Gravitace | Speciální relativita

Trocha historie

Na konci minulého století se fyzika dostala do nezáviděníhodné situace. Podle klasické mechaniky, jejíž počátky se datují do doby Galilea, má platit princip skládání rychlostí. Naopak, z rovnic elektromagnetického pole (Maxwellových rovnic) plynulo, že se světlo má  šířit stále stejnou rychlostí, bez ohledu na zvolený souřadnicový systém. Tento fakt souvisí s transformačními vlastnostmi Maxwellových rovnic, které poprvé studoval Hendrik Antoon Lorentz

Celou řadou experimentů bylo prokázáno, že správný je výsledek plynoucí z Maxwellových rovnic. Světlo se ve všech souřadnicových systémech pohybuje stejnou rychlostí nezávisle na pohybu zdroje. První z experimentů tohoto druhu byl slavný experiment Alberta Abrahama Michelsona a Edwarda Morleye, který interferometricky měřil změnu rychlosti pohybu světla napříč a podél pohybu Země kolem Slunce. Výsledek experimentu byl záporný, žádná závislost rychlosti světla na pohybu zdroje nebyla pozorována. Experiment byl proveden v roce 1887 a Michelson za jeho přípravu a provedení získal Nobelovu cenu v roce 1907.

Bylo tedy třeba přehodnotit klasickou mechaniku a postavit ji na jiných principech, než je prosté skládání rychlostí. To ale nutně vedlo k tomu, že prostor a čas přestaly být absolutní, události současné z hlediska jednoho souřadnicového systému nemusí být současné z hlediska jiného souřadnicového systému. Stejně tak pojem časového intervalu a vzdálenosti dvou událostí závisí na zvoleném souřadnicovém systému. Nová teorie platící jen pro inerciální souřadnicové systémy byla vypracována Albertem Einsteinem. Ten získal Nobelovu cenu v roce 1921, nikoli však jako tvůrce speciální a obecné relativity, ale paradoxně za vysvětlení fotoelektrického jevu. Matematickou podstatou Lorentzovy transformace a symetrií s ní spojených se zabýval Jules Henri Poincaré. Vlastnosti časoprostoru ve speciální relativitě zkoumal Hermann Minkowski.

Klíčové osobnosti speciální relativity. Horní řada: Michelson, Morley, Einstein;
dolní řada: Lorentz, Minkowski, Poincaré.

Základní principy

Inerciální soustava

Klasický princip relativnosti pohybů platí jen v jakési ideální souřadnicové soustavě, které říkáme inerciální. Jak už název napovídá, měl by v ní platit zákon setrvačnosti (latinsky inertia), tedy volný hmotný bod by měl stát, nebo se pohybovat rovnoměrně přímočaře. Realizace takové ideální souřadnicové soustavy je ale mimořádně obtížná, museli bychom být kdesi v hlubinách vesmíru, daleko od všech těles. Jenže takové místo neexistuje, všude ve vesmíru jsou nějaká tělesa, a tak je každá realizace inerciální soustavy jen přibližná. Jak uvidíme v příští kapitole věnované obecné relativitě, snadno lze realizovat lokální inerciální soustavu – prostorově malou klec, která volně gravituje v poli ostatních těles a kterou sledujeme po krátkou dobu (lokální, tj. malá prostorově i časově). Takovou soustavou je například utržený výtah. Pokud byste v padajícím výtahu měli chuť experimentovat, pohybovala by se vržená tělesa rovnoměrně přímočaře a pokud byste před sebe dali nějaký předmět, zůstal by stát před vámi na místě (vůči Zemi by padal synchronně s vámi). V takové soustavě tedy platí zákon setrvačnosti a je inerciální. Obdobně je inerciální soustavou kosmická loď, v níž došlo palivo a je vydaná napospas gravitačním polím ostatních těles. Závěr: globální inerciální soustava neexistuje, lokální inerciální soustavou je jakákoli po krátkou dobu volně gravitující klec malých rozměrů.

Klasický princip relativity

Představme si dvě inerciální souřadnicové sosutavy, které se vůči sobě pohybují konstantní rychlostí v. Z obou soustav sledujeme pohyb tělesa, jeho polohové vektory budou r, resp. r′, jeho rychlosti označíme u, resp. u′. postupným derivováním (podle času) transformačního vztahu mezi polohovými vektory dostaneme:

Popis pohybu z hlediska dvou inerciálníích souřadnicových soustav.

V obou soustavách tedy působí na těleso stejné zrychlení, a tedy i stejná síla. Pohyby budou stejné v obou inerciálních soustavách. je jedno, zda si házíte s míčem v tělocvičně nebo v jedoucím vlaku, pohyb bude stejný. Odtud plyne několik jednoduchých formulací klasického principu relativity, který se týká mechanických dějů:

Lorentzova transformace

Klasická elektrodynamika zformulovaná Jamesem Clerkem Maxwellem v roce 1873 podléhá jiné transformaci, než je uvedena na předchozím obrázku. Poprvé ji objevil Hendrik Lorentz, proto ji nazýváme Lorentzova transformace. Z klasické elektrodynamiky totiž plyne, že rychlost světla je ve všech inerciálních souřadnicových soustavách stále stejná, což vede na jiné skládání rychlostí, než známe z Galileova principu relativity. Albert Einstein princip konstantní rychlosti světla integroval do principu relativity, tím ho rozšířil z mechanických i na elektromagnetické děje a vytvořil tzv. speciální relativitu. Zahrnutí principu konstantní rychlosti světla do mechaniky znamenalo některé zásadní změny. Rychlosti se transformují jinak než prostým skládáním a velikost časových i prostorových intervalů závisí na tom, z jaké souřadnicové soustavy se díváme, což vede na dilataci času a kontrakci délek. Ve vlastní soustavě jsou časové intervaly nejkratší a prostorové nejdelší. Letící tyče zkracují svou velikost ve směru pohybu a na letících hodinách vnímáme pomalejší chod času. Odvození Lorentzovy transformace z principu konstantní rychlosti světla čtenář nalezne v sérii přednášek věnovaných Fyzice II, konkrétně v páté přednášce. Zde se omezíme na komentovaný přehled vztahů, které z Lorentzovy transformace plynou. Nejprve zformulujme princip relativity platící pro mechanické i elektromagnetické děje:

Lorentzova transformace
t' = γ(t − vx/c2) x' = γ(x -vt) y' = y z' = z	Lorentzova transformace S → S'. Trnsformace je ve shodě s Maxwellovými rovnicemi, nevychází z ní již prosté skládání rychlostí. Tato transformace splňuje princip konstantní rychlosti světla i princip relativity.
t = γ(t' + vx'/c2) x = γ(x' + vt') y = y' z = z'	Inverzní Lorentzova transformace S' → S. Transformaci snadno získáme záměnou v → − v. Samozřejmě je ji možné také odvodit za pomoci inverzní matice.
β  ≡ v/c	Bezrozměrná rychlost. Ve všech soustavách jednotek vyjde stejná. Například β = 0.3 znamená rychlost 0.3 c.
γ ≡  (1 − β2)–1/2	Lorentzův faktor. Vystupuje v Lorentzově transformaci i v dalších vztazích. Opět jde o bezrozměrnou veličinu.
	Lorentzova transformace S → S', maticový zápis. Transformace je dána jednoduchou Lorentzovou maticí Λ. Stejným způsobem se transformují i ostatní čtyřvektory – prostým působením Lorentzovy matice Λ.
	Inverzní Lorentzova transformace S → S', maticový zápis. Inverzní Lorentzova matice Λ−1 se od Lorentzovy matice Λ liší opačným znaménkem rychlosti pohybu druhé soustavy, tj. znaménkem u β.
det Λ = det Λ−1 = 1	Unitarita transformace. Z matematického hlediska patří Lorentzova transformace k unitárním transformacím. Ty lze rozdělit na rotace s determinantem rovným +1 a zrcadlení s determinantem rovným −1. LT tedy patří k rotacím. V našem případě jde o otočení v rovině (t, x).
u' = (u − v) / (1 − uv/c2); u = (u' + v) / (1 + u'v/c2)	Transformace rychlosti S → S'. Rychlosti částice v obou soustavách jsou u = dx/dt, u' = dx'/dt', rychlost soustavy S' vzhledem k S je v. Transformační pravidla získáme diferencováním Lorentzovy transformace. Maximální rychlost vychází c.

Základní vztahy
dt = γdt0	Dilatace času. Časový interval mezi dvěma událostmi (například počátkem a koncem shlédnutí filmu) je nejkratší ve vlastní soustavě (v soustavě spojené s oběma událostmi, tedy v kině). Všude jinde se zdá, že doba uběhlá mezi počátkem a koncem tohoto děje je stejná nebo delší.
dl = dl0/γ	Kontrakce délek. Délka tyče (prostorový interval) je ve vlastní soustavě nejdelší možná. V každé jiné soustavě se tyče jeví stejná nebo kratší ve směru pohybu.
m = γm0	Pohybová hmotnost. Její formální zavedení umožní, aby vztah pro hybnost připomínal vztah z klasické mechaniky. Pohybová hmotnost částice s narůstající rychlostí roste, proto není možné částici s m0 ≠ 0 urychlit na rychlost světla. Rychlost světla je nejvyšší dosažitelná rychlost. Mají ji jen částice s m0 = 0, a to v libovolném souřadnicovém systému.
E = γm0c2 = mc2	Vztah mezi celkovou energií a hmotností. Jakékoli zvýšení energetického obsahu systému vede i k zvýšení jeho hmotnosti. Celková obsažená energie je právě dána hmotností systému.
p = γm0v = mv	Celková hybnost částice. Zavedením pohybové hmotnosti m = γm0 se vztah podobá klasickému vztahu pro hybnost.
Wk = mc2 – m0c2	Kinetická energie. Taylorův rozvoj vztahu m = γm0 v rychlosti do druhého řádu vede na klasický vztah Wk = mv2/2.
E2 = p2c2 + m02c4	Pythagorova věta o energii. Jde o užitečné vyjádření kvadrátu velikosti čtyřvektoru hybnosti.

Některé čtyřvektory
Xμ = (ct, x)	Událost. Základní čtveřice parametrů popisujících v relativitě událost. Koeficient c v časové komponentě zajišťuje stejný rozměr všech čtyř veličin. V přirozené soustavě jednotek s c = 1 obdobné koeficienty nejsou.
Kμ = (ω/c, k)	Vlnový čtyřvektor. Popisuje vlnění a změny jeho fáze. Časová složka ω je změna fáze vlnění s časem, prostorové složky k jsou změny fáze s jednotlivými souřadnicemi.
Pμ = (E/c, p)	Čtyřhybnost. Popisuje částice, časová složka E je energie, souvisí se symetriemi v přírodě vzhledem k časovým posunutím. Prostorová složka p je hybnost, souvisí se symetriemi v přírodě vzhledem k prostorovým posunutím. V kvantové teorii se objekty mohou chovat jako vlny i jako částice. Vyjádřením této duality vlna-částice je vztah Pμ ~ Kμ. Konstantou úměrnosti je v SI redukovaná Planckova konstanta.
Aμ = (ϕ/c, A)	Čtyřpotenciál elektromagnetického pole. Elektrická a magnetická pole se určí ze vztahů E = −grad ϕ − ∂A/∂t, B = rot A.
Jμ = (cρ, j )	Čtyřproud. Hustota náboje a tok. Čtyřproud popisuje proudění nějaké veličiny, například hmoty, náboje, energie atd.
Uμ = dXμ/dτ = γ(c, v)	Čtyřrychlost. Derivace je podle vlastního času, který je invariantem vzhledem k LT. Tím je zaručeno, že i čtyřrychlost se chová jako čtyřvektor a má stejné transformační vlastnosti jako ostatní čtyřvektory.
Pμ = m0 Uμ	Čtyřhybnost, definice pomocí čtyřrychlosti. Musíme ji násobit klidovou hmotností, která je invariantem vzhledem k LT. Tím je zaručeno, že i čtyřhybnost má stejné transformační vlastnosti jako ostatní čtyřvektory. Porovnáme-li ji s vyjádřením ze třetího řádku, získáme vztahy E = mc2 a p = mv, ve kterých je m = γm0.

Všechny čtyřvektory se transformují shodně – za pomoci Lorentzovy transformace. Stačí zapůsobit na čtyřvektor vyjádřený v jedné soustavě Lorentzovou maticí a získáme hodnoty v soustavě druhé (obě soustavy musí být inerciální). Skalární součin dvou čtyřvektorů je  definovaný vztahem A·B = −A₀B₀ + A₁B₁ + A₂B₂ + A₃B₃. Je invariantem a nezávisí na volbě souřadnicového systému. Například K·X = − ωt + kx je fáze rovinné vlnopochy, dX·dX = −c²dt² + dx² je interval, užitečný je také vztah −J·A = ρϕ − jA pro hustotu interakční energie nabitých částic s elmg polem atd.

Kauzalita

Přestože ve speciální relativitě závisí doba trvání dějů i vzdálenosti na volbě souřadnicové soustavy, může se pořadí událostí lišit podle volby souřadnicové soustavy. Na první pohled by se proto mohlo zdát, že speciální relativita narušuje kauzalitu (příčinnost). Pokud by v nějaké souřadnicové soustavě nejprve shořel papír, a teprve poté bychom škrtli sirkou, došlo by k situaci, kterou nazýváme narušením kauzality. Ve skutečnosti tomu tak není. Ve speciální relativitě existuje jedna veličina, která zůstane pro dvě události A a B vždy stejná a její hodnota vyjde ve všech souřadnicových soustavách naprosto stejná. Jedná se o tzv. interval definovaný vztahem

Δs² ≡ − c²(t_B − xt_A)² (x_B − x_A)² + (y_B − y_A)² + (z_B − z_A)².

Interval mezi dvěma událostmi může vyjít kladný, záporný i nulový. Tato veličina je jedinou jistotou ve speciální relativitě: ať ji počítáme v jakékoli souřadnicové soustavě, dostaneme vždy stejné číslo. Je-li tedy interval například záporný, vyjde záporný ve všech soustavách. Představme si nejprve událost A (například položím předmět na stůl, viz následující obrázek). Událost B bude pozorování předmětu po několika minutách. Prostorová souřadnice se nezměnila, zatímco čas plynul. Interval proto bude pro dvojici událostí A, B záporný. Jiným příkladem události A může být pomalu se pohybující slimák. Událost C bude jeho pozorování po několika minutách. Interval opět vyjde záporný, časová složka dominuje. Nyní za událost A považujme bliknutí baterkou a událost C bude pozorování vlnoplochy po několika sekundách. Interval tentokrát vyjde přesně nulový, protože c² = Δl²/Δt², odkud plyne, že −c²Δt² + Δl² = 0. Všechny popsané dvojice událostí jsou ukázkou kauzálně (příčinně) svázaných událostí, tj. událost A může ovlivnit událost B. Interval je buď záporný (od události první ke druhé je možné doputovat podsvětelnou rychlostí), nebo nulový (jsou spojené světlem). Právě invariantnost intervalu zajistí, že se volbou soustavy nemůže nikdy změnit pořadí událostí, a pokud u kauzálně svázaných událostí jedna předchází druhé, bude tomu tak ve všech souřadnicových soustavách. Pozdější událost leží v tzv. kuželu budoucnosti události A. Událost A může ovlivnit všechny události ve svém kuželu budoucnosti a naopak událost A mohou ovlivnit veškeré události z kuželu její minulosti.

Pokud bude druhá událost ležet vně kužele budoucnosti události A (na obrázku událost E), vyjde interval kladný. Takové události nejsou příčinně svázané (z události A bychom k události B museli vyslat posla letícího nadsvětelnou rychlostí) a jejich pořadí může v různých souřadnicových soustavách vyjít různé. Kužel budoucnosti je definován jako světelný kužel, tj. množina všech událostí dosažitelných z události A za pomoci světelného signálu.

Kužel minulosti a kužel budoucnosti události A v diagramu
se dvěma prostorovými dimenzemi.