Probrané učivo - semináře Žáček

pondělí 12:45, paralelka 212
Týden	Probrané učivo
1 29.9.2008	Úvod Organizace výuky, bodový systém, požadavky na zápočet. Polynomy Definice, stupeň, vlastnosti. Operace s polynomy: sčítání, násobení, dělení. Věta o dělení polynomu polynomem, vztah zbytku a hodnoty u dělení polynomem tvaru x − a.
2 6.10.2007	Hornerovo schema Výhody z hlediska počtu operací a zaokrouhlovacích chyb, postup. Použití Hornerova schematu k nalezení podílu a zbytku při dělení lineárním polynomem tvaru x − x₁. Kořeny polynomů násobné a komplexní kořeny, komplexně sdružené kořeny, rozklad polynomu na součin kořenových činitelů a na součin ireducibilních polynomů. Speciální polynomy: bikvadratický polynom, polynom se sudými mocninami, snížení stupně substitucí
3 13.10.2008	binomický polynom xⁿ − a. Věta o racionálních kořenech (bez důkazu), její aplikace na příkladě. Postup hledání kořenů polynomů stupně > 2: rychlý test kořenů 0, +1, −1, odhad celočíselných kořenů, snižování stupně. Gaussova eliminační metoda, ilustrační příklad - soustava o třech rovnicích a třech neznámých. Duležité pojmy: matice soustavy, rozšířená matice soustavy, pravá strana, ekvivalence dvou rozšířených matic soustavy (odpovídají soustavám se stejným řešením). Dovolené úpravy.
4 20.10.2008	Písemka na polynomy Lineární prostor, abstrakce v matematice, prvky, operace, axiomy Lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost (LZ, LN). Příklady na lineární kombinaci a lineární závislost s vektory. Věta - kriterium lineární nezávislosti, naznačení důkazu. Příklad na zjištění lineární nezávislosti vektorů (vede na soustavu homogenních lineárních rovnic) Příklad na polynomy − vyjádření polynomu jako lineární kombinace jiných polynomů.
5 30.10.2008	Lineární prostor, další pojmy: lineární obal, lineární podprostor, báze, uspořádaná báze, souřadnice, dimenze. Příklady je zadán lineární podporostor M jako lineární obal množiny zadaných vektorů, má se zjistit, zda nějaký zadaný vektor je prvkem M, je zadán lineární podprostor jako lineární obal množiny zadaných vektorů, má se najít jeho některá báze a určit dimenze, množina vektorů je zadána jako báze, jiná množina vektorů téhož počtu je zadána každý jako lineární kombinace prvků báze, má se zjistit, jestli tato množina je také báze. První dva příklady jsme řešili konkrétně, pro aritmetické vektory o třech složkách, třetí příklad jsme řešili abstraktně, aniž bychom věděli, o jaké konkrétní vektory se jedná.
6 3.11.2008	Lineární prostor - pokračování Příklad: Určení, zda dvě rúzné báze jsou báze téhož podprostoru. Dálší pojmy: průnik lineárních podprostorů spojení lineárních podprostorů Identita dim(M) + dim(N) = dim(M∩N) + dim(M+N) Příklady na nalezení průniku a spojení dvou lineárních podporostorů a jejich dimenzí a metody řešení.
7 10.11.2008	Rozcvičovací příklad - lineární podprostory M a N jako prostory matic typu (2, 2), nalezení jejich dimenzí a dimenzí jejich průniku a spojení. Písemka na lineární prostor Matice Maticové násobení, které matice lze vynásobit a které ne a jak se to pozná, jak se pozná jaká matice je výsledek. Zápis maticového násobení pomocí koeficientů, asociativita.
8 17.11.2008	Cvičení odpadlo, státní svátek.
9 24.11.2008	Maticová algebra Vlastnosti maticového součinu (asociativita, distributivní zákony, nekomutativita, součin nenulových matic může být nulová matice). Determinanty Motivační příklad - řešení soustavy lineárních rovnic obecně - vyjde determinat ve jmenovatelích výsledku. Definice determinantu, výpočet pomocí definice a rozvojem podle řádku a sloupce. Příklady, determinant matice s nulovým blokem, determinant diagonální matice. Výpočet determinantu úpravou na trojúhelníkovou matici, zatím demonstrační příklad, procvičíme si na příštím cvičení.
10 1.12.2008	Determinanty - dokončení Výpočet determinantu úpravou na trojúhelníkovou matici, příklady. Inverzní matice Definice, základní metoda výpočtu inverzní matice Gaussovou eliminační metodou, ukázka, že jde o řešení soustavy n×n rovnic, které ale obsahují n podsoustav se stejnou maticí soustavy, které můžeme řešit najednou, napíšeme-li pravé strany vedle sebe. Odvození obecného vzorce pro výpočet inverzní matice pro matice typu (2, 2).
11 8.12.2008	Matice - pokračování Obecný vzorec pro inverzní matici pomocí algebraických doplňků, příklady. Doporučoval jsem počítat nejprve diagonální členy, u nich se nemění znaménko a namá na ně vliv transpozice, poté najít všechny členy např. nad diagonálou a nakonec pod diagonálou. Maticové rovnice, obecné řešení pomocí inverzní matice, příklady, kdy nemusíme počítat všechny koeficienty inverzní matice a je tak vhodné využít vztah pomocí algebraických doplňků. Příklady maticových rovnic, které nelze řešit pomocí inverzní matice. To je například rovnice AX = XA, která, protože má více řešení (například E, 0, A, A⁻¹), není ani v principu možné napsat řešení v explicitním vztahu pro X maticově pomocí inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic Případy s regulární a singulární maticí soustavy. Frobeniova věta. Příklad na soustavu se singulární maticí. Řešení se napíše jako součet partikulárního řešení a řešení přidružené homogenní soustavy.