Probrané učivo - semináře Žáček

Probrané učivo, Lineární algebra a aplikace semináře, zimní semestr 2010/11

čtvrtek 12:30, středa 9:15 liché týdny, paralelka 216
Týden	Probrané učivo
1 23.9.2010	Úvod, organizace předmětu, pravidla pro získání zápočtu. Polynomy Definice, algebraické operace: sčítání, násobení, podíl dvou polynomů, zbytek, případ kdy jsou polynomy dělitelné beze zbytku, věta o dělení polynomu polynomem.
2 29.9.2010	Zvláštní případ dělení polynomů, kdy dělitel je kořenový činitel, ilustrováno na příkladě, kdy lze "uhodnout" hodnotu zbytku ještě před provedením dělení (zbytek je v tomto případě roven hodnotě polynomu v bodě x₀, jak lze nahlédnout z věty o dělení polynomu polynomem (dosadí se x₀ za proměnnou x). Rozklad polynomu na součin kořenových činitelů, důkaz matematickou indukcí pomocí základní věty algebry. Hornerovo schema, nalezení polynomiální části podílu a nalezení zbytku, což je také hodnota podílu polynomu v bodě, pro případ kdy dělitel je tvaru x − x₀. Ilustrace, že Hornerovo schema je výhodnější jak z hlediska počtu operací tak z hlediska zaokrouhlovacích chyb. Příklad na vyhledání celočíselných kořenů, kdy rozklad polynomu na součin jednodušších polynomů s výhodou provádíme Hornerovýcm schematem.
2 30.9.2010	Věta o racionálních kořenech (bez důkazu), ilustrace na polynomu, který má za kořeny zlomky s jedničkou v čitateli (pak člen a₀ je roven 1 a a_n je celé číslo, dělitelné všemi jmenovateli kořenů. Matice Úvod, operace s maticemi, násobení matic, vlastnosti maticového násobení. Ukazovali jsme si i některé speciální případy, že přidáním konstantního indexu ke složkám aritmetického vektoru formálně vytvoříme jednořádkovou nebo jednosloupcovou matici a můžeme s ním provádět maticové operace. Ukazovali jsme si skalární a tenzorový součin zapsaný pomocí maticového součinu, i když jsme to tak nenazývali a ani to tak nebudeme používat − jen jako ilustraci, jak obecná je maticová algebra a že to takto lze zapsat. Nekomutativitu jsme si ilustrovali pro různé případy, kdy po přehození činitelů není výsledek vůbec definován, kdy dostaneme matici jiného tvaru a konečně čtvercové matice, kdy dostaneme po komutaci stejný typ matice ale obecně s různými koeficienty. Při vytýkání (roznásobování) musíme dodržovat na rozdíl od reálných čísel pořadí součinu. Máme tedy vlastně dva distributivní zákony (roznásobování/vytýkání zleva/zprava) Případ, kdy součin nenulových matic je nulová matice a jaké to má důsledky například při úpravách maticových rovnic.
3 7.10.2010	Gaussova eliminační metoda Ilustrační příklad: soustava o třech rovnicích a třech neznámých. Maticový tvar soustavy. Duležité pojmy: matice soustavy, rozšířená matice soustavy, pravá strana, ekvivalence dvou rozšířených matic soustavy (odpovídají soustavám se stejným řešením), trojúhelníková matice, nalezení řešení z trojúhelníkové matice zpětným dosazováním. Dovolené úpravy v metodě GEM: přehození řádků, vynásobení řádků nenulovým číslem, přičtení řádku k jinému řádku, vynechání nulových řádků. Jak se poznají případy, kdy řešení neexistuje nebo kdy existuje nekonečně řešení. Determinanty Výpočet determinantu Sarusovým pravidlem a z definice.
4 13.10.2010	Determinanty - pokračování Vlastnosti determinantů: Přehození řádků/sloupců v matici → změna znaménka determinantu, násobení řádku/sloupce matice číslem α → násobení determinantu α, det A^T = det A, přičteme-li k libovolnému řádku/sloupce libovolný násobek jiného řádku/sloupce, determinant se nezmění. Poslední vlastnost jsme využili při metodě výpočtu determinantu spočívající v převedení matice na trojúhelníkový tvar. Postupuje se podobně jako při Gaussově eliminaci použité pro hledání řešení soustavy lineárních rovnic s tím rozdílem, že a) nesmíme beztrestně přehazovat řádky (když, tak buď hned dvakrát nebo je nutno opravit výsledek o znaménko) a b) nesmíme násobit řádek číslem (pokud nemůžeme jinak, musíme výsledný determimant tímto číslem opět vydělit). Na rozdíl od Gaussovy eliminace použité při hledání řešení soustavy lineárních rovnic, lze při převádění matice na trojúhelníkový tvar za účelem výpočtu determinantu provádět i sloupcové úpravy. To nám zajišťuje předposlední z výše uvedených vlastností (det A^T = det A).
5 14.10.2010	Determinanty - dokončení Příklady, ve kterých se kombinují všechny dosud probrané metody výpočtu determinantů. Inverzní matice Motivace, proč nezavádíme dělení maticí, proč by nebyly výhodné zlomky s maticemi (kvůli nekomutativitě jejich součinu). Definice, důkaz, že inverzní matice komutuje s původní maticí.
5 21.10.2010	Rozcvičovací příklad na determinanty (matice s koeficienty 0, 1, 2), ukazovali jsme si různé postupy řešení a porovnávali početníá efektivitu různých postupů. Písemka z matic. Inverzní matice Výpočet inverzní matice Gaussovou eliminační metodou, ukázka, že jde o řešení soustavy n×n rovnic, které ale obsahují n podsoustav se stejnou maticí soustavy, které můžeme řešit najednou, napíšeme-li pravé strany vedle sebe.
6 27.10.2010	Inverzní matice − pokračování Důkaz (pomocí elementárních transformačních matic), že při výpočtu inverzní matice Gaussovou metodou lze provádět i sloupcové úpravy. Ilustrační příklad, že to funguje, na matici typu (2, 2). Jako vedlejší efekt jsme si zopakovali znalosti z přednášek, co jsou elementární transformační matice a jak fungují. Nalezení inverzní matice obecně, počítali jsme pro matici typu (2, 2), vyšel nám výsledek jako vzorec, ve jmenovateli vyšel determinant matice. Obecný vzorec pro inverzní matici. Algebraický doplněk. Ilustrační výpočet inverzní matice typu (3, 3). Praktické poznámky: - doporučoval jsem počítat nejprve členy na diagonále, nemusíte myslet na znaménko a na transpozici, - výhoda vzorce je, že počítáte členy v matici nezávisle, můžete si tedy ušetřit námahu a čas, pokud nepotřebujete znát všechny koeficienty, také pokud se při výpočtu spletete, ovlivní chyba jen jeden koeficient, - použití vzorce je ze začátku technicky obtížnější (provádí se víc úkonů najednou a nesmí se na nic zapomenout), pokud to však natrénujete, postup je rychlejší a bezpečnější než u metody GEM. Příklad na maticovou rovnici.
6 28.10.2010	Cvičení odpadlo, státní svátek, den vzniku samostatného českosl. státu (28. 10. 1918).
7 4.11.2010	Maticové rovnice − dokončení a) Maticové rovnice řešitelné pomocí inverzní matice Postup (omezili jsme se jen an lineární rovnice): členy s neznámou maticí X převedeme na jednu stranu rovnice, ostatní členy na druhou stranu, na první straně vytkneme ze všech členů X a rovnici vynásobíme inverzní maticí k matici k závorce. Tím osamostatníme X a dostaneme tak explicitní vyjádření řešení v maticovém tvaru. Je evidentní, že takové řešení nemůžeme nikdy dostat, pokud by mělo existovat více řešení nebo žádné řešení, takové rovnice nelze řešit pomocí inverzní matice, viz dále: b) Maticové rovnice, které nelze řešit pomocí inverzní matice Ukazovali jsme si příklad, který ilustroval, jak se v daném případě postupuje. Zadání požadovalo najít všechny matice takové, které komutují se zadanou maticí A, tj. má se vyřešit rovnice AX − XA = 0 vzhledem k neznámé matici X. Pro zadanou matici typu (2, 2) vyšly 4 rovnice pro 4 neznámé, těmi jsou koeficienty neznámé X. Ve dvouparametrickém řešení jsme si ukazovali, že je obsaženo několik řešení, které jsme předem uhodli (A, E, 0, A⁻¹ a všechny násobky těchto matic) a také mnoho jiných. Až probereme lineární prostor, bude možné ukázat, že pokud dokážeme, že řešení je dvouparametrické, stačí najít jako řešení dvě nezávislé matice a všechna řešení pak tvoří všechny lineární kombinace těchto dvou matic.
8 10.11.2010	Lineární prostor axiomy, jejich struktura a jak je lze snadno logicky zapamatovat, jak se provádějí důkazy pomocí axiomů, lineární závislost a nezávislost, příklady na lineárně závislé a lineárně nezávislé množiny vekktorů z různých lineárních prostorů. Lineární závislost a nezávislost vlastně není nový pojem, je to již z minulosti známá vlastnost rovnic při řešení soustav lineárních rovnic (pokud lze některou rovnici v soustavě obdržet jako lineární kombinaci ostatních rovnic, jedná se o lineárně závislou soustavu rovnic).
8 11.11.2010	Lineární prostor - pokračování Další pojmy: lineární obal, lineární podprostor báze, dimenze, uspořádaná báze a souřadnice.
9 18.11.2010	Lineární prostor - pokračování 2 - Průnik a spojení dvou lineárních podprostorů Úloha zjistit, zda daný vektor náleží do lineárnícho obalu zadaných vektorů (řeší se stejně jako poslední úloha s polynomy na minulém cvičení). Případy průniku dvou lineárních podprostorů, kdy průnik má stejnou nebo nižší dimenzi než oba podprostory. Geometrická interpretace - přímka jako průnik dvou rovin. Příklad, kdy průnik je nejmenší možný − jednoprvkový, obsahující pouze nulový prvek. Úlohu lze formulovat také jako "zjistěte, zda dvě zadané báze jsou z téhož lineárního podprostoru". Efektivním postupem řešení úlohy však je hledat průnik podprostorů zadaných oběma bázemi. Identita dim(M) + dim(N) = dim(M∩N) + dim(MvN).
10 24.11.2010	Soustavy lineárních rovnic Případy s regulární a singulární maticí soustavy. Frobeniova věta. Příklad na soustavu se singulární maticí. Řešení se napíše jako součet partikulárního řešení a řešení přidružené homogenní soustavy. Příklad soustavy lineárních rovnic s parametrem, řešení se rozštěpilo na 3 případy: jediné řešení (řešili jsme Cramerovým pravidlem, lze řešit také inverzní maticí nebo GEM a zpětným dosazováním, to jsme však již dělali na minulých cvičeních, nekonečně řešení, zapíše se přímo jako partikulární řešení + řešení přidružené homogenní soustavy, řešení neexistuje.
10 25.11.2010	Zápočtová písemka.
11 2.12.2010	Matice přechodu mezi bázemi Maticový vztah mezi vektory báze a odvození analogického vztahu mezi souřadnicemi vektoru v jedné a ve druhé bázi. Příklad, na kterém jsme si demnostrovali všechny vztahy pro konkrétní zadání. Vlastnosti matice přechodu mezi bázemi: je určena jednoznačně, je čtvercová typu (n, n) kde n = dimM, je regulární, inverzní matice k této matici je matice přechodu mezi bázemi v opačném směru. Lineární zobrazení Definice, homogenita, aditivita, linearita, důkaz, že zadané zobrazení je/není lineární.