Elektřina a magnetizmus → Názorná exkurze → Vektorová a skalární pole

II.  Vektorová a skalární pole

A.  Skalární pole a jak je popisovat

Pole je zobrazení, které každému bodu prostoru přiřadí dané hodnoty. Skalární pole je pole, které každému bodu v prostoru přiřazuje jedno číslo. Dobrý příklad takového pole je teplota atmosféry Země v blízkosti povrchu. Jiným příkladem je analytický výraz

(II.1)

Tento výraz definuje hodnotu skalární funkce ϕ v každém bodě (x, y, z) prostoru.

1.  Vrstevnicové mapy

Jak ale vystihnout a znázornit nějaké skalární pole, např. takové jako popisuje (II.1)? Jednou z možností je zafixovat jednu z proměnných (například z) a pak znázornit mapu vrstevnic pro zbývající dva rozměry, ve které křivky představují linie konstantní hodnoty funkce ϕ. Sled takovýchto map nám pro různé fixní hodnoty z potom dá představu vlastností dané skalární funkce. Ukážeme takovou vrstevnicovou mapu rovnice (II.1) v rovině xy pro z = 0. Různé hodnoty jsou znázorněny na Obr. 1. Hodnoty jsou pro každou znázorněnou velikost vyneseny v grafu.

Obr. 1.: Vrstevnicová mapa v rovině xy elektrického potenciálu daného rovnicí (II.1).

2.  Barevné kódování

Jiným způsobem, jak znázornit hodnoty skalárního pole, je barevné odlišení hodnot v rovině dvou proměnných při fixní hodnotě třetí. Obr. 2 ukazuje takovýto diagram pro rovnici (II.1) opět pro rovinu z = 0. Různé hodnoty funkce ϕ(x, y, z) jsou znázorněny rozdílnými barvami na diagramu.

Obr. 2: Barevně kódovaný diagram v rovině xy elektrického potenciálu daného rovnicí (II.1).

3.  Prostorový diagram

Třetím způsobem, jak znázornit skalární pole, je zafixovat jeden z rozměrů a vynášet hodnoty funkce jako výšku oproti zbytku prostorových souřadnic, řekněme x a y, tj. jako prostorový diagram. Obr. 3 ukazuje takový diagram funkce, kterou popisuje (II.1), za předpokladu, že z = 0.

Obr. 3: Prostorový diagram funkce daný rovnicí pro z = 0.

B.  Vektorová pole

Vektorové pole je pole, které každému bodu v prostoru přiřazuje vektor, tj. tři čísla místo jednoho, jako v případě skalárního pole. Příkladem vektorového pole je rychlost atmosféry Země, tj. rychlost větru. Jako první příklad vizualizace polí tohoto druhu ukážeme tok tekutiny, protože vizualizace takovýchto typů vektorových polí jsou nejjednodušší.

1.  Zřídla a propady v tocích tekutin

Na obr. 4 vidíte fyzikální případ toku tekutiny, kde ke znázornění struktury toku tekutiny byl použit konečný počet částic. Na tomto obrázku se částice (elementy tekutiny) tajemně vynořují ve středu kuželu (ve „zřídle“) a tekou dolů přitahovány gravitací. To znamená, že vytváříme částice v počátku a ony následně tekou pryč z místa jejich zrodu. Tento tok je někdy nazýván divergující tok, protože vzniknuvší částice se rozbíhají (diverse z latiny) z místa původu. Na Obr. 5 je znázorněn opačný případ, kdy se tok částic sbíhá v jednom „propadu“ tekutiny.

Obr. 4: Příklad zřídla částic a k němu přiřazenému toku tekutiny.

Obr. 5: Příklad propadu částic a k němu přiřazenému toku.

Na Obr. 6 je jiné znázornění divergujícího toku. Zde je směr toku znázorněn šumovou texturou, jejíž směr je v korelaci se směrem znázorňovaného toku tekutiny. Na Obr. 7 je zřídlo (zdroj) v blízkosti menšího propadu (výpusti). Obr. 8 znázorňuje dvě zřídla nestejné velikosti.

Obr. 6: Na tomto obrázku je znázorněno zřídlo s využitím šumové textury.

Obr. 7: Zde je znázorněno zřídlo i propad, přičemž zřídlo je silnější.

Obr. 8: Tok tekutiny je vytvořen dvěma zřídly nestejné síly.

A konečně na Obr. 9 je ukázán konstantní tok klesající dolů, který se vzájemně ovlivňuje se  zřídlem. Zřídlo je částečně schopno téci vzhůru proti proudu padající tekutiny, ale nakonec je tok také stržen a otočen směrem dolů.

Obr. 9: Homogenní tok směrem dolů interagující se zřídlem.

2.  Cirkulace toku tekutiny

Na Obr. 10 je ukázán fyzikální příklad toku pole, které nemá ani zřídlo a ani propad. Tok jednoduše cirkuluje – víří. Částice ani nevznikají, ani nezanikají (kromě začátku pohybu), jednoduše se pohybují v kruzích. Na Obr. 11 je cirkulující – vířící tekutina znázorněna jiným způsobem, pomocí šumové textury. Je to obdobný způsob jako na Obr. 6.

Obr. 10: Příklad cirkulující kapaliny.

Obr. 11: Jiný způsob znázornění cirkulující tekutiny.

Na Obr. 12 vidíme tok pole, které víří okolo dvou center umístěných v různých místech prostoru. Toky cirkulují v opačných směrech a jeden vír je silnější než druhý. Na obr. 13 je znázorněna stejná situace, ale nyní jsou oba víry ve stejném směru.

Obr. 12: Tok okolo dvou center vírů v opačných směrech.

Obr. 13: Tok okolo dvou center vírů se stejným směrem cirkulace.

Nakonec je na Obr. 14 je znázorněn homogenní tok směřující dolů, interagující s cirkulujícím tokem. Otáčivý tok je schopen téci kousek proti proudu, ale nakonec je stržen silnějším tokem směrem dolů.

Obr. 14: Homogenní tok směřující dolů interagující s vírem.

V jazyce vektorového počtu říkáme, že toky znázorněné na obrázcích 10 až 14 mají nenulovou rotaci, ale nulovou divergenci. Narozdíl od těchto případů, toky znázorněné na obrázcích 6 až 9 mají nulovou rotaci (nepohybují se po kružnicích), ale mají nenulovou divergenci (částice někde vznikají nebo zanikají).

Konečně na obr. 15 jsou ukázány oba toky pole, jak vír, tak i zřídlo (jak rotace, tak také divergence vektorového pole jsou nenulové). Jakékoli vektorové pole lze zapsat jako součet nevírových částí (nulová rotace) a nedivergujících (nezdrojových) částí (žádná zřídla ani propady částic). V našem studiu elektromagnetizmu uvidíme, že statické elektrické pole je nevírové (tj. vypadá jako na obrázcích 6 až 9) a statické magnetické pole je nedivergující, nezdrojové (tj. podobá se obrázkům 11 až 13). Jenom v případech časově proměnného elektrického pole můžeme pozorovat, že má elektrické pole obě vlastnosti, tj. je jak zdrojové, tak i vírové, takže vypadá jako na obr. 15. Na rozdíl od pole elektrického je pole magnetické vždy nezdrojové (nedivergentní), a to i v časově proměnných situacích. To znamená, že magnetické pole se vždy podobá modelům z obrázků 11 až 14.

Obr. 15: Tok tekutinového pole, které má jak zřídlo, tak i vír.

3.  Vztah mezi tekutinovým modelem a elektromagnetickým polem

Vektorová pole, která představují tekutinový model, mají bezprostřední fyzikální interpretaci: vektory v každém bodě v prostoru představují směr pohybu částic tekutiny a my můžeme vytvořit animaci takovéhoto pohybujícího se pole, jak jsme viděli výše. Mnohem obecnější vektorová pole, například elektrická a magnetická pole, o kterých pojednáme níže, nemají takovou přímočarou fyzikální interpretaci, jako tekutinové pole. Není zde žádný „tok“ tekutiny podél elektrického ani magnetického pole.

Nicméně třebaže vektory elektromagnetického pole nepředstavují tok tekutiny, můžeme přenést mnoho pojmů, které jsme použili k popisu tekutinového pole, stejně dobře i na popis pole elektromagnetického. Například budeme mluvit o toku elektromagnetického pole skrze plochu. Jestliže jsme již mluvili o proudění tekutiny, „tok“ by měl mít dobře definovaný fyzikální smysl, a to takový, že by to mělo být množství tekutiny, které proteče skrze danou plochu za jednotku času. Když budeme mluvit o toku elektrického pole skrze plochu, stále budeme užívat stejné pojmy, jako když jsme mluvili o toku tekutiny, i když jejich význam nebude shodný. Obdobně pak uvidíme, že magnetické vektorové pole má tvar stejný jako tvar cirkulující tekutiny a proto také někdy budeme mluvit o cirkulaci či víru magnetického pole. Ale nebude zde žádná tekutina, která by se pohybovala podél směru magnetického pole.

Při popisu elektromagnetického pole budeme používat mnoho termínů shodných s popisem toku tekutin proto, abychom lépe porozuměli struktuře elektromagnetických polí. Nicméně stále musíme mít na paměti, že tyto analogie mají omezenou platnost.

C.  Jak znázorníme elektromagnetické vektorové pole

Nyní přistupme od tekutinového modelu k mnohem obecnějším vektorovým polím. Protože ve vektorovém poli je mnohem více informací ke znázornění, jejich vizualizace budou úměrně složitější ve srovnání se znázorňováním skalárních polí. Ukažme si různé způsoby, jak znázornit konkrétní analytický tvar vektorového pole:

(II.2)

Toto pole odpovídá elektrickému poli dvou bodových nábojů opačných znamének, kde velikost kladného náboje je třikrát větší než záporného. Kladný náboj je umístěn v poloze (0, –d, 0) a záporný leží v poloze (0, +d, 0). V příštích kapitolách si ukážeme, jak se toto pole spočítá.

1.  Znázornění vektorového pole pomocí vektorů

Na Obr. 16 je příklad znázornění vektorového pole rovnice (II.2) v rovině z = 0 pomocí vektorů. V ukázce jsou i náboje, které toto elektrické pole vytvářejí. Kladný náboj je znázorněný červeně a záporný modře. Toto barevné schéma budeme pro znázornění znamének nábojů používat vždy.

Obr. 16: Reprezentace typu „vektory“ pro pole dvou bodových nábojů, jednoho záporného a jednoho kladného. Velikost kladného náboje je třikrát větší než velikost záporného náboje. V apletu, který je s obrázkem provázán, je možné měnit velikost nábojů a vzdálenosti uzlů mříže a měnit také vzájemnou polohu nábojů.

V tomto typu znázornění vektorových polí budeme klást šipky ukazující směr vektorového pole do pravoúhlé mříže. Směr šipky v daném místě ukazuje směr vektorového pole v tomto místě. V mnoha případech také můžeme volit délku šipky úměrně velikosti (intenzitě) vektorového pole v daném místě. Další možností je ukázat pouze směr vektorů (tj. všechny šipky budou mít stejnou délku), ale jejich barevné zabarvení nám znázorní velikost vektorového pole. Velikost vektorového pole také nemusíme znázorňovat vůbec a pouze směrem šipky naznačíme směr pole v daném bodě.

Obr. 16 je příkladem poslední možnosti. Šipky na mříži znázorňují pouze směr vektorového pole. Není zde použito žádné znázornění velikosti pole ať pomocí délky šipek nebo barevným odlišením. Všimněte si, že šipky ukazují směrem od kladného náboje (kladný náboj je zřídlem neboli zdrojem elektrického pole) a míří směrem k zápornému náboji (záporný náboj je pro elektrické pole „propadem“).

2.  Znázornění vektorových polí pomocí silokřivek

Existují také jiné způsoby, jak znázorňovat vektorová pole. Jeden z nejznámějších je pomocí silokřivek. Michael Faraday je také nazýval „čárami síly“. Takové čáry se kreslí tak, že se začne v nějakém místě prostoru, nakreslí se velmi malý úsek ve směru lokálního vektorového pole. Po kratičké vzdálenosti nalezneme nový směr lokálního vektorového pole v nové poloze a vykreslíme maličký úsek v novém směru. Poté opět nalezneme nový směr v dalším bodě, nakreslíme tímto směrem další kousek linie a tak pokračujeme stále dál a dál. Takto konstruujeme křivku v prostoru, která je v každém bodě tečná k lokálnímu vektorovému poli. Pokud začneme kreslit v různých počátečních bodech, můžeme nakreslit celou sadu silokřivek, které nám dají dobrou představu o vlastnostech vektorového pole. Obr. 17 je příkladem znázornění týchž dvou nábojů, které jsme již znázorňovali na Obr. 16., pomocí silokřivek.

Obr. 17: Reprezentace typu „vektory“ dvou bodových nábojů a téhož případu i  pomocí „silokřivek“. Silokřivky jsou všude tečné ke směru lokálního vektorového pole.

3.  Zobrazení pomocí „šumové textury“

Poslední z typů zobrazení vektorových polí je typ zobrazení pomocí šumové textury, která je lokálně korelována se směrem vektorového pole. Obdobné zobrazení lze přirozeným způsobem realizovat i experimentálně. Rozházíme-li semínka trávy v silném elektrickém poli, začnou se orientovat delší osou rovnoběžně se směrem silokřivek pole. Poskytnou nám tím hustý soubor vzorků zobrazujících směry a tedy i tvar pole. Obr. 18 je reprezentace „travních semínek“ elektrického pole stejných dvou nábojů, jako na obr. 16 a 17. Lokální směry polí jsou v souhlase se směry šumové textury diagramu. Šumová textura nám poskytuje mnoho informací o prostorové struktuře pole.

Tuto techniku můžeme použít také na magnetické pole, ale v případě jejího použití na magnetické pole, kde šumová textura odpovídá obrazci rozsypaných železných pilin v silném magnetickém poli, kdy se piliny zorientují delší stranou podél silokřivek magnetického pole.

Obr. 18: Zobrazení elektrického pole znázorněného na obrázcích 16 a 17 pomocí šumové textury. V apletu propojeném s tímto obrázkem můžeme znázornit šumovou texturou pole generované různě velikými náboji v různých polohách.

4.  Co je mezi silokřivkami pole?

Častá otázka od nových studentů elektromagnetizmu je „Co je mezi silokřivkami pole?“ Na obrázcích 17 a 18 můžeme vyčíst jasnou odpověď. Mezi dvěma silokřivkami je množství jiných silokřivek, které jsme si jenom nezvolili k nakreslení. Samotné pole je spojité všude mezi náboji, což je jeho charakteristická vlastnost.

5.  Pohyb elektrických a magnetických silokřivek

V částech, které budou následovat, ukážeme prostorovou strukturu elektromagnetického pole s využitím všech metod diskutovaných výše. Navíc metody zobrazení pomocí šumové textury často ponecháme vyvíjet se a měnit v čase. Budeme tak činit zejména při sledování pohybu silokřivek nebo šumové textury ve směru toku energie elektromagnetického pole v daném bodě v prostoru. Energie teče ve směru vektoru E×B, který je kolmý na oba vektory E i B. Tato reprezentace je velmi odlišná oproti tekutinovému modelu diskutovanému výše, kdy směr toku energie byl stejný jako směr rychlosti samotného tekutinového pole.

Animace budeme využívat i pro časově proměnné elektromagnetické pole, protože tato pole umožňují jak tok energie, tak i její uchovávání. Jak spočítat tuto energii budeme řešit později. Nyní jen v krátkosti poznamenejme, že při animaci pohybu silokřivek pole nebo šumové textury, je směr pohybu struktury na diagramu stejný jako směr pohybu energie elektromagnetického pole.