FYZIKA I •
FYZIKA II •
FYZIKA •
TEORETICKÁ MECHANIKA (TF1) •
KVANTOVÁ TEORIE (TF2)
STATISTICKÁ FYZIKA (TF3) •
VZTAH MATEMATIKY A FYZIKY (TF4) •
OBECNÁ RELATIVITA (TF4)
ELEKTROMAGNETICKÉ POLE (TF4) •
FYZIKA PLAZMATU •
ASTROFYZIKA •
ASTRONOMICKÝ KURZ
ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS (MIT) •
MODULY •
STŘEDNÍ ŠKOLY
FYZIKA – ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY
Matematické vztahy | |
Některé vektorové identity | |
Pravidla pro FT | |
Maxwellovy rovnice pro pole | |
Maxwellovy rovnice pro potenciály | |
Základní vztahy z elmg. teorie | |
Vlna na rozhraní |
Matematické vztahy
f: R3(R4) → R | Skalární pole. Poloze (času a poloze) přiřadíme reálnou hodnotu (teplotu, hustotu, výchylku, tlak, energii, ...). Například: p = p(x, y, z), resp. p = p(t, x, y, z). |
K: R3(R4) → R3 | Vektorové pole. Poloze (času a poloze) přiřadíme vektor (rychlost., elektrické pole, magnetické pole, ...). Například: B = B(x, y, z), resp. B = B(t, x, y, z). |
γ, S, V | Křivka, plocha, objem. |
∂γ, ∂S, ∂V | Hranice křivky, plochy, objemu. |
dl = (dx, dy, dz) | Vektorový délkový element. |
dl = (dx2 + dy2 + dz2)1/2 | Skalární délkový element. |
dS = n dS | Vektorový plošný element. Vektor normály n míří u uzavřené plochy směrem ven. |
dS | Skalární plošný element. |
dV | Objemový element. |
∇ ≡ (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) | Operátor „Nabla“. Parciální derivace podle jednotlivých proměnných. Také gradient či ∂/∂x. |
grad f ≡ ∇f ≡ (∂f/∂x ; ∂f/∂y ; ∂f/∂z) | Gradient funkce. Vektor kolmý k plochám konstantních hodnot funkce f, míří k maximu funkce. Prohlédněte si příklad „Gradient“. |
rot K ≡ ∇×K
≡
(Kz , y−Ky,z ; Kx,z−Kz,x ; Ky,x−Kx, y) |
Rotace vektorové funkce. Rotace je nenulová jen v centrech vírů vektorové funkce. Lze pomocí ní snadno zapsat cirkulaci vektorové veličiny. Zápisy typu Kx, y znamenají zkratku pro ∂Kx/∂y. Rotace je opět uspořádanou trojicí čísel. Prohlédněte si příklad „Rotace“. |
div K ≡ ∇·K
≡
(Kx, x + Ky, y + Kz, z) |
Divergence vektorové funkce. Divergence je nenulová jen v zdrojích a propadlech vektorové funkce. Lze pomocí ní snadno zapsat tok vektorové veličiny plochou. Divergence je skalár, tj. jedno jediné číslo. Prohlédněte si příklad „Divergence“. |
∮γ K·dl | Cirkulace pole K. Křivkový integrál druhého druhu podél uzavřené křivky γ. |
∯S K·dS | Tok pole K. Plošný integrál druhého druhu přes uzavřenou plochu S. |
∮∂S K·dl = ∬S (rot K)·dS | Stokesova věta. Převod cirkulace pole po uzavřené křivce (křivkového integrálu) na plošný integrál. |
∯∂V K·dS = ∭V (div K) dV | Gauss-Green-Ostrogradského věta. Převod toku pole přes uzavřenou plochu na objemový integrál. |
Některé vektorové identity |
|
div rot K = 0 | lze dokázat: div P = 0 ⇔ ∃; K : P = rot K. |
rot grad f = 0 | lze dokázat: rot P = 0 ⇔ ∃ ϕ: P = − grad ϕ |
rot rot K = grad div K − ΔK | „matfyzácký pokřik“ |
div (A×B) = B rot A − A rot B | divergence vektorového součinu |
A×(B×C) = B(A·C) − C(A·B) | BÁC−CÁB pravidlo. |
Pravidla pro Fourierovu transformaciPředpokládáme konvenci F(t, x) = ∫G(ω,
k) exp[i(k·x − ωt)] dω
d3k. |
|
∂/∂t → − i ω | grad → + i k |
∂/∂x → + i kx | div → + i k· |
∂/∂y → + i ky | rot → + i k× |
∂/∂z → + i kz | Δ → − k2 |
Prohlédněte si příklady „Vlny
ve vakuu“, „Vlny v anisotropním
prostředí“, „Vlny ve vodiči“ a „Vlny
ve vlnovodu“.Maxwellovy rovnice pro pole |
|
rot E = − ∂B/∂t | Faradayův indukční zákon. Víry elektrického pole vznikají tam, kde se magnetické pole mění s časem. Trojice rovnic pro časový vývoj magnetického pole. |
rot H = j + ∂D/∂t | Ampérův zákon. Víry magnetického pole vznikají tam, kde teče elektrický proud, nebo tam, kde se mění elektrické pole s časem. Trojice rovnic pro časový vývoj elektrického pole. Druhý člen na pravé straně se někdy nazývá „Maxwellův posuvný proud“. |
div B = 0 | Gaussova věta magnetostatiky. Magnetické pole nemá žádné zdroje. Neexistuje magnetický monopól. Okrajová podmínka k Faradayovu indukčnímu zákonu. |
div D = ρ | Gaussova věta elektrostatiky. Zdrojem elektrických polí jsou elektrické náboje. Okrajová podmínka k Ampérovu zákonu |
|
|
D ≡ ε0E + P = D(E) | Materiálový vztah. Charakterizuje reakce materiálu na přítomnost elektrických polí. |
H ≡ B/μ0 − M = H(B) | Materiálový vztah. Charakterizuje reakce materiálu na přítomnost magnetických polí. |
ρ | Hustota náboje. |
j | Proudová hustota. |
Maxwellovy rovnice pro potenciály |
|
(Δ − εμ∂2/∂t2) ϕ = − ρ/ε | Rovnice pro skalární potenciál. |
(Δ − εμ∂2/∂t2 ) A = − μ j | Rovnice pro vektorový potenciál. |
div A + εμ∂ϕ/∂t = 0 | Lorentzova podmínka. |
B = rot A | Magnetická indukce. Vyjádření z potenciálů pole. Prohlédněte si příklad „Potenciály“. |
E = − ∇ϕ − ∂A/∂t | Intenzita elektrického pole. Vyjádření z potenciálů pole. |
Hustota náboje a proudová hustota jsou zdrojovými členy Maxwellových rovnic. Známe-li prostorové rozložení nábojů a jejich pohyby, můžeme z Maxwellových rovnic dopočíst vzniklá elektrická a magnetická pole. Tato pole samozřejmě způsobí změny hustoty náboje a proudové hustoty, které lze určit z Lorentzovy pohybové rovnice. Maxwellovy rovnice tak řeší problém odezvy polí na částice, Lorentzova pohybová rovnice odezvu částic na přítomnost polí. Sada posledních pěti rovnic je
ekvivalentní Maxwellovým rovnicím. Z rozložení a pohybu nábojů známe
hustotu náboje a proudovou hustotu. Z rovnic pro skalární a vektorový
potenciál nalezneme veličiny ϕ a A splňující Lorentzovu
podmínku. Z posledních dvou rovnic potom určíme hodnoty polí. Postup
tedy je: (ρ, j) ⇒ (ϕ, A) ⇒ (E, B). Základní vztahy z elektromagnetické teorie |
|
∂ρ/∂t + div j = 0 | Rovnice kontinuity. Zákon zachování elektromagnetického náboje. |
∂ρW/∂t + div jW = − j·E | Rovnice kontinuity pro energii. Zákon zachování energie elektromagnetického pole. Energie se nezachovává. Napravo stojí hustota Jouleova výkonu. Touto cestou ztrácí elektromagnetické pole energii ve prospěch částic. |
ρW = E·D/2 + H·B/2 | Hustota energie. [J/m3] |
jW = S ≡ E×H | Tok energie (Poyntingův vektor). [J s−1 m−2] |
I = |S| = |E×H| | Intenzita elektromagnetického vlnění. [J s−1 m−2] |
I = EH | Intenzita elektromagnetického vlnění v homogenním isotropním prostředí. Prohlédněte si příklad „Sluneční světlo“. |
c = (εμ)−1/2 | Rychlost šíření elektromagnetické vlny. |
c = E/B | Vztah mezi elektrickou a magnetickou složkou v elmg vlně. (homogenní, isotropní prostředí). |
(Δ − εμ∂2/∂t2 − γμ∂/∂t ) E = 0 | Telegrafní rovnice pro elektrické pole. |
(Δ − εμ∂2/∂t2 − γμ∂/∂t ) B = 0 | Telegrafní rovnice pro magnetické pole. Telegrafní rovnice popisují elektromagnetická pole ve vodičích. Člen s první časovou derivací způsobuje útlum elektromagnetického vlnění ve vodiči. Je-li vodivost nulová (γ = 0), dostáváme z telegrafní rovnice standardní vlnovou rovnici. Prohlédněte si příklad „Vlny ve vodiči“. |
Vlna na rozhraní |
|
Et = const | Tečná složka intenzity elektrického pole je na rozhraní konstantní. |
Ht ≡ Bt /μ0 − Mt = const | Tečná složka intenzity magnetického pole je na rozhraní konstantní. Rozhraním nesmí téct plošné proudy. Magnetizace M je hustota magnetického dipólového momentu. |
Bn = const | Normálová složka magnetické indukce je na rozhraní konstantní. |
Dn ≡ ε0En + Pn = const | Normálová složka elektrické indukce je na rozhraní konstantní. Na rozhraní nesmí být plošná hustota náboje. Polarizace P je hustota elektrického dipólového momentu. |
ωI = ωR = ωT | Úhlová frekvence dopadající, odražené a lámané vlny je stejná. |
α = α′ | Zákon odrazu. |
sin α/sin β = υα /υβ ≡ n | Zákon lomu. |
sin αm = n | Totální reflexe. Pro úhly dopadu větší než mezní úhel αm dochází k totální reflexi. Aby rovnice měla řešení, musí být n = υα/υβ < 1, tj jde o odraz na opticky řidším prostředí. |
tg αB = n | Brewsterův zákon. Je-li úhel dopadu roven Brewsterově úhlu αB, bude odražená vlna obsahovat jen TE mod, tj. bude lineárně polarizovaná. Malá účinnost získávání polarizovaného světla (u skla cca 20 %). |
n > 1 ⇒ φ′ = φ + π | Při odrazu na opticky hustším prostředí dochází k obrácení fáze elektromagnetické vlny. |
Termo | Kmity | Vlny | Elmg | Optika | Relativita | Kvanta |
Příklady | Příklady | Příklady | Příklady | Příklady | Příklady | Příklady |