Gravitace | Newtonův gravitační zákon

Trocha historie

První gravitační experimenty provedl Galileo Galilei (1564–1642). Sledoval volný pád, šikmý vrh, pohyb po nakloněné rovině a závislost periody kyvadla na délce závěsu. Objevil základní zákony těchto pohybů, včetně zákona o skládání rychlostí. Poprvé v novodobých dějinách použil experiment k ověření myšlenkových konstrukcí. Kromě těchto aktivit byl také konstruktérem prvního astronomického dalekohledu, objevil krátery na Měsíci, Jupiterovy měsíce Io, Europu, Ganymedes a Callisto a sledoval Mléčnou dráhu.

K dalšímu poznání gravitace přispěli Tycho Brahe (1546–1601) a Johannes Kepler (1571–1630). Tycho Brahe byl dánský astronom, vynikající pozorovatel. Od roku 1599 byl dvorním astronomem císaře Rudolfa II v Praze. Na základě jeho detailních pozorování pohybů planet Sluneční soustavy formuloval německý astronom Kepler své zákony pohybu planet. V letech 1600–1612 působil také v Praze ve službách Rudolfa II.

První univerzální zákon gravitace objevil sir Isaac Newton (1643–1727). Zjistil, že gravitační síla je úměrná součinu hmotností těles a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti objektů. Vytvořil nezávisle na Leibnitzovi diferenciální počet, na základě kterého lze předpovídat polohy těles. Z Newtonova gravitačního zákona je možné vypočítat nejen volný pád, šikmý vrh a pohyby na povrchu Země, ale i pohyb Měsíce, planet, gravitační působení dvojhvězd, hvězdokup a galaxií. Lidstvo tak poprvé dostalo do rukou zákon a současně matematický aparát, který z něho umožňuje vypočítat pohyby na nejrůznějších škálách.

Tvůrci klasické gravitační teorie: Galilei, Brahe, Kepler a Newton.

Newtonův gravitační zákon

Newtonův gravitační zákon předpokládá, že mezi dvěma hmotnými objekty působí přitažlivá síla nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti objektů a přímo úměrná jejich hmotnostem: F = Gm₁m₂/r². Ve vektorovém tvaru má tento zákon tvar: F = −Gm₁m₂r/r³. Z gravitačního zákona lze pro známé počáteční polohy těles předpovědět jejich budoucí časový vývoj na základě pohybových rovnic

m d²x/dt² = −G m₁m₂ x/r³,
m d²y/dt² = −G m₁m₂ y/r³,
m d²z/dt² = −G m₁m₂ z/r³.

Gravitační konstanta byla poprvé experimentálně určena Henry Cavendishem (1731–1810), viz AB S2/2004, dnešní hodnota je

G = 6,6720×10^-11 Nm²kg^-2.

Analytické řešení je možné pro problém dvou těles. Komplikovanější systémy se řeší numericky. Nejjednodušší je řešení pohybu málo hmotného tělesa kolem velmi hmotného centra. Jde například o pohyb planety, planetky nebo komety kolem Slunce. Pohyb se děje v jediné rovině a po celou dobu pohybu se zachovává moment hybnosti b a energie E. Pro celkovou zápornou energii jde o pohyb po uzavřené křivce (elipse). Kdyby síla klesala s jinou než druhou mocninou vzdálenosti (například r^1,99), trajektorie by již nebyla uzavřená. Celková energie tělesa se v gravitačním poli skládá z radiální, oběžné a potenciální části. Podle hodnoty celkové energie E mohou nastat při pohybu kolem velmi hmotného centrálního tělesa tři případy:

E < 0: vázaný pohyb (elipsa),
E = 0: pohyb po parabole,
E > 0: pohyb po hyperbole.

Hyperbolický pohyb znamená únik z gravitačního pole centrálního tělesa. Gravitační zákon byl velmi úspěšný při vysvětlení pohybů v tíhovém i v gravitačním poli Země (tíhovým polem rozumíme gravitační pole v těsné blízkosti povrchu Země, navíc kombinované s odstředivou silou), při vysvětlení pohybu planety včetně poruch způsobených ostatními planetami a tělesy, ale i při vysvětlení vzájemného gravitačního působení skupin hvězd (vícenásobné hvězdy, hvězdokupy, galaxie atd.).

Planeta se kolem Slunce pohybuje po elipse. Tento pohyb je složením pohybu rovnoměrného přímočarého (pokud by nepůsobilo Slunce, planeta by odlétla ve směru červeného vektoru) a volného pádu směrem ke Slunci (modrý vektor).

Keplerovy zákony

Keplerovy zákony, byť byly odvozeny samostatně a dříve z pozorování, jsou z dnešního pohledu bezprostředním důsledkem Newtonova gravitačního zákona aplikovaného na pohyb planety kolem Slunce. Připomeňme si jejich znění:

Planety se kolem Slunce pohybují po elipsách. Pohyb probíhá v rovině. Slunce je v jednom z ohnisek.
Moment hybnosti planety se zachovává. (mrv_φ = const, plošná rychlost při oběhu je konstantní).
Třetí mocnina velké poloosy dráhy je úměrná druhé mocnině oběžné periody: a³/ T ² = G(m₁+m₂)/4π².

Zákon ploch. Na horním obrázku je planeta pohybující se v centrálním poli Slunce. Plochy opsané průvodičem jsou konstantní. Je-li planeta blíže ke Slunci, pohybuje se rychleji. Na dolním obrázku je ukázáno, že stejný zákon ploch platí i pro pohyb rovnoměrný přímočarý a libovolný bod A. Modré trojúhelníky mají stále stejnou plochu, neboť je stejná jejich základna i výška. Odvození naleznete ve skriptu F I.

Problémy Newtonova gravitačního zákona

Přes značné úspěchy, které zaznamenala aplikace Newtonova gravitačního zákona na různé systémy, má tento zákon z dnešního pohledu některé nedostatky, které vyřešila až obecná relativita:

Nekonečná rychlost interakce

V gravitačním zákonu nevystupuje čas. Pohne-li se jedno těleso, vzdálenost ke všem ostatním se změní okamžitě. Podle Newtonova zákona se o změně polohy tělesa dozvědí všechna ostatní tělesa ve vesmíru ihned. To znamená, že interakce probíhá nekonečnou rychlostí. To samozřejmě není pravda a odporuje to základním principům speciální teorie relativity. Interakce se může šířit maximálně rychlostí světla.

Problém definice síly

Sílu je velmi obtížné definovat. Zpravidla ji chápeme jako součin hmotnosti a zrychlení. K definici pojmu zrychlení musíme umět měřit délky a čas v inerciální souřadnicové soustavě. Inerciální soustava je taková soustava, ve které platí zákon setrvačnosti (inertia), tj. volná hmotná tělesa se pohybují rovnoměrně přímočaře. Volná tělesa jsou taková tělesa, na která nepůsobí síly. Celý pokus o definici síly se tak vždy uzavírá kruhem, který není možné rozumně přerušit. Ve dvacátém století se objevily dva přístupy, které problém síly řeší zcela novým způsobem. Je to především obecná teorie relativityObecná relativita – teorie gravitace publikovaná Albertem Einsteinem v roce 1915. Její základní myšlenkou je tvrzení, že každé těleso svou přítomností zakřivuje prostor a čas ve svém okolí. Ostatní tělesa se v tomto pokřiveném světě pohybují po nejrovnějších možných drahách, tzv. geodetikách., která pojem síly nahrazuje křivým prostorem a časem a elegantně převádí otázky gravitační interakce na geometrický problém. O něco málo později se objevila kvantová teorie poleKvantová teorie pole – popis interakce založený na kvantových principech, tj. na nekomutativnosti základních operací v mikrosvětě. Kvantová teorie pole nahrazuje silové působení polními částicemi. Tyto částice jsou virtuální a nikdy nemohou skončit v detektoru, působí jen mezi dvěma interagujícími částicemi. Jako první prototyp kvantové teorie pole se vyvinula ve 30. letech 20. století kvantová elektrodynamika, později se objevila teorie slabé a silné interakce. Jediná gravitace je popsána jinak – za pomoci obecné relativity., která pojem síly nahrazuje polními (výměnnými) částicemi, které zprostředkovávají interakce (interakci elektromagnetickouElektromagnetická interakce – interakce působící na všechny částice s elektrickým nábojem. Má nekonečný dosah, mezi tělesy ubývá s druhou mocninou vzdálenosti. Polními částicemi jsou fotony, které vytvářejí mezi nabitými tělesy elektromagnetické pole. Nemají elektrický náboj, mají nulovou klidovou hmotnost a spin rovný jedné. Teorie elektromagnetické interakce se nazývá kvantová elektrodynamika (QED)., silnouSilná interakce – interakce krátkého dosahu, přibližně 10⁻¹⁵ m. Silná interakce je výběrová, působí jen na částice s barevným nábojem, tj. kvarky. Polními částicemi silné interakce jsou gluony (z anglického „glue“ = lepit, lepidlo). Gluony spojují kvarky do větších celků, tzv. hadronů. Nejznámější jsou proton a neutron složený ze tří kvarků. Silná interakce je odpovědná za soudržnost atomárního jádra. Polní částice mají barevný náboj a proto mohou působit samy na sebe. Barevný náboj na malých vzdálenostech (při vysokých energiích) slábne a kvarky se chovají jako volné částice. Hovoříme o tzv. asymptotické volnosti kvarků. Teorií silné interakce se nazývá kvantová chromodynamika (QCD). a slabouSlabá interakce – interakce s konečným dosahem, který je přibližně 10^–17 m. Působí pouze na levotočivé kvarky a leptony. Polními částicemi jsou vektorové bosony W⁺, W⁻ a Z⁰ se spinem rovným jedné. Hmotnosti částic jsou v rozmezí (80÷90) GeV. Typickým slabým procesem je například beta rozpad neutronu. Teorie slabé interakce se nazývá kvantová flavourdynamika (QFD).). Pro elektromagnetickou interakci jsou to fotony, pro interakci slabou polní bosony W⁺, W⁻, Z⁰ a pro interakci silnou gluonyGluony – intermediální (polní, výměnné) částice silné interakce, která působí na hadrony a je krátkého dosahu. Tato interakce spojuje kvarky v mezony a baryony, udržuje pohromadě neutrony a protony v atomovém jádře a způsobuje některé rychlé rozpady elementárních částic. Celkem známe 8 gluonů. Tyto polní částice jsou nositeli barevného náboje (náboje silného interakce). Tím se silná interakce odlišuje od elektromagnetické a slabé interakce..

Nerelativističnost

Newtonův gravitační zákon nesplňuje Lorentzovu transformaci, a není proto relativistický ve smyslu speciální teorie relativity (nepočítá s kontrakcí délek, s dilatací času atd.).

Vnitřní nekozistence

Pro nekonečný homogenní vesmír složený z mnoha objektů dává Newtonův zákon pro různé postupy různé výsledky: Vytvoříme-li v libovolném bodě velkou myšlenou kouli, nebudou mít objekty vně koule gravitační vliv na objekty uvnitř koule (plyne z Gaussovy věty, která je důsledkem Newtonova gravitačního zákona). Sama koule se bude ovšem vlastní gravitací smršťovat a vesmír bude kolabovat. Uvážíme-li ale nekonečný vesmír jako celek, v průměru se síly na jednotlivé objekty vyruší a vesmír kolabovat nebude.

Na tomto videu si můžete prohlédnout, jak složité byly gravitační manévry prováděné
při letu sondy MessengerMESSENGER – sonda NASA, která zkoumala planetu Merkur. Startovala v srpnu 2004, v letech 2006 a 2007 prolétla dvakrát kolem Venuše. Kolem Merkuru poprvé prolétla v lednu 2008. Další průlety proběhly v říjnu 2008 a září 2009. V březnu 2011 byla navedena na oběžnou dráhu kolem Merkuru a od té doby prováděla komplexní měření. Název sondy je zkratkou z anglického MErcury, Surface, Space ENvironment, GEochemistry, and Ranging. Sonda ukončila svou činnost 30. dubna 2015 řízeným pádem na povrch planety.. Zdroj: NASA. (mp4/h264, 4 MB)