené matice soustavy. Gaussova eliminace, dovolené úpravy (násobení řádku číslem, přičtení řádku k jinému řádku, přehození řádků), ekvivalentní rozšířená matice soustavy (tj. taková, která má týž řešení). Lineární prostor Lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost, kriterium lineární nezávislosti, příklad na polynomy.
5 1.11.2007	Lineární prostor - pokračování Opakování lineární závislosti a nezávislosti, lineární kombinace, příklady s aritmetickými vektory, polynomy, maticemi, geometrická interpretace lineární závislosti a nezávislosti (vektory ležící na přímce a v rovině). Nové pojmy: báze, lineární obal, lineární podprostor. Geometrický význam lineárního podprostrou, příklady.
6 8.11.2007	Lineární prostor - pokračování Dálší pojmy: báze, dimenze, uspořádaná báze, souřadnice v uspořádané bázi, průnik lineárních podprostorů spojení lineárních podprostorů Rovnost dim(M) + dim(N) = dim(M∩N) + dim(M+N) Příkldady na hledání bází a souřadnic v uspořádaných bázích, příklady na nalezení průniku a spojení dvou lineárních podporostorů a jejich dimenzí.
7 15.11.2007	Příklad na uspořádané báze, souřadnice a vztah mezi dvěma bázemi. Písemka - výpočet koeficientů polynomu v zadané bázi. Matice Matice, řádkový a sloupcový index, maticové násobení. Pravidla, podle kterých se pozná, zda lze dvě matice vynásobit a jaký bude výsledek, zápis pomocí indexů, sčítací indexy, pevné indexy. Vlastnosti maticového násobení (nekomutativita, asociativita, distributivita), ilustrace na příkladech. Skončili jsme tvrzením a ilustrací případu, kdy součin dvou nenulových matic je nulová matice a že se toto liší od algebry nad reálnými čísly. Příště si ukážeme jaký to má význam v souvislosti s řešením maticových rovnic.
8 22.11.2007	Případ, kdy součin nenulových matic je nulová matice a důsledky pro řešení maticových rovnic, Determinanty Definice determinantu, permutace, znaménko permutace, Sarusovo pravidlo. Rozvoj determinantu podle řádku (sloupce), znaménko, subdeterminant. Příklady výpočtu determinantů řídkých matic typu (4, 4) rozvojem podle řádků/sloupců, determinant trojúhelníkové matice. Vlastnosti deteminantů: Přehození řádků/sloupců v matici → změna znaménka determinantu, násobení řádku/sloupce matice číslem α → násobení determinantu α, násobení celé matice číslem α → násobení determinantu αⁿ, det A^T = det A, přičteme-li k libovolnému řádku/sloupce libovolný násobek jiného řádku/sloupce, determinant se nezmění.
9 29.11.2007	Determinanty - dokončení Tvrzení Přičteme-li k libovolnému řádku/sloupce libovolný násobek jiného řádku/sloupce, determinant se nezmění. Tvrzení jsme využili při metodě výpočtu determinantu spočívající v převedení matice na trojúhelníkový tvar. Postupuje se podobně jako při Gaussově eliminaci použité pro hledání řešení soustavy lineárních rovnic s tím rozdílem, že a) nesmíme beztrestně přehazovat řádky (když, tak buď hned dvakrát nebo je nutno opravit výsledek o znaménko) a b) nesmíme násobit řádek číslem (pokud nemůžeme jinak, musíme výsledný determimant tímto číslem opět vydělit). Na rozdíl od Gaussovy eliminace použité při hledání řešení soustavy lineárních rovnic, lze při převádění matice na trojúhelníkový tvar za účelem výpočtu determinantu provádět i sloupcové úpravy. To nám zajišťuje rovnost (det A^T = det A). Inverzní matice K čemu nám je, úpravy maticových rovnic, porovnání s obdobnými úpravami v případě rovnic s reálnými čísly, kde můžeme dělit, pokud tedy není dělitel nulový, definice inverzní matice, kriterium kdy inverzní matice existuje (musí mít nenulový determinant), výpočet inverzní matice Gaussovou eliminační metodou.
10 6.12.2007	Příklad na procvičení - matice A = ((1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)), výpočet A², A⁻¹, detA, A^T ap. Písemka - determinant matice typu (4, 4). Výpočet inverzní matice pomocí algebraických doplňků, příklad na matici typu (3, 3), ilustrace na transformačních maticích typu (2, 2) a ověření, že inverzní matice je matice inverzní transformace (zrcadlení kolem osy, pootoční o úhel α, zvětšení). Maticové rovnice řešitelné pomocí inverzní matice, postup řešení.
11 13.12.2007	Velká písemka, 3 příklady na polynomy, matice a lineární prostor, maximum 20 bodů.
12 20.12.2007	Lineární zobrazení Ověřování z definice, zda zadané zobrazení je či není lineární. Zobrazení zadané pomocí obrazů báze - ověření zobrazením obecně zadaného vektoru, že v tomto případě je o zobrazení zadáno vše. Hodnost, jádro a defekt lineárního zobrazení. Příklad, kdy je jádro jednoprvková množina a kdy jde o podprostor nenulové dimenze. Věta hod dim L = hod A + def A.
13 2.1.2008	Mattice lineárního zobrazení Matice lineárního zobrazení pro případ s nenulovým defektem, další příklad na zobraznení odpovídající derivaci polynomu, jádro v tomto případě tvoří konstantní polyomy. Soustavy lineárních rovnic Příklad soustavy lineárních rovnic s parametrem, obsahující podle hodnoty parametru všechny možnosti, které mohou nastat: existuje jediné řešení, lze v tomto případě řešit inverzní maticí, řešení neexistuje (je-li matice soustavy singulární a jsoustava je sporná), řešení je nekonečně mnoho (je-li matice soustavy singulární a soustava má závislé rovnice).