Probrané učivo - semináře Žáček

pátek 9:15, paralelka 213
Týden	Probrané učivo
1 5.10.2007	Úvod Organizace výuky, bodový systém, požadavky na zápočet. Polynomy Definice, stupeň, vlastnosti. Operace s polynomy: násobení číslem, sčítání, násobení, dělení. Hornerovo schema Výhody z hlediska počtu operací a zaokrouhlovacích chyb, postup. Použití Hornerova schematu k nalezení podílu a zbytku při dělení lineárním polynomem tvaru x − x₁.
2 12.10.2007	Kořeny polynomů násobné a komplexní kořeny, komplexně sdružené kořeny, rozklad polynomu na součin kořenových činitelů a na součin ireducibilních polynomů. Speciální polynomy: polynom s nulovým absolutním členem, bikvadratický polynom ax⁴ + bx² + c, polynom se sudými mocninami, snížení stupně substitucí, binomický polynom xⁿ − a. Postup hledání kořenů polynomů stupně > 2: rychlý test kořenů 0, +1, −1, odhad celočíselných kořenů, snižování stupně.
3 19.10.2007	Příklady na rozcvičení (x¹⁰⁰ − 1) : (x² − 1), odvození vzorců pro součet konečné mocninné řady a součet nekonečné mocninné řady s \|q\|<1. Písemka na základní operace s polynomy a hledání kořenů. Věta o racionálních kořenech polynomu a její důkaz. Příklady. Přímý rozklad polynomů na součin ireducibilních polynomů za použití různých vzorců a doplňování na úplný čtverec.
4 26.10.2007	Matice Postup řešení soustavy lineárních rovnic, motivační příklad - proložení kvadratické funkce třemi body, zápis koeficientů soustavy a pravých stran do tabulky tvaru rozšířené matice soustavy. Gaussova eliminace, dovolené úpravy (násobení řádku číslem, přičtení řádku k jinému řádku, přehození řádků), ekvivalentní rozšířená matice soustavy (tj. taková, která má týž řešení). Matice, řádkový a sloupcový index, maticové násobení. Pravidla, podle kterých se pozná, zda lze dvě matice vynásobit a jaký bude výsledek, zápis pomocí indexů, sčítací indexy, pevné indexy. Vlastnosti maticového násobení (nekomutativita, asociativita), ilustrace na příkladech. Řešení rovnice AB = BA kde A je zadaná matice. Tj. úloha nalézt všechny matice takové, které komutují se zadanou maticí A.
5 2.11.2007	Determinanty Definice determinantu, permutace, znaménko permutace, Sarusovo pravidlo. Motivace, k čemu determinant je: a) Případ, kdy součin nenulových matic je nulová matice a důsledky pro řešení maticových rovnic, b) případ soustavy rovnic, kdy vyjde závislá rovnice (je to tehdy, je-li determinant matice soustavy nulový). Závěr, že zobecněním nulovosti/nenulovosti reálného čísla z hlediska algebraických úprav rovnic je nulový/nenulový determinant matice. Zobecněním nuly z oboru reálných čísel nejsou tedy jen nulové matice z oboru čtvercových matic ale mnohem větší třída nenulových matic s nulovým determinantem. Rozvoj determinantu podle řádku (sloupce), znaménko, subdeterminant. Příklady výpočtu determinantů řídkých matic typu (4, 4) rozvojem podle řádků/sloupců, determinant trojúhelníkové matice.
6 9.11.2007	Determinanty - dokončení Vlastnosti deteminantů: det A^T = det A, Přehození řádků/sloupců v matici → změna znaménka determinantu, násobení řádku/sloupce matice číslem α → násobení determinantu α, násobení celé matice číslem α → násobení determinantu αⁿ, det AB = det A.det B, přičteme-li k libovolnému řádku/sloupce libovolný násobek jiného řádku/sloupce, determinant se nezmění. U předposlední vlastnosti jsme si jen říkali, že odpovídá geometrickému významu determinantu a proč tento vztah ani nemůže být jinak. Půjde-li totiž o transformační matice které mění násobením sloupcový vektor na jiný, determinant této matice určuje, jak se po transformaci změní plocha (objem atd, podle toho, v jaké jsme dimenzi) nějakého obrazce definovaného množinou vektorů, které těmito maticemi transformujeme. Součin matic je pak matice složené transformace a výsledná plocha musí být rovna ploše, kterou dostaneme postupnými transformacemi jednotlivými maticemi. Ilustrovali jsme si to na diagonální matici typu (2,2) s dvojkama na diagonále, ktera zvětšuje velikosti vektorů dvakrát, její determinant je 4, zvětšení plochy je čtyřnásobné. Obdobná matice typu (3,3) by měla determinant 8, neboť jde o objem a ten je úměrný třetí mocnině délky, tj. šlo by o zvětšení 2³. Důkaz zmíněmé rovnosti však je nutno provést algebraickými prostředky dosud definovanými (geometrické úvahy byly volnější pro lepší pochopení, pojmy jako plocha, bod apod. však zatím nebyly v teorii kterou probíráme, přesně definovány). Důkaz jsme neprováděli Poslední vlastnost jsme využili při metodě výpočtu determinantu spočívající v převedení matice na trojúhelníkový tvar. Postupuje se podobně jako při Gaussově eliminaci použité pro hledání řešení soustavy lineárních rovnic s tím rozdílem, že a) nesmíme beztrestně přehazovat řádky (když, tak buď hned dvakrát nebo je nutno opravit výsledek o znaménko) a b) nesmíme násobit řádek číslem (pokud nemůžeme jinak, musíme výsledný determimant tímto číslem opět vydělit). Na rozdíl od Gaussovy eliminace použité při hledání řešení soustavy lineárních rovnic, lze při převádění matice na trojúhelníkový tvar za účelem výpočtu determinantu provádět i sloupcové úpravy. To nám zajišťuje první z výše uvedených vlastností (det A^T = det A). Inverzní matice K čemu nám je, úpravy maticových rovnic, porovnání s obdobnými úpravami v případě rovnic s reálnými čísly, kde můžeme dělit, pokud tedy není dělitel nulový, definice inverzní matice, kriterium kdy inverzní matice existuje (musí mít nenulový determinant), výpočet inverzní matice Gaussovou eliminační metodou.
7 16.11.2007	Procvičovací příklad - determinant matice typu (4, 4), inverzní matice typu (2, 2). Písemka - výpočet inverzní matice. Výpočet inverzní matice pomocí algebraických doplňků, příklad na matici typu (3, 3), ilustrace na transformačních maticích typu (2, 2) a ověření, že inverzní matice je matice inverzní transformace (zrcadlení kolem osy, pootoční o úhel α. Laplaceova věta det AB = det A.det A, Důsledek: det A⁻¹ = (det A)⁻¹.
8 23.11.2007	Lineární prostor Definice, lineární kombinace, koeficienty lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost, ilustrace na maticích typu (2, 2). na aritmetických vektorech, příklad na polynomy. Další pojmy: lineární obal, báze, uspořádaná báze, souřadnice v uspořádané bázi.
9 30.11.2007	Lineární prostor - pokračování Dálší pojmy: lineární obal, báze, dimenze, uspořádaná báze, souřadnice v uspořádané bázi, lineární podprostor, průnik lineárních podprostorů spojení lineárních podprostorů Rovnost dim(M) + dim(N) = dim(M∩N) + dim(M+N) Příkldady na hledání bází a souřadnic v uspořádaných bázích, příklad na nalezení průniku a spojení dvou lineárních podporostorů a jejich dimenzí.
10 7.12.2007	Rozcvičovací příklad na lineární prostor (přepočet souřadnic vyjádnřených v jedné bázi do jiné báze, zatím bez matice přechodu). Písemka na lineární prostor (hledání báze, jsou-li zadány nějaké polynomy a jejich souřadnice). M = <(1,2,3), (2,3,4), (4,7,10), (1,1,1)>. a) Najděte některou z bází M. b) Spočítejte dimenzi M. Dále příklady na dimenzi spojení a průniku lineárních podprostorů. Matiíce přechodu mezi bázemi, přepočet souřadnic.
11 14.12.2007	Velká písemka, 3 příklady na polynomy, matice a lineární prostor, maximum 20 bodů.
12 21.12.2007	Lineární zobrazení Ověřování z definice, zda zadané zobrazení je či není lineární. Zobrazení zadané pomocí obrazů báze - ověření zobrazením obecně zadaného vektoru, že v tomto případě je o zobrazení zadáno vše. Hodnost, jádro a defekt lineárního zobrazení. Příklad, kdy je jádro jednoprvková množina a kdy jde o podprostor nenulové dimenze. Věta hod dim L = hod A + def A.
13 2.1.2008	Mattice lineárního zobrazení Matice lineárního zobrazení pro případ s nenulovým defektem, další příklad na zobraznení odpovídající derivaci polynomu, jádro v tomto případě tvoří konstantní polyomy. Soustavy lineárních rovnic Příklad soustavy lineárních rovnic s parametrem, obsahující podle hodnoty parametru všechny možnosti, které mohou nastat: existuje jediné řešení, lze v tomto případě řešit inverzní maticí, řešení neexistuje (je-li matice soustavy singulární a jsoustava je sporná), řešení je nekonečně mnoho (je-li matice soustavy singulární a soustava má závislé rovnice).