Elektřina a magnetizmus → Názorná exkurze → Magnetostatika

Magnetostatika

Věnujme se nyní podstatě magnetických polí. Postup zde bude poněkud odlišný, než jsme použili v elektrostatice. V elektrostatice jsme nejprve uvedli problematiku elektrostatických sil mezi dvěma náboji a z ní jsme odvodili zákony elektrostatického pole jedné nabité částice. Kdybychom měli postupovat podobně i v magnetostatice, měli bychom nejprve určit sílu mezi dvěma dráty, kterými protéká proud a z ní odvodit zákonitosti magnetického pole, které daný segment vodiče s proudem vytváří. Ampere byl de facto první, kdo takový zákon popsal, ale ve skutečnosti není jeho vztah uváděn v úvodních (ani pokročilých!) kurzech elektřiny a magnetizmu.

To, co my nyní provedeme, je že od počátku budeme považovat magnetické pole za prostředníka magnetické interakce. Nejprve zavedeme magnetické pole jedné pohybující se elektricky nabité částice a pole segmentu vodiče protékaného proudem, aniž bychom se zmiňovali o nějakých silách. Poté budeme diskutovat magnetická pole souboru pohybujících se nábojů a pole proudového vodiče konečné délky. Nakonec se budeme věnovat otázce magnetické síly působící na pohybující se částice ve vnějším magnetickém poli a vodiči protékanému proudem ve vnějším poli. Nikdy nebudeme diskutovat přímo magnetické síly mezi dvěma pohybujícími se náboji nebo dráty protékanými proudy bez odkazu na magnetické pole jako na prostředníka interakce.

Základní zákon, který odpovídá rovnici (III.3) v elektrostatice, je pro magnetické pole Biotův-Savartův zákon pro elektricky nabitou částici pohybující se rychlostí v. Tento zákon můžeme napsat takto

(IV.1)

kde q je elektrický náboj, r je vzdálenost mezi nábojem a místem pozorovatele, ve kterém je pole měřeno, vektor je jednotkový vektor mířící od zdroje pole (náboje) k místu pozorovatele a v je rychlost náboje. Čtenáře, který není zcela obeznámený s problematikou vektorového součinu dvou vektorů, odkazujeme na následující interaktivní ShockWave aplikaci, která vlastnosti tohoto vztahu dobře ilustruje.

Obrázky 47 a 48 ukazují po jednom snímku z animací magnetických polí pohybujících se kladných a záporných nábojů za předpokladu, že rychlost nábojů je malá oproti rychlosti světla.

Obr. 47: Magnetické pole pohybujícího se kladného náboje za předpokladu, že jeho rychlost je malá oproti rychlosti světla.

Obr. 48: Magnetické pole pohybujícího se záporného náboje za předpokladu, že jeho rychlost je malá oproti rychlosti světla.

Velmi blízce souvisí s těmito ukázkami popis magnetického pole pomocí proudových elementů. Předpokládejme, že máme nekonečně malé elementy vodiče, kterým protéká proud. Vodič má cylindrický průřez s řezem o ploše dA, délku dl, a obsahuje n nábojů na jednotku objemu. Všechny náboje se pohybují stejnou rychlostí v podél osy vodiče. Nechť I je proudový element, který definujeme jako množství náboje prošlé za jednotku času průřezem vodiče dA. Potom I souvisí s parametry vodiče takto

(IV.2)

Celkový počet nosičů náboje je v elementu vodiče dN = n dA dl. S užitím (IV.1) a (IV.2) obdržíme pro velikost pole dB generovaném těmito dN nosiči náboje vztah

(IV.3)

Jestliže zavedeme vektor dl, který je paralelní s rychlostí nabitých částic, pak s užitím (IV.1) můžeme vztah (IV.3) přepsat do výsledného tvaru

(IV.4)

Toto je Biotův – Savartův zákon pro magnetické pole generovaném proudovým vodičem.

Obrázek 49 je interaktivní ShockWave aplikace, která ukazuje magnetické pole proudového elementu pomocí vztahu (IV.4). Interaktivní obrazovka umožňuje měnit polohu pozorovatele okolo zdrojového vodiče s proudem a sledovat tak, jak se mění hodnoty magnetického pole.

Obr. 49: Magnetické pole elementu proudu.

Pro soubor bodových nábojů pak celkové pole zjistíme jednoduchým součtem polí jednotlivých nábojů. To je princip superpozice.

Magnetické pole souboru pohybujících se nabitých částic

Uvažujme soubor bodových nábojů q_i, kde i = 1–N. Nechť se i–tý náboj nachází v místě a má rychlost v_i. Pak magnetické pole v bodě (x_i, y_i, z_i) je dáno vztahem

(IV.4)

2. Magnetické pole nábojů pohybujících se po kružnici

a) Animace magnetických polí 1, 2, 4 a 8 nábojů pohybujících se po kružnici

Předpokládejme, že chceme spočítat magnetická pole většího počtu nábojů pohybujících se po obvodu kružnice a majících mezi sebou stejné vzdálenosti. Pro spočítání tohoto pole, musíme počítat vektorově magnetická pole všech jednotlivých částic užitím vztahu (IV.5). Obrázek 50 je odkazem na animaci, ve které jsou 4 pohybující se náboje. Další animace ukazují stejnou situaci pro 1, 2 a 8 nábojů. Když se dostáváme k počtu osmi nábojů, začíná se vynořovat charakteristický obrazec – tvar magnetického dipólu. Daleko od prstence je tvar silokřivek stejného tvaru, jako je tvar silokřivek elektrického dipólu.

Obr. 50: Magnetické pole čtyř nábojů pohybujících se po kružnici. Ukazujeme směry vektorů magnetického pole pouze v jedné rovině. Ikonky vypadající jako kuličky ukazují pohybující se náboje, které magnetické pole vytvářejí.

b) ShockWave simulace magnetického pole prstence nabitých částic

Pro zobecnění předešlého diskutovaného bodu, obrázek 51 ukazuje ShockWave simulaci vektorového součtu v případě, že máme 30 nábojů pohybujících se v kružnici. V aplikaci spojené s obrázkem 51 je bod pozorovatele pevně umístěn v ose prstence. Jak sčítání probíhá, můžeme sledovat, jak se mění celkové výsledné pole (velká šipka na obrazovce).

Obr. 51: ShockWave simulace užití principu superpozice k určení magnetického pole způsobeného třiceti náboji pohybujícími se v kruhu. Bod pozorovatele je v ose kružnice.

Na obrázku 52 je ukázána ShockWave aplikace, která je podobná té předchozí, ale nyní můžeme interaktivně měnit polohu pozorovatele na libovolné místo v prostoru. Abychom si snáze představili celkový vzhled pole vytvořených těmito nabitými částicemi, použili jsme šumovou texturu. Nyní můžeme měnit místo pozorovatele v prostoru, abychom snáze porozuměli, jak jednotlivé náboje přispívají v různých místech celkovému magnetickému poli.

Obr. 52: Magnetické pole způsobené třiceti náboji pohybujícími se v kružnici. Polohu bodu pozorovatele je možné měnit, abychom snáze porozuměli, jak jednotlivé náboje přispívají v různých místech celkovému magnetickému poli.

B. Napětí silokřivek přenášená magnetickými poli

1. Tlak a tah silokřivek

„…Nicméně se tedy zdá, že tah v ose silokřivek magnetických sil je tahem jakoby způsobeným pomocí provazu…“

J. C. Maxwell [1861]

Obr. 53: Pomyslná krabička v magnetickém poli (modré vektory). Krátké vektory ukazují směry pnutí silokřivek přenášených polem. Jsou to buď tlaky (na levé a pravé straně krabičky) nebo tahy silokřivek (na vrchní a spodní straně krabičky).

Nyní popišme koncept napětí silokřivek přenášených poli. K tomuto konceptu se budeme mnohokrát vracet. Na obrázku 53 je znázorněn pomyslný uzavřený prostor (myšlený kvádr) umístěný v magnetickém poli. Pokud se díváme na její levou plochu, pole u této plochy je kolmé k jejímu normálovému vektoru a Faraday by mohl říci, že pole přenáší u této plochy tlak silokřivek kolmý k poli samému. V tomto případě jde o tlak doprava. Podobně se podíváme na pravou stěnu tohoto myšleného kvádru, tak i zde uvidíme pole, jehož silokřivky jsou kolmé k normálovému vektoru této plochy a Faraday by opět řekl, že pole přenáší pnutí silokřivek kolmé k němu samému. V tomto případě je to tlak doleva.

Jestliže chceme znát celkovou elektromagnetickou sílu přenášenou na vnitřek tohoto imaginárního kvádru v pravolevém směru, oba tyto tlaky silokřivek musíme sečíst. Jestliže je elektrické nebo magnetické pole homogenní, jsou velikosti obou přenášených tlaků z levé strany směrem doprava a z pravé strany směrem doleva stejné a jejich výsledný silový účinek se vyruší.

Představme si nyní, že pravá strana pomyslného kvádru je umístěna dovnitř svislého solenoidu, ve kterém je magnetické pole svislé a konstantní, a levá strana je umístěna vně tohoto solenoidu, kde je magnetické pole nulové. V tomto případě na kvádr působí výsledný tlak silokřivek směrem doleva a my řekneme, že magnetické pole vyvolává tlak silokřivek směrem na vnější stěny solenoidu. Tento dojem získáme jednoduše i z pohledu na topologii magnetického pole. A skutečně, opravdu silné magnetické pole může způsobit tak velké síly, že se stěny solenoidu mohou roztrhnout a solenoid explodovat.

A podobně, jestliže se díváme na horní plochu pomyslné krabičky na obrázku 53, vidíme, že pole je zde rovnoběžné s normálou této plochy a proto Faraday mohl prohlásit, že pole na této straně podél svých silokřivek táhne tuto plochu. V tomto případě je to tah směrem vzhůru, podobně jako bychom tuto plošku táhli vzhůru napjatou strunou. A stejně tak můžeme pozorovat i spodní stranu pomyslné kostičky, kde je pole antiparalelní k normále této plošky a Faraday opět mohl prohlásit, že pole na tuho plošku působí tahem silokřivek, v tomto případě tahem směrem dolů podobně, jako bychom plošku táhli dolů napjatou strunou. Poznamenejme, že tento tah je rovnoběžný s vnějším normálovým vektorem plochy, kde silokřivky pole vstupují do povrchu nebo vystupují z povrchu, a tlaky a napětí silokřivek jsou úměrné druhým mocninám velikosti pole.

Pokud chceme znát celkovou elektromagnetickou sílu, která je přenášena dovnitř tohoto pomyslného prostoru, musíme sečíst oba přenášené tahy silokřivek. Jestliže je magnetické pole homogenní, je celková elektromagnetická síla působící na vršek pomyslné krabičky stejně veliká, ale opačně orientovaná jako síla, která působí na spodní část, a obě se ve výsledném působení vyruší.

Velikost těchto tlaků a tahů silokřivek na různé strany pomyslného povrchu na obrázku 53 je dána pro magnetické pole vztahem , kde B je velikost magnetického pole u dané plochy. Tato hodnota je síla na jednotku plochy, tedy tlak. Je to také hustota energie uzavřené v magnetickém poli. Všimněme si, stejně jako v případě elektrostatického pole, že energie na jednotku objemu má stejnou jednotku jako tlak.

Tlaky a tahy silokřivek přenášené magnetickými poli

Elektromagnetická pole jsou prostředníky interakcí mezi hmotnými nabitými objekty. Pole přenášejí prostorem napětí silokřivek. Magnetické pole přenáší tah podél svých silokřivek a tlak na ně kolmý. Velikost tahů a tlaků silokřivek přenášených magnetickým polem je dána vztahem

(IV.6)

2. Příklady napětí silokřivek přenášených magnetickými poli

a) Nabitá částice pohybující se v časově proměnném vnějším magnetickém poli

Jako příklad na napětí silokřivek přenášená magnetickými poli uvažujme pohyb kladného bodového náboje v počátku v rychle se měnícím časově závislém vnějším poli. Toto vnější pole je homogenní v prostoru, ale proměnné v čase podle rovnice

(IV.7)

Předpokládejme, že proměnlivost pole je tak rychlá, že se náboj během jedné periody T přemístí jen o zanedbatelnou vzdálenost. Obrázek 54 ukazuje dva snímky animace celkového magnetického pole řešeného v této situaci. Obrázek 54 (nalevo) je pro čas t = 0, kdy je svislá složka magnetického pole nulová a je patrné pouze magnetické pole pohybujícího se náboje (náboj se pohybuje z roviny směrem ven, tudíž pole cirkuluje proti směru hodinových ručiček). Snímek 54 (napravo) byl pořízen o čtvrt periodu později, kdy má svislá složka pole mířícího dolů maximum. Vlevo od náboje, kde pole náboje je ve stejném směru jako vnější (směrem dolů) je celkové magnetické pole intenzivnější. Napravo od náboje, kde pole náboje míří opačným směrem než vnější, se pole odečítají (na jednom místě je nulové).

Obr. 54: Dva snímky animace magnetického pole obklopujícího kladný náboj. Náboj se pohybuje ven z obrazovky skrze časově proměnné homogenní magnetické pole, které míří svisle dolů. Modrý vektor je velikost magnetického pole a bílý vektor je síla, která na náboj působí.

Na konfiguraci polí na obrázku 54 (napravo) můžeme pozorovat sílu, která působí na náboj směrem doprava. Ta se zde projeví proto, že tlak silokřivek pole je vlevo od náboje mnohem vyšší než napravo. Poznamenejme jen, že pokud by se náboj pohyboval směrem do obrazovky, pak by síla mířila opačným směrem, protože tlak magnetického pole by byl mnohem vyšší zprava. Animace spojená s obrázky 54 velmi dobře ukazuje přítok energie do nejbližšího okolí náboje, když vnější pole roste. Je z ní patrný i následný vznik tlaku silokřivek, který přináší do strany mířící sílu působící na náboj.

Velikost síly působící na pohybující se náboj na obrázku 54 můžeme odhadnout z rovnic (IV.1) a (IV.6). V čase zachyceném na snímku 54 (napravo) je vzdálenost r₀ mezi nábojem a místem, kde je pole náboje stejné, ale opačně orientované než vnější, dána výrazem

(IV.8)

Povrch sféry s tímto poloměrem je dán následovně . Nyní podle rovnice (IV.6) je tlak (síla na jednotku plochy) nebo tah přenášený touto plochou za pomoci pole roven řádově . Magnetické pole je na povrchu této sféry řádově B₀, a proto je celková síla přenášená polem dána jako součin krát povrch sféry, čili . Samozřejmě, že tato síla je kombinací tlaků silokřivek působících doprava na levou stranu sféry a tahů silokřivek působících doleva na její pravou stranu. Přesný výraz pro sílu, kterou působí pole na nabitou pohybující se částici je

(IV.9)

Hrubý odhad, který jsme právě předvedli výše, je zřejmě řádu . Navíc nám tato diskuse umožňuje pochopit fakt, proč je magnetická síla působící na pohybující se částici kolmá k rychlosti náboje a ke směru vnějšího pole. Je to proto, že se tlak silokřivek magnetického pole zvýší jen na jedné straně pohybujícího se náboje. Tento tlak silokřivek způsobuje změnu směru pohybu náboje.

b) Nabitá částice pohybující se konstantním magnetickým polem

Ke zdůraznění úvah provedených v předchozí kapitole, uvažujme trajektorii kladně nabité částice, která se pohybuje v homogenním, v čase konstantním magnetickém poli. Obrázek 55 ukazuje náboj pohybující se v oblasti, kde magnetické pole míří vertikálně vzhůru. Když náboj vstoupí do oblasti, ve které je vnější magnetické pole nenulové, jeho trajektorie se zakřiví kolmo ke směru pohybu a směru silokřivek magnetického pole. To způsobí, že se náboj pohybuje po kružnici nebo její části po celou dobu, po kterou se pohybuje v oblasti nenulového magnetického pole. V animaci ukazujeme celkové magnetické pole. To je magnetické pole pohybujícího se náboje dané rovnicí (IV.1), sečtené s vnějším magnetickým polem. Vyboulení tohoto pole na straně opačné, než na kterou je tlačena, je důsledkem magnetického tlaku silokřivek. Tento tlak způsobuje pohyb náboje po kružnici.

Obr. 55: Nabitá částice pohybující se v nenulovém vnějším magnetickém poli. Externí magnetické pole míří vzhůru.

Nyní se věnujme zachování hybnosti. Pohybující se částice na animaci obrázku 55 změní směr svého pohybu o 90 stupňů během trvání animace. Jak se v tomto procesu zachovává hybnost? Hybnost je zachována, protože je přenášena polem z pohybující se částice do proudů, které generují konstantní vnější pole. To je zřetelně patrné z konfigurace polí ukázané na obrázku 55. Napětí silokřivek magnetického pole, které tlačí na nabitou částici do strany, je doprovázené napětím silokřivek, které táhne zdroj proudu v opačném směru. Abychom toto viděli, podívejme se zblízka na napětí pole v místech, kde silokřivky vnějšího pole vstupují do oblasti, ve které jsou skryty proudy, které silokřivky vytvářejí. Přitom mějme na paměti, že magnetické pole takto pracuje tehdy, jestliže tlaky silokřivek jsou kolmé k jeho silokřivkám. Ztráta hybnosti pohybujícího se náboje je přenesena do skrytých proudů, které generují magnetické pole.

c) Síly mezi rovnoběžnými dráty, protékané proudy

Jako jiný příklad tlaků a tahů přenášených magnetickými poli, ukazují obrázky 56 a 57 rovnoběžné dráty, kterými protékají proudy ve stejném a opačném směru. V prvním případě konfigurace magnetického pole takto vytváří přitažlivou sílu mezi oběma dráty. Ve druhém případě, opačné proudy vytváří magnetické pole, které dráty odpuzuje.

Obr. 56: Vizualizace přitažlivého působení mezi dvěma dráty, jimiž protéká proud ve stejných směrech. Směr pohybu oranžových kuliček ve vizualizaci ukazuje směr toku kladného náboje.

Obr. 57: Vizualizace odpudivého působení mezi dvěma dráty, jimiž protéká proud v opačných směrech. Směr pohybu oranžových kuliček ve vizualizaci ukazuje směr toku kladného náboje.

d) Síly mezi souosými kruhovými smyčkami, jimiž protékají proudy

Další příklad tahů a tlaků silokřivek přenášených magnetickými poli je ukázán na obrázcích 58 a 59, které znázorňují dvě souosé kruhové smyčky, kterými prochází proud ve shodném a v druhém případě v opačném směru. Na této animace prochází vrchní smyčkou jen poloviční proud, než prochází spodní. V prvním případě je konfigurace magnetických polí taková, že vytváří přitažlivou sílu mezi smyčkami. Ve druhém případě je konfigurace magnetických polí taková, že je mezi smyčkami odpudivá síla.

Obr. 58: Dvě souosé proudové smyčky, kterými prochází proudy ve stejném směru. Smyčky se přitahují. Konfiguraci polí zde znázorňujeme pomocí šumové textury.

Obr. 59: Dvě souosé proudové smyčky, kterými prochází proudy v opačných směrech. Smyčky se odpuzují. Konfiguraci polí zde znázorňujeme pomocí reprezentace „železných pilinek“. Spodní smyčkou prochází dvojnásobně větší proud, než prochází horní.

Ve stejných rysech ukazuje obrázek 60 odpudivou sílu mezi magnetickým polem permanentního magnetu a prstencem přístroje TeachSpin™ Magnetic Force, kterým prochází proud. Magnet je připevněn tak, že jeho severní pól míří směrem dolů. Proud procházející horní smyčkou přístroje Magnetic Force protéká při pohledu shora proti směru hodinových ručiček. Celkovým výsledkem je odpudivá síla mezi magnetem a smyčkou. Vizualizace ukazuje napětí přenášených poli magnetu a proudové smyčky.

Obr. 60: Magnet přístroje TeachSpin™ Magnetic Force interagující s magnetickým polem proudové smyčky. Severní pól magnetu směřuje směrem dolů a proud smyčkou protéká při pohledu shora proti směru hodinových ručiček.

e) Točivé momenty působící na dipól v konstantním magnetickém poli

„…pro pochopení tohoto jevu musíme uvážit, že střelka kmitá proto, že působí sama na sebe kvůli své polaritě, magnetickým podmínkám a určitému množství magnetických silokřivek, které by jinak prošly prostorem...“

Michael Faraday [1855]

Nakonec uvažujme magnetický dipól v konstantním poli. Poznamenejme jen, že Faraday porozuměl oscilacím střelky kompasu přesně stejným způsobem, jaký je popsán zde. Na obrázku 61 vidíme magnetický dipól jako oscilující střelku ponořenou do magnetického pole Země, v zeměpisné šířce přibližně stejné, jako je zeměpisná šířka Bostonu. Magnetické pole Země na severní polokouli převážně míří dolů a směrem k severu tak, jak ukazuje vizualizace.

Abychom vysvětlili, co probíhá na této vizualizaci, předpokládejme, že vektor magnetického dipólu míří na počátku podél směru silokřivek magnetického pole Země a otáčí se ve směru hodinových ručiček. Jak se dipól otáčí, magnetické silokřivky se zhušťují a natahují. Tahy a tlaky silokřivek způsobují elektromagnetické točivé momenty, které rotaci ve směru hodinových ručiček zpomalují. Nakonec způsobí, že se otáčení dipólu úplně zastaví. Ale protisměrné napětí stále existuje a dipól se tak začne otáčet zpět proti směru hodinových ručiček, až projde polohou, ve které je rovnoběžný se silokřivkami Země (kde jsou otáčivé momenty nulové), a ze které dále překývne na druhou stranu.

Jak dipól pokračuje v otáčení proti směru hodinových ručiček, začnou se magnetické silokřivky stlačovat a natahovat v opačném smyslu. Otáčivý moment obrátí znaménko a začne otáčení dipólu zpomalovat. Nakonec se otáčení zastaví a začne vracet znovu zpět do původní polohy. Jestliže v systému není žádné tření, pohyb bude pokračovat nekonečně dlouho.

Obr. 61: Magnetický dipól střelky osciluje v magnetickém poli Země.

A jak je to se zachováním momentu hybnost v této situaci? Animace 62 ukazuje komplexní obrázek silokřivek střelky a silokřivek pole Země. Silokřivky Země jsou generovány hluboko v zemském jádru. Jestliže budeme na vizualizaci zkoumat napětí přenášená mezi Zemí a střelkou, můžeme se přesvědčit, že jakýkoliv točivý moment střelky je provázán protisměrným točivým momentem proudů produkujících zemské magnetické pole. Moment hybnosti se zachovává díky výměně stejného a opačného množství momentu mezi kompasem a proudem v zemském jádru.

Obr. 62: Magnetický dipól v podobě střelky osciluje v magnetickém poli Země. Ve vizualizaci jsou znázorněny proudy, které generují magnetické pole Země.