Probrané učivo - semináře Žáček

pondělí 7:30, paralelka 303
Týden	Probrané učivo
1 29.9.2008	Úvod Organizace výuky, bodový systém, požadavky na zápočet. Polynomy Definice, stupeň, vlastnosti. Operace s polynomy: sčítání, násobení, dělení. Věta o dělení polynomu polynomem, vztah zbytku a hodnoty u dělení polynomem tvaru x − a.
2 6.10.2008	Hornerovo schema Výhody z hlediska počtu operací a zaokrouhlovacích chyb, postup. Použití Hornerova schematu k nalezení podílu a zbytku při dělení lineárním polynomem tvaru x − x₁. Kořeny polynomů násobné a komplexní kořeny, komplexně sdružené kořeny, rozklad polynomu na součin kořenových činitelů a na součin ireducibilních polynomů. Speciální polynomy: bikvadratický polynom, polynom se sudými mocninami, snížení stupně substitucí
3 13.10.2008	binomický polynom xⁿ − a. Věta o racionálních kořenech (bez důkazu), její aplikace na příkladě. Postup hledání kořenů polynomů stupně > 2: rychlý test kořenů 0, +1, −1, odhad celočíselných kořenů, snižování stupně. Matice Definice, operace s maticemi, některé vlastnosti maticového násobení, demonstrace na příkladech.
4 20.10.2008	Písemka na polynomy Maticové násobení, některé speciální případy, součiny vektorů zapsané maticově, Vlastnosti maticového násobení: asociativita (bez důkazu), nekomutativita (příklady), distributivita (nutno rozlišit vytýkání zprava a zleva). Složitější příklad: Nalezení všech matic komutujících s danou maticí, nejprve uhodnutí některých řešení, úloha vede na homogenní soustavu závislých rovnic, vyjde řešení se dvěma parametry.
5 30.10.2008	Gaussova eliminační metoda, ilustrační příklad - soustava o třech rovnicích a třech neznámých. Duležité pojmy: matice soustavy, rozšířená matice soustavy, pravá strana, ekvivalence dvou rozšířených matic soustavy (odpovídají soustavám se stejným řešením). Dovolené úpravy. Determinat Definice, příklady na výpočet z definice, příklady na rozvoj do subdeterminantů podle řádků nebo sloupců, úprava matice na trojúhelníkový tvar.
6 3.11.2008	Determinanty - dokončení Vlastnosti deteminantů: Přehození řádků/sloupců v matici → změna znaménka determinantu, násobení řádku/sloupce matice číslem α → násobení determinantu α, násobení celé matice číslem α → násobení determinantu αⁿ, det A^T = det A, přičteme-li k libovolnému řádku/sloupce libovolný násobek jiného řádku/sloupce, determinant se nezmění. Poslední vlastnost jsme využili při metodě výpočtu determinantu spočívající v převedení matice na trojúhelníkový tvar. Postupuje se podobně jako při Gaussově eliminaci použité pro hledání řešení soustavy lineárních rovnic s tím rozdílem, že a) nesmíme beztrestně přehazovat řádky (když, tak buď hned dvakrát nebo je nutno opravit výsledek o znaménko) a b) nesmíme násobit řádek číslem (pokud nemůžeme jinak, musíme výsledný determimant tímto číslem opět vydělit). Na rozdíl od Gaussovy eliminace použité při hledání řešení soustavy lineárních rovnic, lze při převádění matice na trojúhelníkový tvar za účelem výpočtu determinantu provádět i sloupcové úpravy. To nám zajišťuje předposlední z výše uvedených vlastností (det A^T = det A). Úvod do inverzních matic K čemu nám je, úpravy maticových rovnic, porovnání s obdobnými úpravami v případě rovnic s reálnými čísly, kde můžeme dělit, pokud tedy není dělitel nulový, definice inverzní matice, kriterium kdy inverzní matice existuje (musí mít nenulový determinant),
7 10.11.2008	Matice - pokračování Inverzní matice Výpočet inverzní matice Gaussovou eliminační metodou, ukázka, že jde o řešení soustavy n×n rovnic, které ale obsahují n podsoustav se stejnou maticí soustavy, které můžeme řešit najednou, napíšeme-li pravé strany vedle sebe. Identita 1 = detA.detA⁻¹. Odvození obecného vzorce pro výpočet inverzní matice pro matice typu (2, 2). Obecný vzorec pro inverzní matici (uváděli jsme si až na konci cvičení, procvičení bude příští cvičení a v písemce příští cvičení tato metoda výpočtu inverzní matice nebude).
8 17.11.2008	Cvičení odpadlo, státní svátek.
9 24.11.2008	Matice - pokračování Obecný vzorec pro inverzní matici pomocí algebraických doplňků, algebraický doplněk k pozici i, j, příklady, postup výpočtu. Maticové rovnice, obecné řešení pomocí inverzní matice, příklady, kdy nemusíme počítat všechny koeficienty inverzní matice a je tak vhodné využít vztah pomocí algebraických doplňků. Typy rovnic které nelze řešit pomocí inverzní matice.
10 1.12.2008	Lineární prostor Definice, prvky L, operace, axiomy. Lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost (značíme stručně LZ a LN), kriterium lineární závislosti a nezávislosti, naznačení důkazu. Úlohy typu vyšetřit lineární závislost a nezávislost, nalézt zadaný vektor x jako lineární kombinaci vektorů a, b, c. Poslední příklad jsme řešili pro případ, kdy abstraktní vektory z lineárního prostoru byly polynomy 2. a nižšího stupně. Geometrický význam lineární kombinace (přímka, rovina), geometrický význam lineární závislosti (LZ vektory leží ve stejné přímce, pokud jsou dva, v přímce nebo v rovině pokud jsou tři atd.).
11 8.12.2008	Lineární prostor, další pojmy: lineární obal, lineární podprostor, báze, uspořádaná báze, souřadnice, dimenze. Příklady je zadán lineární podporostor M jako lineární obal množiny zadaných vektorů, má se zjistit, zda nějaký zadaný vektor je prvkem M (to jsme neřešili, hledá se vektor jako lin. kombinace báze, existuje-li, je vektor z množiny M), má se zjistit, zda zadaná množina vektorů je báze, je zadán lineární podprostor jako lineární obal množiny zadaných vektorů, má se najít jeho některá báze a určit dimenze. Soustavy lineárních rovnic Případy s regulární a singulární maticí soustavy. Frobeniova věta. Příklad na soustavu se singulární maticí. Řešení se napíše jako součet partikulárního řešení a řešení přidružené homogenní soustavy.