Probrané učivo - semináře Žáček

čtvrtek 14:30, paralelka 102
Týden	Probrané učivo
1 2.10.2008	Úvod Organizace výuky, bodový systém, požadavky na zápočet. Polynomy Definice, stupeň, vlastnosti. Operace s polynomy: sčítání, násobení, dělení. Věta o dělení polynomu polynomem, vztah zbytku a hodnoty u dělení polynomem tvaru x − a.
2 9.10.2008	Hornerovo schema Výhody z hlediska počtu operací a zaokrouhlovacích chyb, postup. Použití Hornerova schematu k nalezení podílu a zbytku při dělení lineárním polynomem tvaru x − x₁. Kořeny polynomů násobné a komplexní kořeny, komplexně sdružené kořeny, rozklad polynomu na součin kořenových činitelů a na součin ireducibilních polynomů.
3 16.10.2008	Binomický polynom xⁿ − a. Věta o racionálních kořenech (bez důkazu), její aplikace na příkladě. Postup hledání kořenů polynomů stupně > 2: rychlý test kořenů 0, +1, −1, odhad celočíselných kořenů, snižování stupně. Gaussova eliminační metoda, ilustrační příklad - soustava o třech rovnicích a třech neznámých. Duležité pojmy: matice soustavy, rozšířená matice soustavy, pravá strana, ekvivalence dvou rozšířených matic soustavy (odpovídají soustavám se stejným řešením). Dovolené úpravy.
4 23.10.2008	Písemka na polynomy Maticové násobení, některé speciální případy, součiny vektorů zapsané maticově, Vlastnosti maticového násobení: asociativita (bez důkazu), nekomutativita (příklady), distributivita (nutno rozlišit vytýkání zprava a zleva). součin nenulových matic může být nulová matice (příklad), Složitější příklad: Nalezení všech matic komutujících s danou maticí, nejprve uhodnutí některých řešení, úloha vede na homogenní soustavu závislých rovnic, vyjde řešení se dvěma parametry.
5 30.10.2008	Cvičení odpadlo, učilo se podle pondělního rozvrhu, pondělí byl Děkanský den.
6 6.11.2008	Determinant Definice, permutace, znaménko permutace, Sarusovo pravidlo, rozvol podle sloupců, řádků, příklady. Transformační matice, význam determinantu, speciální případ: smíšený součin jako determinant, jeho vlastnosti a geometrický význam. Determinant trojúhelníkové matice.
7 13.11.2008	Determinanty - dokončení Vlastnosti deteminantů: Přehození řádků/sloupců v matici → změna znaménka determinantu, násobení řádku/sloupce matice číslem α → násobení determinantu α, násobení celé matice číslem α → násobení determinantu αⁿ, det A^T = det A, přičteme-li k libovolnému řádku/sloupce libovolný násobek jiného řádku/sloupce, determinant se nezmění. Poslední vlastnost jsme využili při metodě výpočtu determinantu spočívající v převedení matice na trojúhelníkový tvar. Postupuje se podobně jako při Gaussově eliminaci použité pro hledání řešení soustavy lineárních rovnic s tím rozdílem, že a) nesmíme beztrestně přehazovat řádky (když, tak buď hned dvakrát nebo je nutno opravit výsledek o znaménko) a b) nesmíme násobit řádek číslem (pokud nemůžeme jinak, musíme výsledný determimant tímto číslem opět vydělit). Na rozdíl od Gaussovy eliminace použité při hledání řešení soustavy lineárních rovnic, lze při převádění matice na trojúhelníkový tvar za účelem výpočtu determinantu provádět i sloupcové úpravy. To nám zajišťuje předposlední z výše uvedených vlastností (det A^T = det A). Inverzní matice Výpočet inverzní matice Gaussovou eliminační metodou, ukázka, že jde o řešení soustavy n×n rovnic, které ale obsahují n podsoustav se stejnou maticí soustavy, které můžeme řešit najednou, napíšeme-li pravé strany vedle sebe.
8 20.11.2008	Matice - pokračování Příklady na výpočet inverzní matice základní metodou Gaussovou eliminační metodou. Identita 1 = detA.detA⁻¹. Odvození obecného vzorce pro výpočet inverzní matice pro matice typu (2, 2). Obecný vzorec pro inverzní matici pomocí algebraických doplňků, algebraický doplněk k pozici i, j, příklady. Maticové rovnice, obecné řešení pomocí inverzní matice, příklady, kdy nemusíme počítat všechny koeficienty inverzní matice a je tak vhodné využít vztah pomocí algebraických doplňků.
9 27.11.2008	Maticové rovnice Další typy maticových rovnic, vytýkání zprava a zleva, doplnění jednotkové matice v případě potřeby apod. Příklady maticových rovnic, které nelze řešit pomocí inverzní matice. To je například rovnice AX = XA, kterou jsme již řešili na 4. cvičení, 23. 10. 2008. Lineární prostor Definice, prvky L, operace, axiomy. Lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost (značíme stručně LZ a LN), kriterium lineární závislosti a nezávislosti, naznačení důkazu. Úlohy typu vyšetřit lineární závislost a nezávislost, příklady evidentně lineárně závislých a nezávislých vektorů, jak se to pozná. Pokud množina obsahuje nulový vektor, je vždycky lineárně závislá.
10 4.12.2008	Písemka na maticovou rovnici Lineární prostor, další pojmy: lineární obal, lineární podprostor, báze, uspořádaná báze, souřadnice, dimenze. Příklady je zadán lineární podporostor M jako lineární obal množiny zadaných vektorů, má se zjistit, zda nějaký zadaný vektor je prvkem M, má se zjistit, zda zadaná množina vektorů je báze, je zadán lineární podprostor jako lineární obal množiny zadaných vektorů, má se najít jeho některá báze a určit dimenze.
11 11.12.2008	Lineární prostor, další pojmy: lineární obal, lineární podprostor, báze, uspořádaná báze, souřadnice, dimenze. Příklady je zadán lineární podporostor M jako lineární obal množiny zadaných vektorů, má se zjistit, zda nějaký zadaný vektor je prvkem M (to jsme neřešili, hledá se vektor jako lin. kombinace báze, existuje-li, je vektor z množiny M), má se zjistit, zda zadaná množina vektorů je báze, je zadán lineární podprostor jako lineární obal množiny zadaných vektorů, má se najít jeho některá báze a určit dimenze, nalezení souřadnic vektoru v dané bázi, ověření, zda se jedná o bázi. Soustavy lineárních rovnic Případy s regulární a singulární maticí soustavy. Frobeniova věta. Příklad na soustavu se singulární maticí. Řešení se napíše jako součet partikulárního řešení a řešení přidružené homogenní soustavy.