Probrané učivo - semináře Žáček

pátek 9:15, paralelka 213
Týden	Probrané učivo
1 3.10.2008	Úvod Organizace výuky, bodový systém, požadavky na zápočet. Polynomy Definice, stupeň, vlastnosti. Operace s polynomy: sčítání, násobení, dělení. Věta o dělení polynomu polynomem, vztah zbytku a hodnoty u dělení polynomem tvaru x − a.
2 10.10.2008	Hornerovo schema Výhody z hlediska počtu operací a zaokrouhlovacích chyb, postup. Použití Hornerova schematu k nalezení podílu a zbytku při dělení lineárním polynomem tvaru x − x₁. Kořeny polynomů násobné a komplexní kořeny, komplexně sdružené kořeny, rozklad polynomu na součin kořenových činitelů a na součin ireducibilních polynomů. Speciální polynomy: bikvadratický polynom, polynom se sudými mocninami, snížení stupně substitucí
3 17.10.2008	Binomický polynom xⁿ − a. Věta o racionálních kořenech (bez důkazu), její aplikace na příkladě. Postup hledání kořenů polynomů stupně > 2: rychlý test kořenů 0, +1, −1, odhad celočíselných kořenů, snižování stupně.
4 24.10.2008	Písemka na polynomy Lineární prostor, lineární kombinace, lineární závislost a nezávislost. Kritérium lineární nezávislosti množiny n vektorů z lineárního prostoru. Příklady.
5 31.10.2008	Lineární prostor, další pojmy: lineární obal, lineární podprostor, báze, uspořádaná báze, souřadnice, dimenze. Příklady je zadán lineární podporostor M jako lineární obal množiny zadaných vektorů, má se zjistit, zda nějaký zadaný vektor je prvkem M, má se zjistit, zda zadaná množina vektorů je báze, je zadán lineární podprostor jako lineární obal množiny zadaných vektorů, má se najít jeho některá báze a určit dimenze, První dva příklady jsme řešili konkrétně, pro aritmetické vektory o třech složkách, třetí příklad jsme řešili abstraktně, aniž bychom věděli, o jaké konkrétní vektory se jedná.
6 7.11.2008	Lineární prostor - pokračování Příklad: Určení, zda dvě různé báze jsou báze téhož podprostoru. Dálší pojmy: průnik lineárních podprostorů spojení lineárních podprostorů Identita dim(M) + dim(N) = dim(M∩N) + dim(M+N) Příklady na nalezení průniku a spojení dvou lineárních podporostorů a jejich dimenzí a metody řešení.
7 14.11.2008	Písemka na lineární prostor Matice Maticové násobení, které matice lze násobit a jaký bude výsledek, některé speciální případy, součiny vektorů zapsané maticově. Vlastnosti maticového násobení: asociativita (bez důkazu), nekomutativita (příklady, pokračovat budeme na příštím cvičení).
8 21.11.2008	Maticová algebra Vlastnosti maticového součinu (asociativita, distributivní zákony, nekomutativita, součin nenulových matic může být nulová matice). Determinanty Motivační příklad - řešení soustavy lineárních rovnic obecně - vyjde determinat ve jmenovatelích výsledku. Definice determinantu, výpočet pomocí definice a rozvojem podle řádku a sloupce. Příklady, determinant matice s nulovým blokem, determinant diagonální matice.
9 28.11.2008	Determinanty - dokončení Výpočet determinantu úpravou na trojúhelníkovou matici, příklady. Inverzní matice Definice, základní metoda výpočtu inverzní matice Gaussovou eliminační metodou, ukázka, že jde o řešení soustavy n×n rovnic, které ale obsahují n podsoustav se stejnou maticí soustavy, které můžeme řešit najednou, napíšeme-li pravé strany vedle sebe. Odvození obecného vzorce pro výpočet inverzní matice pro matice typu (2, 2).
10 5.12.2008	Matice - pokračování Obecný vzorec pro inverzní matici pomocí algebraických doplňků, příklady. Doporučoval jsem počítat nejprve diagonální členy, u nich se nemění znaménko a namá na ně vliv transpozice, poté najít všechny členy např. nad diagonálou a nakonec pod diagonálou. Maticové rovnice, obecné řešení pomocí inverzní matice, příklady, kdy nemusíme počítat všechny koeficienty inverzní matice a je tak vhodné využít vztah pomocí algebraických doplňků. Příklady maticových rovnic, které nelze řešit pomocí inverzní matice. To je například rovnice AX = XA, která, protože má více řešení (například E, 0, A, A⁻¹), není ani v principu možné napsat řešení v explicitním vztahu pro X maticově pomocí inverzní matice. Soustavy lineárních rovnic Případy s regulární a singulární maticí soustavy. Frobeniova věta. Příklad na soustavu se singulární maticí. Řešení se napíše jako součet partikulárního řešení a řešení přidružené homogenní soustavy.
11 12.12.2008	Zápočtová písemka