Probrané učivo - semináře Žáček

Probrané učivo, Lineární algebra a aplikace semináře, zimní semestr 2009/10

úterý 14:30, čtvrtek 14:30 liché týdny, paralelka 109
Týden	Probrané učivo
1 22.9.2009	Cvičení odpadlo, místo tohoto semináře jsem měl omylem seminář kolegy Bednaříka.
1 24.9.2009	Úvod, organizace předmětu, pravidla pro získání zápočtu. Polynomy, definice, algebraické operace, podíl dvou polynomů, zbytek. Věta o dělení polynomu polynomem (bez důkazu, avšak ilustrováno na konkrétním příkladě, kde byla ilustrována i jednoznačnost), zvláštní případ dělení kořenovým činitelem, "uhodnutí" zbytku. Rozklad polynomu na sučin kořenových činitelů, důkaz matematickou indukcí pomocí základní věty algebry.
2 29.9.2009	Věta o dělení polynomu polynomem (bez důkazu, avšak ilustrováno na konkrétním příkladě, kde byla ilustrována i jednoznačnost), zvláštní případ dělení kořenovým činitelem, "uhodnutí" zbytku. Rozklad polynomu na sučin kořenových činitelů, důkaz matematickou indukcí pomocí základní věty algebry. Hornerovo schema, nalezení polynomiální části podílu a nalezení zbytku, což je také hodnota podílu polynomu v bodě, pro případ kdy dělitel je tvaru x − x₀. Ilustrace, že Hornerovo schema je výhodnější jak z hlediska počtu operací tak z hlediska zaokrouhlovacích chyb. Příklad na vyhledání celočíselných kořenů, kdy rozklad polynomu na součin jednodušších polynomů s výhodou provádíme Hornerovýcm schematem. Matice, úvod, operace s maticemi, násobení matic.
3 6.10.2009	Cvičení vedl Michal Bednařík, byly spojeny dvě skupiny do jednoho cvičení.
3 8.10.2009	Cvičení vedl Michal Bednařík, byly spojeny dvě skupiny do jednoho cvičení.
4 13.10.2009	Gaussova eliminační metoda Ilustrační příklad: soustava o třech rovnicích a třech neznámých. Maticový tvar soustavy. Duležité pojmy: matice soustavy, rozšířená matice soustavy, pravá strana, ekvivalence dvou rozšířených matic soustavy (odpovídají soustavám se stejným řešením), trojúhelníková matice, nalezení řešení z trojúhelníkové matice zpětným dosazováním. Dovolené úpravy v metodě GEM: přehození řádků, vynásobení řádků nenulovým číslem, přičtení řádku k jinému řádku, vynechání nulových řádků. Jak se poznají případy, kdy řešení neexistuje nebo kdy existuje nekonečně řešení. Determinant Výpočet determinantu Sarusovým pravidlem, z definice a rozvojem podle řádku/sloupce.
5 20.10.2009	Determinanty - dokončení Vlastnosti determinantů: Přehození řádků/sloupců v matici → změna znaménka determinantu, násobení řádku/sloupce matice číslem α → násobení determinantu α, det A^T = det A, přičteme-li k libovolnému řádku/sloupce libovolný násobek jiného řádku/sloupce, determinant se nezmění. Poslední vlastnost jsme využili při metodě výpočtu determinantu spočívající v převedení matice na trojúhelníkový tvar. Postupuje se podobně jako při Gaussově eliminaci použité pro hledání řešení soustavy lineárních rovnic s tím rozdílem, že a) nesmíme beztrestně přehazovat řádky (když, tak buď hned dvakrát nebo je nutno opravit výsledek o znaménko) a b) nesmíme násobit řádek číslem (pokud nemůžeme jinak, musíme výsledný determimant tímto číslem opět vydělit). Na rozdíl od Gaussovy eliminace použité při hledání řešení soustavy lineárních rovnic, lze při převádění matice na trojúhelníkový tvar za účelem výpočtu determinantu provádět i sloupcové úpravy. To nám zajišťuje předposlední z výše uvedených vlastností (det A^T = det A). Geometrický význam determinantu: změna velikosti plochy nebo objemu, chápeme-li matici jako operátor, s nímž geometricky transformujeme množinu bodů v rovině nebo v prostoru.
5 22.10.2009	Inverzní matice Definice, motivace, čemu inverzní matici zavádíme, úpravy maticových rovnic, porovnání s obdobnými úpravami v případě rovnic s reálnými čísly, kde můžeme dělit, pokud tedy není dělitel nulový, definice inverzní matice, kriterium kdy inverzní matice existuje (musí mít nenulový determinant), Výpočet inverzní matice Gaussovou eliminační metodou, ukázka, že jde o řešení soustavy n×n rovnic, které ale obsahují n podsoustav se stejnou maticí soustavy, které můžeme řešit najednou, napíšeme-li pravé strany vedle sebe. Odvození obecného vzorce pro výpočet inverzní matice pro matice typu (2, 2). Obecný vzorec pro výpočet inverzní matice pomocí doplňků, algebraický doplněk k pozici i,j, příklady, postup výpočtu.
6 27.10.2009	Příklad na determinanty (určení koeficientů polynomu jako determinantu speciální matice, obsahující reálná čísla a proměnnou x). Písemka z matic. Maticové rovnice Úpravy v maticovém tvaru, násobení inverzní maticí zprava a zleva, vytýkání a roznásobování zprava a zleva, vynásobení jednotkovou maticí před vytknutím. Maticové rovnice, které nelze řešit pomocí inverzní matice. Příklad nalézt matici X k zadané matici A tak, aby platilo AB = BA. Nepočítali jsme, jen jsme si demonstrovali, že nelze v rovnici vytknout X a člen v součinu s X eliminovat inverzní maticí a že existují různá řešení, nikoliv jediné.
7 3.11.2009	Lineární prostor Úvod, lineární algebra jako množina prvků spolu s definovanými operacemi a vlastnostmi, abstraktní vektory jako symboly pro jiné symboly. Lineární závislost a nezávislost (značíme stručně LZ a LN), základní příklad a různé speciální případy lineární závislosti (množina obsahující nulový vektor, 4 třísložkové vektory, jeden vektor jako násobek druhého apod. Geometrický význam lineární kombinace (přímka, rovina), geometrický význam lineární závislosti (LZ vektory leží ve stejné přímce, pokud jsou dva, v rovině pokud jsou tři atd.). Úloha nalézt zadaný polynom P(x) jako lineární kombinaci vektorů Q(x), R(x) a S(x).
7 5.11.2009	Lineární prostor - pokračování Další pojmy: lineární obal, lineární podprostor báze, dimenze, spojení a průnik dvou lineárních podprostorů. Úloha zjistit, zda daný vektor náleží do lineárnícho obalu zadaných vektorů (řeší se stejně jako poslední úloha s polynomy na minulém cvičení). Úloha najít bázi zadaného lineárního podprostoru (množinu jeho generátorů napíšeme do matice jako řádkové vektory a matici upravujeme Gaussovou eliminační metodou, výsledná báze jsou vektory získané z řádků trojúhelníkové matice. Úloha najít bázi a dimenzi spojení a průniku dvou podporostorů. Rovnost dim(M) + dim(N) = dim(M∩N) + dim(MvN)
8 10.11.2009	Lineární prostor - pokračování 2 Případy průniku dvou lineárních podprostorů, kdy průnik má nižší dimenzi než oba podprostory. Geometrická interpretace - přímka jako průnik dvou rovin. Příklad, kdy průnik je nejmenší možný − jednoprvkový, obsahující pouze nulový prvek. Úloha však byla formulována jako: "zjistěte, zda dvě zadané báze jsou z téhož lineárního podprostoru". Efektivním postupem řešení úlohy však je hledat průnik podprostorů zadaných oběma bázemi. Uspořádaná báze a souřadnice v uspořádané bázi, příklad na nalezení souřadnic v uspořádané bázi, jsou-li zadány souřadnice v jiné bázi a jsou zadány vzájemné vztahy mezi vektory obou bází. Alternativní řešení tohoto příkladu pomocí matice přechodu mezi bázemi. Tvrzení, že obdobný vztah mezi bázemi (zadáme-li bázové vektory jako složky aritmetických vektorů) platí i pro souřadnice v těchto bázích (zadáme-li je podobně jako složky aritmetických vektorů). Matici v tomto vztahu však musíme nahradit maticí inverzní a transponovanou. Toto jsme nedokazovali.
9 19.11.2009	Lineární zobrazení Lineární zobrazení, definice, příklad v němž zobrazíme třísložkový vektor na matici typu (2, 2), ověření z definice, že takové zobrazení je lineární. Příklad, v němž je zadáno lineární zobrazení pomocí vektorů báze. Vektor, který chceme zobrazit, napíšeme jako lineární kombinaci vektorů báze a poté zobrazíme, využijeme při výpočtu definici lineárního zobrazení. Po vyřešení úlohy byla vyřčena důležitá myšlenka, že pokud jsou zadány obrazy vektorů báze, známe u lineárního zobrazení vše, neboť můžeme zobrazit jakýkoliv vektor, stejným způsobem jako v poslední úloze. Obdobný příklad, kdy zobrazení není prosté, určení hodnosti zobrazení, nalezení jádra zobrazení a defektu. Příští cvičení budeme psát desetiminutový test na lineární prostor.
10 24.11.2009	Příklad na rozcvičení: zadány souřadnice vektoru x v uspořádané bázi {b₁, b₂}, dále souřadnice vektoru y v téže bázi. Úkolem je najít bázové vektory b₁ a b₂ Test na lineárníi prostor Lineární zobrazení − pokračování Příklad, kdy jsou zadány obrazy bázových vektorů, výpočet obecného vzorce pro zadání zobrazení pomocí vztahu mezi koeficienty.
11 1.12.2009	Zápočtová písemka.
11 3.12.2009	Lineární zobrazení − dokončení Případ, kdy je zobrazení zadáno tabulkou přiřazení obrazů k vektorům báze ale obrazy jsou LZ. Takové zobrazení není prosté. Výpočet hodnosti zobrazení, jádra a defektu, zobrazení "do" a zobrazení "na". Vztah dim M = hod A + Def A. Příklad na polynomy do stupně 3, kdy obraz je derivace. Definice matice lineárního zobrazení, vztah mezi obrazy báze a jinou bází, vztah mezi souřadnicemi vzoru a obrazu. Ověření obou případů pro příklad s polynomem. Tvrzení, že matice lineárního zobrazení je v případě prostého zobrazení regulární, jinak je singulární. Matice inverzního zobrazení je také inverzní k matici přímého zobrazení.