Elektřina a magnetizmus → Názorná exkurze → Elektrostatika

III.  Elektrostatika

A.  Coulombův zákon a Faradayovy silokřivky

Elektromagnetická pole jsou v Maxwellově teorii zprostředkovateli interakcí mezi hmotnými nabitými objekty. Jak jsme již poznamenali výše, tento pohled je radikálně odlišný od teorie „působení na dálku“. Pro ilustraci těchto rozdílů mezi polním přiblížením a teorií „působení na dálku“ uveďme Coulombův zákon.

Coulombův zákon

Elektrický náboj může být kladný nebo záporný. Shodné náboje se odpuzují, zatímco opačné přitahují a to silou, která je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti mezi nimi a přímo úměrná součinu jejich nábojů:

(III.1)

kde ε₀ je konstanta nazývaná permitivita vakua.

Tato formulace Coulombova zákona je obrazem pojmu „působení na dálku“. Není zde žádný vztah se zprostředkujícím mechanizmem síly přenášené mezi náboji. Síla jednoduše existuje, protože jsou zde náboje a není zde žádná zmínka o poli. Ale je to právě „elektrické pole“ mezi oběma náboji, které sílu popsanou v (III.1) přenáší.

Pro ilustraci, co tím vlastně myslíme, si prohlédněme Obr. 19. Na tomto obrázku je znázorněna odpudivá síla mezi dvěma objekty přenášena právě elektrickým polem. Jedním objektem je povrch nabité kovové koule van de Graaffova generátoru. Tato koule je umístěna v prostoru na daném místě a nepohybujeme s ní. Druhým objektem je nabitá kulička volně se pohybující v prostoru (zanedbáváme gravitační sílu). Jsou zde tedy dvě tělesa se stejným znaménkem náboje, která se v souhlase s Coulombovým zákonem navzájem odpuzují. To znamená, že malá kulička pociťuje sílu, která ji táhne pryč od van de Graaffovy sféry. Animace této situace ukazuje pohyb malé kuličky a elektrického pole mezi nimi. Aby se tento pohyb opakoval, necháváme menší kuličku odrážet se od malé pevné desky umístěné v určité vzdálenosti od van de Graaffovy sféry.

Obr. 19: Dva náboje stejného znaménka, které odpuzuje tlak elektromagnetického pole. Ke znázornění elektrického pole obou nábojů je užito jak znázornění pomocí šumové textury, tak i pomocí silokřivek.

Dříve než budeme diskutovat nad touto animací, ukažme si ještě Obr. 20, který ukazuje jeden snímek animace znázorňující interakci dvou nábojů opačných znamének. Zde máme malou kuličku s nábojem opačného znaménka než má van de Graaffova sféra. Podle Coulombova zákonu se nyní oba objekty budou navzájem přitahovat. Pro opakování pohybu necháme opět malou kuličku odrážet od malé destičky umístěné v blízkosti van de Graaffovy koule.

Obr. 20: Dva náboje opačných znamének, které jsou vlivem elektrického pole přitahovány.

Cílem těchto animací je zdůraznění faktu, že Coulombova síla mezi dvěma náboji není „akce na dálku“. Přesněji řečeno, tlak je přenášen přímým kontaktem van de Graaffova generátoru na jeho bezprostřední okolí prostřednictvím náboje generátoru. Tento tlak je spojitě přenášen z jednoho elementu prostoru na sousední, dokud není přenesen až do okolí prostoru bezprostředně sousedícím s malou kuličkou a odtud na kuličku samotnou. Ačkoliv obě koule nejsou v bezprostředním vzájemném kontaktu, mají přímý kontakt s  médiem mezi nimi. Síla mezi malou kuličkou a van de Graaffovým generátorem je přenášena (konečnou rychlostí) tlakem indukovaným v prostoru ležícím mezi nimi.

Teorii pole vymyslel Michael Faraday a jeho kresby „silokřivek“ a „polních čar“ byly jeho způsob, jak znázornit pole. Používal tyto kresby také proto, aby snáze pochopil tah silokřivek, která pole přenášejí. Michael Faraday byl první, kdo navrhl, že tato pole, která spojitě vyplňují prostor mezi nabitými objekty, přenášejí tah silokřivek, které je původcem sil mezi objekty.

Faraday si myslel, že odpudivá síla na Obr. 19 je důsledkem „tlaku silokřivek“ působícím kolmo k jeho silokřivkám. Když se malá kulička na Obr. 19 pohybuje blíže k van de Graaffově kouli a zpomaluje, je to proto, že kinetická energie kuličky se přeměňuje na energii pole tak, že se pole v dané oblasti stlačuje (zhušťují se zde silokřivky pole). Když se malá kulička pohybuje pryč od van de Graaffova generátoru a urychluje se, dělá to proto, že energie, která byla uzavřená v poli z předchozího stlačení, se nyní přeměňuje zpátky v kinetickou energii malé kuličky. Tudíž Faradayovo pole nejenom, že umožňuje přenos síly mezi dvěma objekty, ale stejně tak dobře také umožňuje uchování a hromadění energie.

Na druhou stranu o přitažlivé síle znázorněné na obr. 20 se Faraday domníval, že je způsobena „tahem silokřivek“ působícím podél silokřivek. Když se malá kulička pohybuje pryč od van de Graaffova generátoru a zpomaluje, její kinetická energie se vkládá do pole tak, že je pole „natahováno“. Když se pak malá kulička pohybuje zpět proti van de Graaffovu generátor a urychluje se, je to proto, že energie uchována v poli předchozím natažením se nyní transformuje zpět v kinetickou energii pohybujícího se objektu. V obou obrázcích 19 a 20 ukazuje pohyb silokřivek pole směr toku energie. Tento tok jde z kinetické energie částice do energie pole v případě zpomalování částice a z pole zpět do kinetické energie částice v případě, že se částice urychluje.

Tento Faradayův model „silokřivek“ Maxwell přijal a  zahrnul ve svém Pojednání o elektřině a magnetizmu. Maxwellovými slovy:

„...Faraday svým vnitřním zrakem viděl silokřivky napříč celým prostorem tam, kde matematici viděli jen síly působící na dálku. Faraday viděl médium tam, kde oni neviděli nic, než vzdálenost. Faraday hledal podstatu jevů ve skutečných dějích v médiu mezi objekty, zatímco oni byli uspokojeni, že je nalezli v síle akce na dálku působící na elektrické látky.“

James Clerk Maxwell [1873] 

B.  Elektrické pole

1.  Definice

Pohyb v elektrickém poli, který jsme si kvalitativně popsali výše, nyní popíšeme kvantitativně. Využijeme k tomu pojmy jako je síla a testovací částice. Nechť q_test je náboj testovací částice. K určení elektrického pole v některém místě prostoru (x, y, z) umístíme do tohoto bodu testovací náboj a změříme sílu F(x, y, z), která na něho působí. Elektrické pole pak dostaneme jako limitu

(III.2)

2.  Elektrické pole bodového náboje a souboru bodových nábojů

Srovnáním (III.1) a (III.2) vidíme, že elektrické pole bodového náboje s nábojem q je dáno výrazem

(III.3)

kde r je vzdálenost mezi nábojem a místem pozorovatele a jednotkový vektor míří z bodu zdroje pole (místa náboje) do místa pozorovatele.

Obr. 21: Elektrické pole kladného bodového náboje znázorněné v bodě pozorovatele

Obr. 21 je interaktivní ShockWave aplikace, která znázorňuje elektrické pole kladného náboje spočteného pomocí vztahu (III.3). V aplikaci můžeme měnit úhel pohledu pozorovatele, zdrojový náboj i polohu pozorovatele a měnit tak i velikost a směr elektrického pole v místě pozorování.

Nakonec si ukažme jinou vizualizaci elektrického pole bodového náboje. Na obrázcích 22 a 23 je znázorněna animace elektrického pole pohybujícího se kladného a záporného náboje za předpokladu, že rychlost náboje je malá ve srovnání s rychlostí světla.

Obr. 22: Elektrické pole pohybujícího se kladného náboje za předpokladu, že rychlost náboje je malá ve srovnání s rychlostí světla.

Obr. 23: Elektrické pole pohybujícího se kladného náboje za předpokladu, že rychlost náboje je malá ve srovnání s rychlostí světla.

K nalezení pole souboru bodových nábojů jednoduše sečteme pole jednotlivých nábojů v souboru. To je tzv. „princip superpozice“. Uvažujme soubor bodových nábojů q_i pro i = 1...N. Nechť je i-tá částice lokalizovaná v bodě (x_i, y_i, z_i). Pak elektrické pole v místě (x, y, z) je dáno vztahem

(III.4)

3.  Příklady elektrických polí tvořených souborem nábojů

a)  Elektrický dipól

Jako jednu z nejdůležitějších konfigurací pole budeme nyní studovat pole elektrického dipólu. Je to pole vytvořené dvěma náboji, které mají opačná znaménka. Jestliže velikost obou nábojů je q a –q a vzdálenost mezi nimi je d, pak elektrický dipólový moment p směřuje ze záporného náboje ke kladnému a jeho velikost je qd. Na obrázku 24 jsou znázorněné silokřivky této konfigurace nábojů.

Obr. 24: Navzájem propojené elektrické silokřivky dvou opačných nábojů.

Jiným způsobem, jak znázornit toto pole, je simulace, která ukazuje součet polí jednotlivých nábojů do daného tvaru dipólu. Obrázek 25 ukazuje interaktivní ShockWave simulaci, ze které vyplývá, jak se dipólový charakter vytváří. V bodu pozorovatele ukazujeme elektrické pole obou nábojů zároveň s vektorovým součtem jejich výsledného pole. Abychom znázornili výsledné elektrické pole, užíváme zobrazení šumovou texturou. Můžeme měnit polohu pozorovatele v prostoru, abychom získali velikost a směr polí v různých místech v okolí dipólu.

Obr. 25: Interaktivní ShockWave simulace elektrického pole dvou stejně velikých, ale opačných nábojů.

b)  Nabitá úsečka

Předpokládejme, že chceme spočítat elektrické pole většího počtu nábojů, řekněme dvaceti stejných nábojů umístěných na úsečce a se stejnými vzdálenostmi mezi sebou. Ke spočítání výsledného pole musíme sečíst vektory polí všech jednotlivých dvaceti nábojů. Na obrázku 26 je ukázán tento vektorový součet v daném místě pozorování. V průběhu sčítání můžeme sledovat, jak se mění výsledek součtu (velká šipka na obrázku).

Obr. 26: Simulace užití principu superpozice při hledání elektrického pole vytvořeného konečným počtem nábojů na úsečce.

Na obrázku 27 ukážeme interaktivní ShockWave aplikaci podobnou, jako je na obrázku 26, ale s tím rozdílem, že tentokrát můžeme na obrazovce interaktivně měnit polohu pozorovatele v prostoru. Pro hlubší pochopení struktury celkového elektrického pole všech nábojů je opět použito zobrazení pomocí šumové textury. Můžeme měnit polohu pozorovatele a sledovat jaký nabývá tvar pole nábojů v různých bodech prostoru.

Obr. 27: Interaktivní simulace výpočtu elektrického pole vytvořeného konečnou úsečkou nábojů. Můžeme pohybovat místem pozorovatele a sledovat změny celkového pole v prostoru.

c)  Nabitý prstenec

Předpokládejme, že bychom chtěli spočítat elektrické pole velkého počtu nábojů, řekněme třiceti, uspořádaných na obvodu kružnice a se stejnými vzdálenostmi mezi jednotlivými náboji. Pro spočítání jejich pole, musíme vektorově sečíst elektrická pole všech třiceti nábojů. Na obrázku 28 je znázorněn tento vektorový součet všech polí v pevném bodě pozorovatele nacházejícím se v ose prstence. Při sčítání můžeme pozorovat měnící se výsledné pole v tomto bodě (na obrazovce znázorněné velkou šipkou).

Obr. 28: Simulace užití principu superpozice k nalezení elektrického pole tvořeného třiceti náboji umístěnými do tvaru prstence. Místo pozorovatele je v ose prstence.

Na obrázku 29 je interaktivní ShockWave aplikace, která je podobná obrázku 28, ale nyní můžeme pohybovat místem pozorovatele v prostoru. Abychom poznali i tvar pole, je ke znázornění pole generovaného těmito náboji užita šumová textura. Při pohybu místa pozorovatele vidíme, jak se výsledné pole v různých bodech mění v závislosti na příspěvcích elektrických polí jednotlivých nábojů.

Obr. 29: Elektrické pole generované 30 náboji umístěnými do prstence v daném místě pozorovatele. Místo pozorovatele je možné měnit kurzorovými šipkami, abychom viděli, jak pole jednotlivých nábojů přispívají do celkového pole.

C.  Tah a tlak přenášený elektrickými poli

1.  Tah a tlak (napětí) silokřivek

Obr. 30: Pomyslná krabička v elektrickém poli zobrazeným oranžovými vektory. Krátké vektory znázorňují směry napětí silokřivek přenášených polem, buď tlaků silokřivek (na levé a pravé straně krabičky) nebo tahů silokřivek (na vršku a spodku krabičky).

Nyní zavedeme představu napětí silokřivek, která jsou přenášená poli. K tomuto pojetí se budeme mnohokrát vracet. Na obrázku 30 je ukázán pomyslný uzavřený povrch (pomyslná krabička) umístěná do elektrického pole. Jestliže se díváme na plochu na levé straně této pomyslné krabičky, pole na této straně je kolmé k normálovému vektoru této plošky. Faraday pak mohl říci, že pole na této straně přenáší tlak silokřivek kolmo ke směru těchto silokřivek. V tomto případě je to tlak směrem doprava. Obdobně, jestliže se díváme na plošku na pravé straně této pomyslné krabičky, pole u této strany je kolmé k normálovému vektoru této plošky a Faraday by pak mohl opět říci, že pole přenáší tlak kolmo na silokřivky. V tomto případě tlačí doleva.

Jestliže bychom nyní chtěli znát celkovou sílu, kterou elektromagnetické pole přenáší směrem do vnitřku pomyslné krabičky v pravolevém směru, musíme vypočítat výslednici těchto dvou vyvolaných napětí silokřivek. Jestliže je elektrické nebo magnetické pole homogenní, jsou tlaky na stěny pomyslné krabičky stejně silné jak z levé, tak i z pravé strany a celková přenášená síla se rovná nule.

Obdobně, pokud se podíváme na horní stranu pomyslné krabičky na obrázku 30, pole u této stěny je rovnoběžné s normálou plošky a Faraday by mohl říci, že pole u této plošky přenáší tah silokřivek. V tomto případě je to tah směrem vzhůru, stejně jako kdyby k této plošce byla připevněna struna a táhla ji směrem vzhůru. Analogicky, když se podíváme na spodek krabičky, je pole na této straně antiparalelní se směrem vnější normály plošky a Faraday tedy mohl předpokládat, že pole i zde přenáší napětí podél svých silokřivek. V tomto případě je to tah silokřivek směrem dolů.

Jestliže chceme znát celkovou elektromagnetickou sílu přenášenou na vnitřek této pomyslné krabičky ve svislém směru, sečteme tato dvě přenášená napětí silokřivek. V případě, že je elektrické nebo magnetické pole homogenní, elektromagnetické síly působící na krabičku ve směru vzhůru a ve směru dolů jsou stejně velké, a proto se navzájem vyruší a výslednice síly bude nula.

Naproti tomu, pokud je spodní strana pomyslné krabičky umístěna do kondenzátoru, ve kterém je konstantní vertikální pole a vršek je umístěn mimo kondenzátor, kde je elektrické pole nulové, uplatní se potom pouze tah silokřivek směrem dolů a my potom řekneme, že elektrické pole působí tlakem silokřivek na horní desku kondenzátoru, tím, že je táhne dolů. Elektrické pole také působí napětím na spodní desku kondenzátoru tak, že ji táhne vzhůru. Snadno to můžeme odvodit z pohledu na topologii elektrického pole. Při dostatečně vysokém elektrickém poli se může stát, že desky kondenzátoru zkolabují k sobě navzájem.

Velikost tohoto tahu a tlaku silokřivek na jednotlivé plošky pomyslné krabičky na obrázku 30 je dána pro elektrické pole vztahem . Tato veličina má rozměr síly na jednotku plochy, tj. tlaku. Je to také hustota energie uchovaná v elektrickém poli. Všimněme si, že rozměr energie na jednotku objemu je totožný s rozměrem tlaku.

Tlak a tah silokřivek přenášený elektrickými poli

Elektrická pole jsou zprostředkovateli interakcí mezi hmotnými objekty. Pole přenášejí skrze prostor napětí silokřivek. Elektrické pole přenáší tah podél svých silokřivek a tlak kolmo k nim. Velikost tahu nebo tlaku silokřivek přenášených elektrickým polem je dána vztahem

(III.5)

2.  Příklady napětí silokřivek přenášených poli v elektrostatice

a)  Nabitá částice pohybující se homogenním elektrickým polem

Jako příklad napětí silokřivek přenášených elektrickými poli a výměny energie mezi poli a částicemi uvažujme elektrický náboj q > 0 pohybující se skrze homogenní elektrické pole. Náboj se začal pohybovat vzhůru v homogenním elektrickém poli podél záporné části osy z. Částice pociťuje konstantní sílu směrem dolů . Částice se při pohybu vzhůru zpomaluje a pak se začne pohybovat směrem dolů podél záporné osy z. Tento pohyb a související pole jsou ukázány na obrázku 31 ve dvou rozdílných časech

 

Obr. 31: Kladný náboj pohybující se v konstantním elektrickém poli orientovaném směrem dolů. Nalevo – celková konfigurace polí v momentě, kdy se částice ještě pohybuje vzhůru proti orientaci pole. Napravo – celková konfigurace pole v okamžiku, kdy se částice „chystá otočit“ před tím než se začne pohybovat směrem dolů.

Jak budeme interpretovat pohyb náboje v pojmech napětí silokřivek přenášených poli? Faraday by popsal síly směřující dolů na obrázku 31 (nalevo) následovně. Na obrázku 32 ukazujeme tento náboj obklopený pomyslnou sférou, v jejíž středu je náboj. Silokřivky pole pronikají dolní polovinu kuličky a přenášejí tah silokřivek, který je paralelní s polem. To je napětí silokřivek, které táhne zespoda náboj dolů. Silokřivky, které vybíhají z horní poloviny pomyslné kuličky, přenášejí napětí silokřivek působící kolmo na ně. V tomto případě je to tlak směřující dolů. Celkový výsledek těchto napětí silokřivek je síla působící na náboj směrem dolů.

Obr. 32: Elektrický náboj v homogenním dolů orientovaném elektrickém poli. Abychom si mohli představit napětí silokřivek přenášená poli na náboj, je náboj obklopen pomyslnou sférou.

Při pohledu na animaci spojenou s obrázkem 31 si daleko lépe než ve statickém případě uvědomíme myšlenku Faradayovy interpretace tahů a tlaků silokřivek.Při pohybu náboje vzhůru je zjevné, jak se elektrické silokřivky nad nábojem zhušťují a pod nábojem zřeďují. Tato konfigurace pole umožňuje přenos síly směřující směrem dolů, a naopak zde nevidíme pole, které by bylo příčinou síly směřující vzhůru.

Kinetická energie vzhůru se pohybujícího náboje se snižuje podle toho, kolik energie se uchovává ve stlačeném elektrostatickém poli a naopak vzrůstá při pohybu částice směrem dolů. Navíc, protože se ilokřivky pohybují v této animaci ve směru toku energie, můžeme přímo pozorovat tok elektromagnetické energie z náboje do pole, které ho obklopuje a zpomaluje. Naopak také můžeme pozorovat tok elektromagnetické energie zpět do náboje z pole v případě, že je náboj urychlován zpět dolů podél osy z.

A nakonec vezměme v úvahu zákon zachování hybnosti. Částice v animaci na obrázku 31 zcela otočí směr svého pohybu. Jak se v tomto procesu zachovává hybnost? Hybnost je zachována, protože hybnost pohybu v kladném směru osy z se zcela přenese z pohybujícího se náboje do nábojů, které generují homogenní elektrické pole (na obrázku nejsou znázorněny). Toto je zřejmé z konfigurace pole, která je znázorněna na obrázku 32. Tlak silokřivek pole, který náboj stlačuje směrem dolů je doprovázený napětím silokřivek, které tlačí vzhůru na náboje, které homogenní pole generují.

b)  Nabitá částice vložená do časově proměnného vnějšího pole

Ve druhé ilustraci napětí silokřivek přenášených elektrickými poli uvažujme kladný bodový náboj umístěný s počáteční nulovou rychlostí do vnějšího pole, které je homogenní v prostoru, ale proměnlivé v čase. Celé vnější pole se mění podle rovnice

(III.6)

Obrázek 33 ukazuje dva snímky animace celkové konfigurace elektrického pole této situace. Na obrázku 33 (nalevo) je situace v čase t = 0, kdy je svislá složka elektrického pole nulová. Na snímku 33 (napravo) je znázorněna situace o čtvrt periody později, kdy dolů směřující elektrické pole narostlo do maxima. Stejně jako na obrázku 32 výše, interpretujeme konfiguraci pole na obrázku 33 (napravo) jako síť dolů směřujících sil působících na stacionární náboj. Animace spojená s obrázkem 33 velmi dobře ukazuje tok energie v nejbližším okolí náboje, kdy externí pole narůstá v čase, i s výsledným růstem tlaků, které na kladný náboj přenášejí dolů směřující síly.

 

Obr. 33: Dva snímky z animace znázorňující elektrické pole obklopující kladný náboj umístěný do časově proměnného elektrického pole směřujícího směrem dolů. Oranžové vektory znázorňují elektrické pole a bílé vektory jsou síly v místě náboje.

Můžeme určit velikost síly působící na náboj, který je znázorněný na obrázku 33 (napravo), použitím rovnice (III.5). V čase, kdy je zachycen snímek 33 (napravo), je vzdálenost r₀ nad nábojem, ve kterém je elektrické pole náboje stejně velké, ale opačně orientované než je homogenní pole, určena rovnicí

(III.7)

Povrch této kulové plochy je Nyní v souhlase s rovnicí (III.5) je tlak silokřivek (síla na jednotku plochy) a/nebo tah silokřivek přenášený přes povrch této sféry obklopující náboj úměrný . Protože je elektrické pole na povrchu sféry řádově E₀, je celková síla přenášená poli řádově krát povrch sféry, čili

 

jak bychom očekávali. Samozřejmě, že celková síla je kombinací tlaků silokřivek mířících dolů na vršek sféry a tahů silokřivek směřujících dolů a působících na spodek sféry. Nicméně hrubý odhad který jsme právě provedli ukazuje, že tlaky a tahy přenášené skrze povrch sféry obklopující náboj jsou prokazatelně řádu , jak jsme popsali v rovnici (III.5).

c)  Souhlasné a nesouhlasné náboje zavěšené na kyvadlech

Nyní uvažujme dva náboje zavěšené na kyvadlech, jejichž osy ramen se mohou pohybovat k sobě a od sebe pod vlivem nějakého vnějšího činitele. Nejprve předpokládejme, dva náboje se stejnými znaménky a tudíž se vzájemně odpuzující. Obrázek 34 ukazuje situaci, kdy vnější vliv přitahuje ramena (na nichž jsou oba kladné náboje zavěšeny) k sobě. Gravitační síla táhne náboje dolů a elektrostatická síla je odpuzuje směrem od sebe podél jejich spojnice. Chování elektromagnetického pole v tomto případě je příklad přenášení tlaků silokřivek přenášených kolmo k silokřivkám pole. Toto napětí silokřivek udržuje oba náboje oddělené od sebe, zatímco vnější vliv je zkouší stlačit k sobě.

Obr. 34: Dvě kyvadla, na kterých jsou zavěšeny náboje stejného znaménka. Když pohybujeme rameny k sobě, náboje jsou odtlačovány od sebe navzájem napětím silokřivek, které je kolmé k elektrickému poli. Pro přehlednost jsme přerušili silokřivky v dané vzdálenosti od nábojů.

Na druhou stranu uvažujme náboje, které mají opačná znaménka, a proto se tedy přitahují. Na obrázku 35 je znázorněná situace, kdy jsou ramena, na kterých jsou náboje zavěšeny, posouvána směrem k sobě. Gravitační síla náboje stlačuje směrem dolů a elektrostatická síla je oba navzájem k sobě přitahuje. Chování elektrických polí v této situaci je příkladem napětí silokřivek přenášených paralelně k silokřivkám. Toto napětí silokřivek se snaží oba náboje k sobě přitáhnout.

Obr 35: Dvě kyvadla se zavěšenými opačnými náboji. Když pohybujeme rameny k sobě, oba náboje jsou přitahovány k sobě napětím silokřivek paralelním k elektrickému poli. Silokřivky pole jsou opět uměle zakončeny z důvodů přehlednosti animace.

D.  Vznik elektrických polí

1.  Vznik elektrického dipólu

Elektrická pole jsou tvořena elektrickými náboji. Jestliže nikde v prostoru není elektrický náboj a ani nebyl v minulosti, pak nikde v prostoru nemůže být přítomno ani elektrické ani magnetické pole. Jak jsou elektrická pole tvořena a jak mohou vyplnit prostor? Abychom toto vysvětlili, uvažujme následující scénář, ve kterém budeme sledovat měnící se pole od jeho nulových hodnot, až po pole vyplňující celý prostor.

Předpokládejme, že máme kladný bodový náboj umístěný přesně v místě záporného, takže se celkový náboj zcela vyruší. Tudíž také nikde v prostoru není ani elektrické pole. Nyní oba náboje pomalu od sebe odtáhneme, takže mezi nimi vznikne malá vzdálenost. Vznikne tak dvojice nábojů a nábojová nerovnováha, která umožní vznik elektrického pole.

Nyní se podívejme, jak se vznik elektrického pole detailně odehrává. Obrázek 36 ukazuje tři snímky animace procesu rozdělování nábojů. Na obrázku 36 (nalevo) ještě žádné rozdělení není a elektrické pole je v celém prostoru nulové. Na obrázku 36 (uprostřed) je znázorněný okamžik chvíli po rozdělení nábojů. Můžeme na něm vidět expandující elektrické pole. Obrázek 36 (napravo) ukazuje snímek z období dlouho po rozdělení obou nábojů (je mezi nimi již delší dobu konstantní vzdálenost).

  

Obr. 36: Vznik elektrického dipólu. Nalevo – před rozdělením nábojů. Uprostřed – chvíli po rozdělení nábojů. Napravo – dlouho po rozdělení obou nábojů.

Co nám tato sekvence snímků prozrazuje? Především to, že elektrický náboj generuje elektrické pole – žádný náboj = žádné pole. Za druhé, že elektrické pole se neobjeví v celém prostoru okamžitě po vzniku nábojové nerovnováhy – elektrické pole se rozšiřuje pryč od zdroje nějakou konečnou rychlostí. Tato rychlost se ukáže být rychlostí světla. A nakonec nám prozradí, že elektrické pole je vytvářeno i po rozdělení nábojů a ustálení jejich poloh. Počáteční tvar pole spojený s časově závislým dělením nábojů je ve skutečnosti záblesk „dipólového záření“. K této oblasti vyzařování se vrátíme až na konci tohoto kurzu. Do té doby budeme radiační pole zanedbávat. Konfiguraci pole, která zůstane dlouhý čas po ustálení nábojů, nazýváme elektrickým dipólem.

Poznamenejme, že vnější síly, které náboje od sebe odtáhly, musí i nadále nepřetržitě působit, jinak by se náboje okamžitě začaly přitahovat k sobě. Vliv oddělující náboje tedy musí pracovat proti elektrickému přitahování. Práce vykonaná těmito vnějšími silami přechází do energie odnášené zářením, stejně jako i energie potřebná k ustavení konečného stacionárního elektrického pole, které vidíme na obrázku 36 (napravo).

V dalším budeme zanedbávat vyzařování a kompletní proces rozdělování našich nesouhlasných nábojů tak, jak začal na obrázku 36. Obrázek 37 zachycuje kompletní sekvenci. Když skončíme a oddělíme náboje daleko od sebe, můžeme pozorovat charakteristické radiální pole bodového náboje.

Obr. 37: Vytvoření elektrických polí dvou bodových nábojů. Dva nesouhlasné náboje jsou od sebe navzájem vzdalovány. Na obrázku jsou v určité vzdálenosti uměle zakončeny silokřivky polí, abychom se vyhnuli při vizualizaci nepřehlednostem.

2.  Vznik a zánik elektrické energie

Nyní se podívejme na proces vzniku elektrické energie v různých souvislostech. V této diskusi zanedbejme ztráty energie způsobené zářením – radiací. Obrázek 38 ukazuje jeden snímek animace, která znázorňuje následující proces: Začneme s pěti zápornými a pěti kladnými náboji, všemi umístěnými v jednom bodu prostoru. Poněvadž zde není žádný celkový náboj, není zde ani elektrické pole. Nyní začneme pohybovat jedním kladným nábojem konstantní rychlostí z počáteční polohy do místa ve vzdálenosti L podél vodorovné osy. Až toto provedeme, začneme stejným způsobem pohybovat druhým kladným nábojem do stejného místa, kde je již umístěn první. Poté budeme pokračovat stejně se zbytkem kladných nábojů, dokud všechny neumístíme po vodorovné ose na stejné místo ve vzdálenosti L od jejich počáteční polohy. Obrázek 38 ukazuje konfiguraci pole během tohoto procesu. Ke znázornění velikosti elektrického pole využíváme barevného kódování šumové textury. Nejsilnější pole jsou bílá, nejslabší černá a pole prostřední síly jsou žlutá.

Obr. 38: Vznik a zánik elektrické energie

V průběhu animace „vzniku“ pole spojené s obrázkem 38 narůstá intenzita elektrického pole s každým kladným nábojem, který je umístěn na své místo. Tato energie přitéká podél drah, po kterých se náboje pohybují, a je dodávána vnější silou, která pohybuje nábojem proti elektrickému poli ostatních nábojů. Práce, kterou tato síla vykonává při rozdělování jednotlivých nábojů a při překonávání jejich elektrické přitažlivosti se přemění v energii elektrického pole. Máme zde také animaci provázanou s obrázkem 38 ilustrující opačný proces. Tj., kdy v sekvencích vracíme jednotlivé kladné náboje na jejich původní společné místo. Na konci tohoto procesu zde nemáme žádné elektrické pole, protože zde nejsou žádné nenulové náboje.

V průběhu procesu „zániku“, kterou znázorňuje animace provázaná s obrázkem 38, se intenzita elektrického pole snižuje s každým kladným nábojem, který se navrátí do původní polohy. Tato energie odtéká z pole zpět podél drah, po kterých se náboje pohybují. Nyní se navrací do oblasti vzniku vnějších sil pohybujících nábojem konstantní rychlostí podél silokřivek elektrického pole ostatních nábojů. Energie, kterou nyní odčerpává vnější činitel při zániku elektrického pole je přesně stejného množství jako energie, kterou vnější činitel vynaložil při vzniku elektrického pole v předchozím případě, ovšem při zanedbání zářivých ztrát. Tyto ztráty jsou ale skutečně zanedbatelné, pokud pohybujeme náboji rychlostmi mnohem menšími, než je rychlost světla. Pokud zanedbáme tyto ztráty, je proces zcela reversibilní. To znamená, že celková energie, kterou vnější síly vložily do vzniku elektrického pole, se přesně vrátí při zániku pole.

A ještě jedna poznámka na závěr. Kdykoliv se vytváří elektromagnetická energie, pak se elektrický náboj pohybuje (nebo je jím pohybováno) proti elektrickému poli (). Kdykoliv elektromagnetické pole zaniká, pak se elektrický náboj pohybuje (nebo je jím pohybováno) podél elektrického pole (). Až se dostaneme ke vzniku a zániku magnetického pole, uvidíme, že toto pravidlo zde platí naprosto stejně.

E.  Elektrická pole drží atomy pohromadě

„…jak náš zrak v myšlenkách proniká do menších a menších vzdáleností a kratších a kratších časů, nalezneme chování přírody tak naprosto odlišné od toho, které pozorujeme ve viditelném a hmatatelném světě, který nás obklopuje, že žádný model utvořený podle našich velkorozměrových zkušeností nemůže být „pravdivý“. Takový model, který by nás zcela uspokojil, je nejen nedostupný, ale také nepředstavitelný. Nebo abychom byli přesní, můžeme si ho představit, nicméně to, co si představujeme, je špatně.“

Erwin Schroedinger

1.  Iontové a van der Waalsovy síly

„Silné“ jaderné síly držící protony a neutrony pohromadě jsou kromě neobvyklých situací (např. atomová exploze) tak silné, že je nemožné jejich vazby zpřetrhat a energie v nich vázaná je pro nás v podstatě nedostupná. Energie, kterými můžeme snadno ovlivnit svůj každodenní život, a tudíž dominují změnám, které pozorujeme ve světě okolo nás, jsou elektromagnetického původu. Elektromagnetické síly jsou „pojivem“, které drží atomy pohromadě, tj. drží elektrony v blízkosti protonů a vážou atomy dohromady v látkách. Zde předvedeme velmi zidealizovaný (a leckdy špatný) semi–klasický model tohoto problému.

Obrázky 39 a 40 jsou příklady napětí přenášených poli, tak jak jsme je viděli dříve. Na obrázku 39 vidíme záporný náboj pohybující se okolo hmotného kladného náboje. Jeho dráha je vychýlena směrem k tomuto náboji díky přitažlivosti, kterou tyto náboje navzájem pociťují. Toto přitahování je způsobeno napětími silokřivek, která přenášejí elektromagnetické pole. Jednoduchá interpretace interakce znázorněné na obrázku 39 je taková, že přitažlivost je prvotně způsobená tahem silokřivek přeneseným elektrickým polem, které náboje obklopuje.

Obr. 39: Záporný náboj se pohybuje v okolí hmotného kladného náboje umístěného v počátku. Dráha záporného náboje je vychýlená z přímého směru díky napětí silokřivek, která přenáší elektrická pole obklopující náboje.

Na obrázku 40 vidíme kladný náboj, jak se pohybuje okolo jiného hmotného kladného náboje. Jeho dráha je zakřivena od druhého náboje vlivem odpudivých sil, kterými na sebe oba náboje působí. Tyto odpudivé síly jsou opět způsobeny napětími silokřivek přenášenými elektromagnetickými poli, stejně jako jsme pozorovali výše. Tentokrát z obrázku 40 vidíme, že je odpuzování způsobené zejména tlakem silokřivek, který přenáší pole obklopující oba náboje.

Obr. 40: Kladný náboj se pohybuje okolo jiného kladného hmotného náboje, umístěného v počátku. Trajektorie je odkloněna vlivem napětí silokřivek, která přenášejí elektrická pole obklopující náboje.

Co je společné oběma obrázkům? Je to pole neboli „aura“, která obklopuje nabité objekty. Existence tohoto pole je mechanizmem, kterým náboje mezi sebou navzájem interagují. Tyto náboje se nikdy přímo „nedotknou“. Interagují spolu pouze prostřednictvím svých polí. V následující části se pokusíme načrtnout, jak interakce drží látku pohromadě.

Na obrázku 41 je znázorněna interakce čtyř nábojů se stejnými hmotnostmi. Dva náboje jsou nabité kladně a dva záporně. Všechny mají stejnou velikost náboje. Částice interagují Coulombovou silou. Nyní se musíme zmínit o kvantově mechanické „Pauliho“ síle, která je vždy odpudivá a je velice důležitá na malých vzdálenostech, zatímco na velkých vzdálenostech je zanedbatelná. Kritická vzdálenost, kdy začíná být dominantní, je přibližně ve vzdálenosti sféry znázorněné na obrázku 41. Tato „Pauliho“ síla je kvantově mechanického původu a zabraňuje nábojům, aby se zhroutily všechny do jednoho bodu (tj. udržuje záporně nabité částice a kladně nabité částice od sebe v konečných vzdálenostech). Navíc je pohyb částic utlumen členem úměrným jejich rychlosti, což jim umožňuje zůstat ve stabilních nebo metastabilních stavech.

Obr. 41: Čtyři náboje s dynamickým útlumem interagující Coulombovou silou a na blízké vzdálenost se odpuzující Pauliho silou.

Když se nabité částice začnou vyvíjet z počátečního stavu, první věc, která se přihodí (velice rychle), je, že se náboje spárují do dipólů. Je to rychlý proces, protože Coulombova síla působící mezi nerovnovážnými náboji je velmi velká. Tento proces se nazývá „iontová vazba“ a je zodpovědná za meziatomární síly například u obyčejné kuchyňské soli NaCl. Poté, co se zformují dipóly, přetrvává zde stále interakce mezi sousedními dipóly, ale je mnohem slabší, protože elektrické pole dipólu ubývá mnohem rychleji než pole samotného náboje. To proto, že celkový náboj dipólu je nulový. Když se dva opačné náboje dostanou k sobě velmi blízko, jejich elektrická pole se navzájem „téměř“ vyruší.

Ačkoliv v principu může být dipól – dipólová interakce jak přitažlivá, tak i odpudivá, ve skutečnosti zde existují točivé momenty, které otočí dipól tak, že dipól – dipólová síla je přitažlivá. Po delším čase přivede tato dipól – dipólová interakce oba dipóly do vázaného stavu. Přitažlivá síla, která působí na oba dipóly, se nazývá „van der Waalsova“ síla a je zodpovědná za mezimolekulární síly, které k sobě vážou sloučeniny v pevných látkách. Poznamenejme, že elektrostatické síly také vážou elektrony k jádru.

Obrázek 42 je interaktivní dvourozměrná ShockWave aplikace, která ukazuje stejnou dynamickou situaci, jako je na obrázku 41 s rozdílem, že nyní jsme zahrnuli větší počet kladných a záporných nábojů a zrušili jsme vykreslování polí, takže můžeme nyní měnit simulace interaktivně v reálném čase. Na počátku umístíme náboje na náhodná místa v prostoru a necháme je vyvíjet se v čase pod vlivem sil, které na ně působí (elektrostatické přitahování / odpuzování, Pauliho odpuzování na velmi malých vzdálenostech a dynamický brzdný člen úměrný rychlosti). Částice nakonec skončí v konfiguraci, ve kterých jsou celkové síly působící na jednotlivé částice v podstatě nulové. Jak jsme viděli v animaci na obrázku 41 výše, nejprve se jednotlivé částice zkombinují do dipólů a potom pomalu utvoří větší struktury. Prstence a lineární konfigurace jsou těmi nejobecnějšími uspořádáními, ale kliknutím a táhnutím částic může uživatel dosáhnout mnohem složitějších metastabilních uspořádání.

Obr. 42: Dvojdimenzionální interaktivní simulace souboru kladných a záporných nábojů, na které působí Coulombova síla, Pauliho odpudivá síla a dynamický útlum.

Především si sekvenci vyzkoušejte v akci. Odstartuje ji a počkejte, dokud se simulace nevyvine do bodu, kdy máme řetízek ze sedmi či osmi částic. Kliknutím levým tlačítkem na jeden z konců řetízku nábojů za ně můžeme myší táhnout. Pokud to děláme dostatečně pomalu, celý řetízek následuje náboj, za který takto virtuálně táhneme. Když pohybujeme nábojem, přidáváme přímo energii tomu náboji, kterým za jeden konec řetízku táhneme. Tato energie jednak přímo vstupuje do pohybu náboje, ale je také předána zbytku nábojů prostřednictvím elektromagnetických polí. „Energie“, kterou náboj na opačném konci řetízku přijme o chvilku později poté, co jsme začali pohybovat s prvním nábojem, je dodána tokem energie v elektromagnetickém poli prostorem z místa, ve kterém jsme s pohybem náboje začali.

Takto interagují síly v mikrosvětě. Každý fyzikální objekt je pohromadě držený elektrostatickými silami. Kvantová mechanika jej zadržuje před kolapsem, elektrostatické síly mu brání před rozpadnutím. Když například zvedáte nějaký objekt z podlahy za jeho vrchní část, energie je přenášena z místa, kde jste objekt uchopili do jeho zbylé části tokem energie elektromagnetického pole. Když předmět zvedáte, konec objektu se nijak „nedotýká“ místa, za který jste předmět uchopili. Všechna energie, která je konci předmětu dodávána, aby se zvedl proti gravitační síle, je dodána tokem energie skrze elektromagnetické pole, které tak drží objekty pohromadě.

Obrázek 43 je interaktivní 3D ShockWave animace, která ukazuje stejnou dynamickou situaci, jako obrázek 42, jen s tím rozdílem, že nyní scénu vidíme ve třech rozměrech. Se scénou můžeme pravým tlačítkem myši otáčet a vidět tak vše z různých úhlů pohledu. Začneme s náboji umístěnými v náhodných polohách v prostoru a necháme je vyvíjet se v čase v souhlase se silami, které na ně působí (elektrostatické přitahování, odpuzování, Pauliho odpuzování na velmi malých vzdálenostech a dynamický útlum úměrný rychlosti). Tato konfigurace je mnohem obecnější díky užití třetí dimenze. Navíc můžete stlačením klávesy „w“ zapnout sílu, která přitáhne náboje k sobě. Zapnutím této síly můžeme nechat náboje shromáždit se a vypnutím je opět nechat expandovat a zaujímat složité třírozměrné metastabilní struktury. Jeden takový příklad je na obrázku 43.

Obr. 43: Třídimenzionální interaktivní simulace souboru kladných a záporných nábojů, na které působí Coulombova síla, Pauliho odpudivá síla a dynamický útlum.

Na obrázku 44 je interaktivní ShockWave simulace, která ve dvou rozměrech ukazuje, jak spolu navzájem interaguje soubor elektrických dipólů. Dipóly se vytvoří na náhodných místech v prostoru a s náhodnou orientací, ale se všemi svými dipólovými vektory v rovině animace. Jak jsme již poznamenali výše, ačkoliv dipól – dipólová interakce je v principu jak přitažlivá, tak i odpudivá, ve skutečnosti se ale dipóly zorientují tak, aby síly mezi nimi byly přitažlivé. V této ShockWave simulaci takovéto chování vidíme, tj. dipóly se orientují tak, že se přitahují a toto přitahování mezi nimi vytvoří vázané struktury.

Obr. 44: Interaktivní simulace souboru elektrických dipólů, na které působí Coulombova síla, Pauliho odpudivá síla a dynamický útlum.

2.  Past na nabité částice

Obrázek 45 ukazuje interaktivní simulaci pasti na nabité částice. Částice zde interaguje jako dříve, ale nyní navíc pociťují sílu, která je tlačí směrem k počátku bez ohledu na znaménko jejich náboje. Tato síla „pasti“ lineárně roste se vzdáleností od počátku. Částice jsou nejprve rozházeny v prostoru naprosto nahodile, ale dynamický útlum je „ochlazuje“ a ony „krystalizují“ v různých vysoce symetrických strukturách, které závisí jen na počtu částic. Simulace napodobuje vysoce uspořádané struktury, které známe i z přírody (například sněhové vločky).

Obr. 45: Interaktivní simulace částicové pasti. Částice interagují podle stejných pravidel, jako dříve, ale nyní navíc každá pociťuje sílu, která je přitahuje směrem k počátku bez ohledu na znaménko jejich náboje.

Vyzkoušejte si následující zajímavé cvičení. Začněte simulaci. Simulace nejdříve začíná s 12 kladně nabitými částicemi v náhodných pozicích (je samozřejmě možné začít s jakýmkoliv množstvím různě nabitých částic, ale pro tuto chvíli jsme zvolili 12). V polovině případů se ustálí rovnováha tak, že ve středu struktury bude jedna částice a ostatních 11 na povrchu sféry, která ji obklopuje. V druhé polovině případů se všechny částice ustálí na povrchu sféry a ve středu nebude ani jedna nabitá částice. Ať jste zvolili jakoukoliv počáteční konfiguraci, zkuste pohybem jedné částice z nebo do středu změnit jednu stabilní konfiguraci v druhou. Pro označení částice zmáčkněte klávesu SHIFT a levé tlačítko myši a pro její pohyb použijte kurzorových šipek. Možná budete muset zkusit označit více částic, než se vám jednu podaří do počátku a rovnovážného stavu dostat.

Vyzkoušejte i jiný pokus. Přidejte dalších 8 kladných nábojů (zmáčknutím klávesy „p“ 8-krát za sebou). Tedy máme celkem 20 nabitých částic. Otáčením sféry kolem dokola vidíme, že uvnitř sféry máme 2 částice a 18 částic je obklopuje. Je toto nejnižší počet částic, v jejichž rovnovážné konfiguraci máme uzavřeny sférou 2 částice? Můžeme toto dokázat s 18-ti částicemi? Po zmáčknutí klávesy „s“ můžete zobrazit povrch, který je provázán s pozicemi všech 18-ti nábojů. V tomto zobrazení je symetrie mnohem jasnější.

3.  Elektrostatický visutý most

Na konec jeden příklad na elektrostatické síly z reálného světa. Na obrázku 46 je simulace „elektromagnetického visutého mostu“. Most je tvořen řetězem přitahujících se střídavě kladných a záporných nábojů. Řetěz je upevněn v krajních bodech a zatížen gravitační silou směrem dolů. Nosnost „mostu“ je simulována jednoduše Coulombovou interakcí. Aby se kladné a záporné náboje díky ní nezhroutily do jednoho bodu, pracuje proti ní Pauliho odpudivá síla. Zpočátku je zatížení nízké, ale můžeme ho zvyšovat přidáváním hmotných, ale elektricky neutrálních částic zmáčknutím klávesy „o“. Přidávat můžeme tak dlouho, než se elektromagnetické vazby „nepřetrhnou“ a most nezhroutí.

Obr. 46: Interaktivní simulace elektrostatického visutého mostu.