FYZIKA I • FYZIKA II • FYZIKA • TEORETICKÁ MECHANIKA (TF1) • KVANTOVÁ TEORIE (TF2)
STATISTICKÁ FYZIKA (TF3) • VZTAH MATEMATIKY A FYZIKY (TF4) • OBECNÁ RELATIVITA (TF4)
ELEKTROMAGNETICKÉ POLE (TF4) • FYZIKA PLAZMATU • ASTROFYZIKA • ASTRONOMICKÝ KURZ
ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS (MIT) • MODULY • STŘEDNÍ ŠKOLY

FYZIKA – TERMODYNAMIKA (PŘÍKLADY)

	Raketa
	Ryba
	Barometrická formule
	Vodorovný vrh
	Měrná tepla
	Úplné a neúplné diferenciály
	Účinnost tepelného stroje
	Růst ledu na rybníce
	Reálný plyn

Příklad 1: Raketa

Zadání: na oběžné dráze se nachází raketa o objemu 10 m³. Uvnitř je vakuum. Nějakým způsobem vpravíme dovnitř 1 cm³ (1 gram) vody. Určete tlak vodních par, který vznikne v raketě. Teplota lodi i vody je 100 K.

Předpoklady: Jde o izotop vody H₂O, známe hmotnost jednoho nukleonu m_p.

Řešení: Tlak spočteme ze stavové rovnice p = Nk_BT/V. Počet částic určíme jako podíl hmotnosti kapky a jedné molekuly vody: N = m/m₀ = m/(18 m_p).

Výsledek: je 4.6 Pa.

Příklad 2: Ryba

Zadání: Ryba vypustí na dně rybníka, v hloubce 5 m, bublinu (T = 10 °C, V = 1 cm³). Určete její objem na povrchu rybníka (T = 20 °C).

Předpoklady: Zanedbejte absorpci molekul plynu do vody (N = const).

Řešení: Využijeme stavovou rovnici při konstantním počtu částic: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Odsud plyne:

V₂ = (p₁/p₂)(T₂/T₁) V₁.

Známé hodnoty:

p₁ = p_atm + hρg = 1.5×10⁵ Pa 

p₂ = p_atm = 1.0×10⁵ Pa 

T₁ = 283 K 

T₂ = 293 K 

V₁ = 1 cm³

Výsledek: V₂ = 1.55 cm³.

Modifikace (pro nepodprůměrné studenty): Zkuste si najít závislost velikosti bubliny na hloubce za předpokladu, že teplota roste ode dna k povrchu lineárně. Zkuste sestavit pohybovou rovnici bubliny (silou je vztlak) a řešit pohyb bubliny v závislosti na čase.

Příklad 3: Barometrická formule

Zadání: Určete rozložení tlaku s výškou nad povrchem Země.

Předpoklady: Výška atmosféry (stovky km) je vzhledem k poloměru Země malá a proto budeme předpokládat, že na jednotlivé molekuly (dusíku) působí místo celkové gravitační síly jen tíhová síla m₀g, m₀ je hmotnost jedné molekuly. Teplota v atmosféře je konstantní.

       

Řešení: Vrstva atmosférického sloupce tloušťky Δy zvýší povrchový tlak o Δp = ΔF/ S = − m₀g ΔN / S, kde ΔN je počet částic ve vrstvě, který určíme ze stavové rovnice p ΔV = ΔN k_BT. Objem ΔV  = S Δy. Je-li vrstva limitně tenká, získáme diferenciální rovnici

dp / dy = − (m₀g /k_BT ) p .

Diferenciální rovnici vyřešíme standardními metodami pro řešení lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu. Můžeme sestavit charakteristickou rovnici nebo rovnici řešit metodou separace.

Výsledek: Barometrická formule

p(y) = p(0) exp[− m₀gy / k_BT ].

Příklad 4: Vodorovný vrh

Zadání: Nalezněte mechanickou práci vykonanou tíhovým polem při vodorovném vrhu (po různých trajektoriích). Je diferenciální forma pro mechanickou práci ve tvaru úplného diferenciálu?

Řešení:

Silové pole: F  = (0 , − mg )

Parametrické zadání křivek a jejich diferenciálů je (parametr t nemusí mít vždy význam času):

γ: (x = v₀t, y = H − gt²/2);     t ∈ <0, (2H/g)^1/2>,

γ₁: (x = 0, y = t);     t ∈ <H, 0>,

γ₂: (x = t, y = 0);     t ∈ <0, x_d> ,

dγ: (dx = v₀ dt, dy = − gt dt),

dγ₁: (dx = 0, dy = dt),

dγ₂: (dx = dt, dy = 0),

Koncový čas u křivky γ jsme určili z podmínky dopadu y = 0. U křivek γ₁ a γ₂ má t význam parametru křivky a neodpovídá času jako u křivky γ. Vykonaná práce je

ΔA = ∫_γ F·dx = ∫_γ (F_x·dx + F_y·dy) = ∫_γ (0·dx − mg·dy).

Snadno zjistíme, že je splněna podmínka ∂F_x/∂y = ∂F_y/∂x, a proto je diferenciální forma ve tvaru totálního diferenciálu a výsledek tedy nemůže záviset na integrační cestě:

Výsledek:

ΔA = ∫_γ (F_x·dx + F_y·dy) = ∫₀^√(2H/g)(0·0 + mg·gt dt) = mgH,

ΔA = ∫_γ1+γ2(F_x·dx + F_y·dy) = ∫_H⁰(0·0 − mg dt) +  ∫₀^x_d(0·dt − mg 0) = mgH.

Příklad 5: Měrná tepla

Zadání: Určete měrná molární tepla C_p a C_v pro jednoatomární plyn. Určete měrná tepla c_p a c_v za normálních podmínek, je-li hustota plynu 1.3 kg m⁻³.

Předpoklady: Za normální podmínky považujeme atmosférický tlak p_A = 10⁵ Pa a pokojovou teplotu T = 300 K.

Řešení: Vyjdeme z Mayerova vztahu C_P = C_V + R a z Poissonova vztahu C_P/C_V = (f+2)/f. Oba vztahy chápeme jako soustavu rovnic pro neznámá molární tepla. Po vyřešení máme:

C_V = (f /2)R,

C_P = (f /2 + 1) R .

Nyní zbývá určit měrná tepla c_P a c_V. Z definic tepel C, c

C ≡ (∂Q/∂T)/n,

c ≡ (∂Q/∂T)/m.

plyne vztah c = n/m C. Počet molů n určíme ze stavové rovnice pV = nRT a hmotnost plynu z definice hustoty ρ = m/V. Dostaneme tak

c_V = C_V p/(ρRT),

c_P = C_P p/(ρRT).

Výsledek: C_V = 12.45 JK⁻¹mol⁻¹, C_P = 20.75 JK⁻¹mol⁻¹, c_V  = 385 JK⁻¹kg⁻¹, c_P = 641 JK⁻¹kg⁻¹.

Příklad 6: Úplné a neúplné diferenciály

Zadání: 1 m³ plynu za normálních podmínek je zahřán nejprve isochoricky na teplotu 600 K a poté isobaricky na teplotu 1800 K. Určete celkovou vykonanou práci, změnu tepelné energie, vnitřní energie a entropie. Určete tyto změny, došlo-li by k přechodu do koncového stavu přímo po přímce v pV diagramu. Porovnejte výsledky s tím, co víte o úplných a neúplných diferenciálech. Jakou mechanickou práci by plyn vykonal, kdyby byl děj kruhový?

Předpoklady: Plyn je dvojatomární. Za normální podmínky považujeme atmosférický tlak p_A = 1 atm = 10⁵ Pa a pokojovou teplotu T = 300 K.

Řešení: Ze stavové rovnice pV = Nk_BT, respektive pV = nRT určíme stavové parametry jednotlivých bodů:

A:	TA= 300 K	pA= 1 atm	VA= 1 m3
B:	TB = 600 K	pB = 2 atm	VB = 1 m3
C:	TC = 1800 K	pC = 2 atm	VC = 3 m3

Navíc pro všechny tři body je ve stavové rovnici shodný výraz α = nR = Nk_B = pV/T = 1/300 atm m³ K⁻¹, který souvisí s množstvím plynu.

Snadno určíme rovnice všech tří křivek (γ₃ je úsečka procházející body A a C):

γ₁:     V = V_A,

γ₂:     p = p_B,

γ₃:     p(V) = p_A + (p_C − p_A) (V− V_A)/(V_C − V_A).

Nejprve spočtěme vykonanou mechanickou práci po obou cestách:

ΔA₁ + ΔA₂ = ∫_γ1p dV + ∫_γ2p dV = 0 + p_B (V_C − V_B) = 4 atm m³ = 4×10⁵ J,

ΔA₃= ∫_γ3pdV =  ∫_VA^V_C[p_A + (p_C − p_A) (V− V_A)/(V_C − V_A)] dV = 3 atm m³ = 3×10⁵ J.

Povšimněte si, že hodnoty odpovídají přesně ploše pod příslušnými křivkami. Práce není úplný diferenciál a proto po různých cestách vyšel různý výsledek. Po uzavřené křivce je integrál mechanické práce nenulový a geometricky má význam plochy uzavřené křivkou v pV diagramu:

∮_{γ1+γ2−γ3}p dV = ΔA₁ + ΔA₂ − ΔA₃ = (0 + 4 − 3)×10⁵ J = 1×10⁵ J.

Určeme nyní například integrál entropie. Obecně platí:

dS = nC_V dT/T + nR dV/V = α [(f/2) dT/T + dV/V].

Po jednotlivých cestách máme:

ΔS₁ = ∫_γ1dS = α[(f/2) ln 2],

ΔS₂ = ∫_γ2dS = α[(f/2) ln 3 + ln 3] = α[(f/2) + 1] ln 3,

ΔS₃ = ∫_γ3dS = α[(f/2) ln 6 + ln 3] = α[(f/2) ln 2] + α[(f/2) + 1] ln 3.

Je vidět, že ΔS₁ + ΔS₂ = ΔS₃. Integrál po obou cestách je stejný, protože entropie je úplným diferenciálem. Po uzavřené křivce je integrál entropie nulový (Clausiova rovnice), tj.

∮_{γ1+γ2−γ3}dS = ΔS₁ + ΔS₂ − ΔS₃ = 0.

Podobně bychom postupovali při určování dalších veličin (vnitřní energie, která je úplným diferenciálem a tepelné energie, která není úplným diferenciálem).

Příklad 7: Účinnost tepelného stroje

Zadání: Určete maximální možnou účinnost tepelného stroje, který je chlazený proudící vodou (T = 20° C) a ohříván vodní párou (T = 200° C).

Řešení: Využijeme Carnotův vztah η = (T − T₀)/T.  Podle Carnotovy věty jde o největší možnou účinnost. Pozor! Hodnoty je třeba zadat v absolutní teplotní stupnici.

Výsledek: 38 %.

Příklad 8: Růst ledu na rybníce

Zadání: Určete funkci času, podle které narůstá led na hladině rybníka. Zjistěte za jakou dobu naroste deseticentimetrová vrstva při teplotě −5 °C.

Předpoklady: Led přirůstá na spodní straně (na styku ledu s vodou), kde je teplota rovna teplotě fázového přechodu, tj 0 °C. Měrné skupenské teplo tání l, koeficient tepelné vodivosti λ, hustotu ledu ρ a jiné potřebné hodnoty naleznete v tabulkách materiálových konstant.

Řešení:

Ve vrstvě, kde se mění voda v led se uvolňuje tepelná energie dQ = l dm = l ρ dV = l ρ S dh. Toto teplo musí být odvedeno skrze vrstvu ledu podle vztahu: dQ/dt = λ(S·∇)T = λS ΔT/h. Porovnáním obou vztahů získáme diferenciální rovnici:

dh/dt = λΔT/(lρh),

kterou řešíme separací proměnných:

∫₀^hhdh = λΔT/(lρ) ∫₀^tdt.

Po integraci nalezneme řešení

h(t) = [2 λΔT/(lρ)]^1/2 t^1/2.

Výsledek: Vidíme, že led zpočátku narůstá rychle. Později se nárůst zpomaluje, protože odvod tepla probíhá tlustší vrstvou ledu. Deseticentimetrová vrstva ledu naroste při venkovní teplotě −5° C cca za dva dny.

Příklad 9: Reálný plyn

Zadání: Určete rozměry molekul reálného plynu, znáte-li jeho kritické parametry. Řešte pro vodu a CO₂.

Předpoklady: Předpokládáme, že se reálný plyn chová podle van der Waalsovy rovnice (stavová rovnice opravená na vlastní objem molekul a na kohézní tlak). Potřebné hodnoty konstant naleznete v tabulkách materiálových konstant.

Řešení: Van der Waalsovu rovnici pro jeden mol plynu (p + a/V ²)(V − b) = RT  přepíšeme do tvaru kubické rovnice pro objem a dosadíme kritickou teplotu a tlak:

p_cV ³ − (p_cb + RT_c)V ² + aV − ab = 0.

Van der Waalsova rovnice má buď tři, nebo jedno reálné řešení. Kritická izoterma je degenerovaný případ, při kterém všechna tři reálná řešení splynou. Rovnice kritické izotermy proto musí mít tvar (V − V_c)³ = 0. Po roznásobení porovnáme koeficienty obou vyjádření a získáme soustavu rovnic

p_cb + RT_c = 3V_c p_c ,

a =  3p_cV_c ²,

ab = V_c ³p_c .

Jde o vztah mezi kritickými parametry plynu a Van der Waalsovými konstantami a a b. Z experimentu zpravidla známe hodnoty T_c a p_c. Z rovnic vyloučíme kritický objem (např. vydělíme třetí a druhou rovnici a V_c dosadíme do první a druhé rovnice) a nalezneme konstanty a a b:

a = (27/64)R²T_c ²/p_c ,

b = RT_c /(8p_c).

Konstanta b má význam objemu jednoho molu molekul plynu. Objem jedné molekuly proto bude V₀ = b/N_A a lineární rozměr molekuly bude r₀ ~ V₀^1/3.

Výsledek:

Pro CO₂: b = 4.26×10⁻⁵ m³ mol⁻¹, r₀ ~ 4.1×10⁻¹⁰ m.

Pro H₂O: b = 3.05×10⁻⁵ m³ mol⁻¹, r₀ ~ 3.7×10⁻¹⁰ m.

Termo	Kmity	Vlny	Elmg	Optika	Relativita	Kvanta
Příklady	Příklady	Příklady	Příklady	Příklady	Příklady	Příklady