Týdeník věnovaný aktualitám a novinkám z fyziky a astronomie. Vydavatel: AGA (Aldebaran Group for Astrophysics) Číslo 9 – vyšlo 25. února, ročník 20 (2022) © Copyright Aldebaran Group for Astrophysics Publikování nebo šíření obsahu je zakázáno. ISSN: 1214-1674, Email: bulletin@aldebaran.cz

9/2022

Kvantování prostoročasu – privilegovaný systém – návrat ztraceného syna

David Zoul

V minulých dílech jsme si ukázali, že řada problémů současné fyziky by se značně zjednodušila, pokud by existovala preferovaná globální soustava. Máme zde však přímý rozpor mezi fyzikální potřebou existence takovéto soustavy a principem relativity, který to současně zakazuje. První věc, jíž jsme si všimli, je, že vesmír skutečně volí jeden preferovaný stav klidu. Prvním ukazatelem je, že stále větší počet prací vede k tomu, že náš vesmír je konečný. V takovém vesmíru, zejména pokud není jednoduše souvislý, ale nemusí z Hubblova-Lemaîtrova zákonaHubblův-Lemaîtrův zákon – čím vzdálenější galaxie, tím vyšší rychlostí se od nás díky expanzi vesmíru vzdaluje. Tento vztah experimentálně objevil v roce 1927 belgický kněz Georges Lemaître (využíval měření amerického astronoma Vesto Sliphera). Edwin Hubble vztah nezávisle nalezl v roce 1929. Koeficient úměrnosti se nazývá Hubblova konstanta a označujeme ji H. Vztah samozřejmě platí jen pro velmi vzdálené galaxie, pro blízké galaxie je rychlost expanze malá a převládají vzájemné pohyby galaxií. (lokální úměrnost mezi vzdáleností a rychlostí vzdalováníi) plynout kosmologický principKosmologický princip – vesmír vypadá ve všech svých místech stejně, je homogenní a izotropní. Expanze vesmíru probíhá ze všech jeho bodů, v každém místě uvidíme vesmír expandující právě od nás. Kosmologický princip vede na expanzi, při níž je rychlost vzdalování objektů úměrná jejich vzdálenosti. (rovnocennost všech pozorovatelů ve vesmíru). Odsud už je jen malý krok k preferované souřadnicové soustavě ve vesmíru. Dalším způsobem, kterak vybrat preferovanou soustavu, je reliktní zářeníReliktní záření – záření, které se od látky oddělilo přibližně 400 000 let po vzniku vesmíru, v době, kdy se vytvářely atomární obaly prvků a končilo plazmatické období vesmíru. Počáteční horkou (plazmatickou) fázi existence vesmíru nazýváme Velký třesk a reliktní záření tedy pochází z období konce Velkého třesku. Dnes má teplotu 2,73 K a vlnovou délku v milimetrové oblasti. Je jedním ze základních zdrojů informací pro naše poznání raného vesmíru. V anglické literatuře se označuje zkratkou CMB (Cosmic Microwave Background, mikrovlnné záření pozadí)., o kterém jsme rovněž hovořili. Pozoruhodné je, že tyto dvě jmenované preferované soustavy spolu přesně splývají – galaxie se v průměru jeví v klidu vůči stejné soustavě, ve které na nás dopadá reliktní záření ze všech směrů se stejnou teplotou. Vůči této preferované soustavě se Sluneční soustava pohybuje rychlostí přibližně 400 km/s, což činí v porovnání s rychlostí světla jen asi jedno promile.

Numerická simulace formování struktur ve vesmíru. Zdroj: Gemini Observatory,
NOIRLab, NSF, AURA, G. L. Bryan, M. L. Norman.

Světočára – Množina událostí v prostoročasovém diagramu (tzv. světobodů), která zobrazuje historii určitého konkrétního objektu v prostoročase. Tento pojem zavedl matematik Hermann Minkowski v roce 1908. Nekomutativní geometrie – jeden z hraničních oborů mezi geometrií a algebrou. Geometrický prostor je zde popisován pomocí funkcí, které tvoří nekomutativní algebru. Základy této teorie položil francouzský matematik Alain Connes koncem 80. let dvacátého století. Nekomutativní geometrie má využití v částicové fyzice v kvantové teorii pole, kvantových teoriích gravitace i v různých pokusech o sjednocenou teorii pole (TOE – Theory Of Everything). Teorie kvantových grup – algebraická kvantová teorie, ve které kvantování chápeme abstraktněji než v klasické kvantové teorii. Ústřední roli zde hrají symetrie popisované teorií grup. Funkcím na poissonovské varietě se nepřiřazují přímo operátory, ale celé algebře funkcí se přiřadí nová (kvantovaná) algebra, která je obecně nekomutativní. K operátorům se přechází pomocí reprezentací této kvantované algebry. Reliktní záření – záření, které se od látky oddělilo přibližně 400 000 let po vzniku vesmíru, v době, kdy se vytvářely atomární obaly prvků a končilo plazmatické období vesmíru. Počáteční horkou (plazmatickou) fázi existence vesmíru nazýváme Velký třesk a reliktní záření tedy pochází z období konce Velkého třesku. Dnes má teplotu 2,73 K a vlnovou délku v milimetrové oblasti. Je jedním ze základních zdrojů informací pro naše poznání raného vesmíru. V anglické literatuře se označuje zkratkou CMB (Cosmic Microwave Background, mikrovlnné záření pozadí).

Na menších měřítkách je však princip relativity inerciálních systémů velmi dobře experimentálně otestován. Předpovědi Einsteinovy teorie relativity jsou potvrzeny množstvím experimentů, z nichž mnohé lze chápat jako testy existence preferované soustavy ve vesmíru. Máme zde tedy opět protichůdné výsledky pozorování – na kosmologických měřítkách existují doklady o preferované soustavě, na menších měřítkách ale důkazy hovoří ve prospěch principu relativity. A co je ještě zajímavější, v subkvantových mikroměřítkách, s jakými pracuje teorie strunTeorie strun – jeden z pokusů o sjednocení obecné relativity a kvantové teorie pole. Využívá větší počet dimenzí a představu částice jako jednorozměrného objektu (struny) v tomto světě. Často se kombinuje s principem supersymetrie mezi fermiony a bosony. První varianty teorie strun vznikaly na konci 60. let 20. století., smyčková kvantová gravitaceSmyčková gravitace – Loop Quantum Gravity, teorie snažící se rozpor mezi obecnou relativitou a kvantovou teorií vyřešit kvantováním prostoru na základní kvanta – tzv. smyčky. Síť těchto smyček se nazývá spinová pěna. Rozměry smyček by měly být rovny Planckově délce, tj. 10⁻³⁵ m. a mnohé další, nás fyzika opět vede k existenci preferovaného systému souřadnic, neboť všechny tyto teorie stojí a padají s invariancí velikosti Planckovy délky, která by se měla jevit stejná všem pozorovatelům, ať už se pohybují jakkoliv rychle. Stojíme tedy před velkým hlavolamem, jehož tajemství se podařilo poodhalit teprve nedávno.

Planckovská invariance

Ukázalo se, že obecná teorie relativityObecná relativita – teorie gravitace publikovaná Albertem Einsteinem v roce 1915. Její základní myšlenkou je tvrzení, že každé těleso svou přítomností zakřivuje prostor a čas ve svém okolí. Ostatní tělesa se v tomto pokřiveném světě pohybují po nejrovnějších možných drahách, tzv. geodetikách. může být přeformulována jako teorie s preferovanou synchronizací času napříč celým vesmírem. Tato preferovaná volba synchronizace je určena rozložením hmoty ve vesmíru. Konceptů obecné relativity s preferovanou soustavou bylo navrženo ve skutečnosti několik. Různé verze této teorie nesou názvy jako tvarová dynamika, OTR bez časoprostorové kovariance, gravitace s intrinsickým časem apod. Teorie zhruba říkají, že nemá smysl porovnávat objemy vzdálených objektů. Co zůstává invariantní, je pouze objem celého vesmíru. Pokud tedy na jednom místě vše zmenšíme, musí existovat další oblast, která to vyrovná zvětšením tak, aby se objem vesmíru neustále zachovával. V této teorii pak existuje jediná rychlost, kterou plyne čas napříč celým vesmírem.

V obecné relativitě je naproti tomu objem univerzální, zatímco čas relativní. Ve skutečnosti jsou tyto dvě teorie navzájem duální, neboť prostřednictvím důmyslného matematického triku lze relativitu času za relativitu objemu zaměnit. Fyzikální obsah těchto dvou popisů je stejný a jakákoliv fyzikální otázka bude mít v obou teoriích stejnou odpověď. Zatímco v obecné relativitě žádný preferovaný čas neexistuje, v duální teorii ano.

Tento globální koncept času má za důsledek, že pro každou událost v čase existuje preferovaný pozorovatel, jehož hodiny měří jeho plynutí. Neexistuje však způsob, kterak nalézt tohoto pozorovatele prostřednictvím lokálního měření – volba speciálního globálního času je určena tím, jak je rozložena hmota napříč celým vesmírem. Proto na měřítkách mnohem menších než vesmír, souhlasí experimenty s principem relativity, zatímco v kosmologických měřítkách je splněna potřeba globálního času.

Ted Jacobson, který se zabývá smyčkovou kvantovou gravitací a jako první nalezl přesná řešení Wheelerovy-DeWittovy rovnice, již dlouhá léta úspěšně rozvíjí teorii s privilegovanou soustavou. K obdobným vizionářům tohoto druhu, patří například Holger Nielsen, jakož i nositel Nobelovy ceny za fyziku Robert Laughlin a nositel prestižní Simonovy ceny Grigorij Volovik, kteří vycházejí z myšlenky, že princip relativity by mohl být emergentním jevem a platí tedy přesně jen v makroměřítkách, jak si vysvětlíme v následujícím odstavci.

Holger Bech Nielsen (*1941), Robert Betts Laughlin (*1950),
Grigorij Jefimovič Volovik (*1946)

Další zajímavý krok byl učiněn v rámci teorie známé jako „Doubly Special Relativity“ (DSR), spojené zejména s prací autorů Giovanniho Amelino-Camelii a Joao Magueija. Einsteinova speciální teorie relativity stojí na dvou postulátech: prvním z nich je relativita pohybu, druhým je invariance rychlosti světla (Lorenzova invariance). Až do nedávné doby nebylo známo, že lze sestrojit konzistentní teorii s pozměněným druhým postulátem. V této nové verzi teorie relativity je kladen požadavek na platnost nejen lorentzovské invariance (nezávislost rychlosti světla na pohybu pozorovatele), ale současně je vyžadována platnost tzv. planckovské invariance, tedy nezávislosti Planckovy délky na rychlosti pohybu pozorovatele – Planckova délka se jeví stejná ve všech vztažných soustavách.

Giovanni Amelino-Camelia (*1965), Joao Magueijo (*1967)

Motivace pro tuto konstrukci je jednoduchá – vyjdeme-li z představy, že Planckova buňka je nejmenším kvantem prostoru a Planckova energie naopak největším kvantem energie, pak se přirozeně vkrádá otázka, jak zachovat invarianci Planckovy délky a Planckovy energie vůči všem pozorovatelům, nezávisle na jejich relativní rychlosti. Právě tento zjevný problém si poprvé uvědomil v roce 1999 Giovanni Amelino-Camelia. Vytvořil teorii, podle které se na subkvantových rozměrech relativistický efekt kontrakce délek odchyluje od předpovědí speciální teorie relativity a na Planckově délce limitně zcela vymizí.

Vladimir Alexandrovič Fok (1898–1974), Andreas Albrecht (*1957),
John Moffat (*1932)

V roce 2000 Joao Magueijo, Andreas Albrecht, John Moffat a Lee Smolin rozpracovali modifikaci speciální teorie relativity založené právě na invarianci Planckovy délky. Jejich práce byla vystavěna na stařičké a téměř zapomenuté myšlenkové konstrukci Vladimira Foka. Problém spočíval v tom, kterak zachovat principy speciální relativity, ale pozměnit její pravidla tak, aby se všichni pozorovatelé shodli nejen na univerzální hodnotě rychlosti světla, ale také na univerzální hodnotě Planckovy délky. Konstantní rychlostí se v této konstrukci pohybují pouze fotony s energií malou ve srovnání s Planckovou energií.

Nezávisle na této práci použil Giovanni Amelino-Camelia aparát matematické teorie kvantových grupTeorie kvantových grup – algebraická kvantová teorie, ve které kvantování chápeme abstraktněji než v klasické kvantové teorii. Ústřední roli zde hrají symetrie popisované teorií grup. Funkcím na poissonovské varietě se nepřiřazují přímo operátory, ale celé algebře funkcí se přiřadí nová (kvantovaná) algebra, která je obecně nekomutativní. K operátorům se přechází pomocí reprezentací této kvantované algebry. rozvinuté britským matematickým fyzikem Shahn Majidem. Majidovým cílem bylo najít jednotné matematické vyjádření základních pojmů teorie relativity a kvantové teorie. Dospěl k revolučnímu zobecnění klasických symetrií ve formě kvantových grup a následné modifikaci Einsteinovy teorie relativity v kontextu tzv. nekomutativní geometrieNekomutativní geometrie – jeden z hraničních oborů mezi geometrií a algebrou. Geometrický prostor je zde popisován pomocí funkcí, které tvoří nekomutativní algebru. Základy této teorie položil francouzský matematik Alain Connes koncem 80. let dvacátého století. Nekomutativní geometrie má využití v částicové fyzice v kvantové teorii pole, kvantových teoriích gravitace i v různých pokusech o sjednocenou teorii pole (TOE – Theory Of Everything). – objevu matematického fyzika Alaina Connese. Jedním z velkých úspěchů nekomutativní geometrie je, že vede přímo ke standardnímu modelu. Přepíše-li se Maxwellova elektrodynamika do nejjednodušší možné nekomutativní geometrie, dostaneme elektroslabé sjednoceníElektroslabá interakce – interakce sjednocující elektřinu a magnetizmus se slabou interakcí. Obě interakce se při velkých energiích chovají jako jediná interakce, při malých energiích se rozštěpí na dvě interakce. Teorii elektroslabého sjednocení zformulovali v 60. letech 20. století Steven Weinberg, Abdus Salam a Sheldon Glashow. Weiberga, Salama a Glashowa. Jinými slovy, automaticky se vynoří Higgsovo pole i elektroslabá interakce.

Shahn Majid (*1960), Alain Connes (*1947)

Tento matematický aparát se ukázal nezbytným k úspěšnému vyjádření DSRDSR – Doubly Special Relativity, dvojitá speciální relativita, modifikace Einsteinovy speciální relativity, která požaduje nejenom konstantnost rychlosti světla, ale i nezávislost Planckovy délky na pohybu pozorovatele. Teorii navrhli v roce 2001 Giovanni Amelino-Camelia a João Magueijo.. V teoriích DSR cestují fotony s vyšší energií nepatrně rychleji než nízkoenergetické fotony. Pokud se však jejich energie blíží Planckově energii, roste jejich rychlost nade všechny meze. Protože ve velmi raném vesmíru panovaly obrovské teploty a energie, byla podle DSR rychlost světla mnohem větší. Pokud by se potvrdila platnost DSR, mohly by se stát inflační kosmologické modely (o nichž jsme hovořili v pátém dílu) zbytečnými, neboť všechny oblasti vesmíru kdysi mohly být v kauzálním kontaktu, a tudíž dokázaly snadno synchronizovat svoji teplotu.

Jerzy Kowalski-Glikman (*1970), Laurent Freidel (*1968)

Roku 2001 se výše jmenované skupině teoretiků za významného přispění polského fyzika Jerzy Kowalskiho-Glikmana a francouzských teoretiků Laurenta Freidela a Etera Livina podařilo prokázat logickou bezespornost celé teorie na modelu třírozměrného prostoročasu. Na planckovských rozměrech podle této nové teorie existuje absolutní vztažná soustava, umožňující absolutně rozlišit pohyb a klid částic.

Emergentní povaha času

Jakkoli observační údaje dosud nepotvrdily poněkud extravagantní předpověď DSRDSR – Doubly Special Relativity, dvojitá speciální relativita, modifikace Einsteinovy speciální relativity, která požaduje nejenom konstantnost rychlosti světla, ale i nezávislost Planckovy délky na pohybu pozorovatele. Teorii navrhli v roce 2001 Giovanni Amelino-Camelia a João Magueijo. stran rozdílné rychlosti fotonů různých vlnových délek, vede diskretizace prostoru ve skutečnosti k přirozenému zachování planckovské invariance i bez potřeby DSR. Jak se blížíme k planckovským rozměrům, stává se pohyb stále méně spojitým, což zcela přirozeně generuje narušení lorentzovské invarinace v těchto měřítkách.

Subkvantová mechanika vede k takovému druhu pohybu, při kterém se jeden parton rozpadá, aby byla jeho identická kopie vzápětí kreována o diskrétní krok (Planckovu buňku) dále. Kauzální souvislost mezi oběma stavy – minulým a následným – je zde odlišná od makroskopické kauzální souvislosti vyžadující zachování lorentzovské invariance.

Lze to demonstrovat na příkladu pohybu světelného odrazu, nebo třeba konce rotující tyče, kde rovněž neexistuje přímá příčinná souvislost mezi předchozím a následným stavem. Tyto objekty proto nejsou ve svém pohybu vázány lorentzovskou invariancí a jejich tvar se při pohybu lorentzovky nedeformuje. Nemění se dokonce ani při dosažení rychlosti světla a mohou bez problému rychlost světla překonat.

Pro důkaz si můžeme představit rotující laserové ukazovátko, které obklopíme kruhovou stěnou o poloměru 1 km a poté roztočíme rychlostí 300 000 otáček za sekundu. Od rozsvícení laseru bude trvat zlomek sekundy, než světlo dorazí ke stěně a zanechá na ní světelný bod (odraz). Od této chvíle během jediné sekundy oběhne světelný bod stěnu 300 000krát. Urazí přitom vzdálenost 300 000×2π kilometrů. To však znamená, že se odraz pohybuje 2π-násobkem rychlosti světla a zcela očividně tedy porušuje lorentzovskou invarianci. Zcela přirozeně si také zachovává svoji vlastní invarianci tvarovou a rozměrovou. V opačném případě by se totiž již po dosažení rychlosti světla smrštil na nulu a přestal by být viditelným. Při své nadsvětelné pouti by nabyl dokonce imaginárního obsahu své plochy (záporné číslo pod odmocninou v Lorentzově transformaci délky). Nic takového se však zjevně nestane. Experiment je realizovatelný již soudobými prostředky – v laboratoři dokážeme roztočit sice malé, leč makroskopické objekty rychlostí až 10 000 000 otáček za sekundu.

Když budeme snižovat rozlišení, pod kterým prostor pozorujeme, respektive budeme sledovat objekty složené ze stále většího počtu částic, nastane dekoherence a původně diskrétní posuny elementů prostorové mříže budou stále hůře rozeznatelné. Pohyb pozorovaného objektu jako celku se začne stávat stále spojitějším, ačkoli jeho jednotlivé elementy budou vykonávat jen diskrétní kroky. Díky dekoherenci těchto kroků však již jejich diskrétní charakter nebude relevantním pro pohyb objektu jako celku. Původně diskrétní pohyb subkvantových elementů tak díky jevu emergence vede ke spojitému charakteru pohybu objektu, zachovávajícímu lorentzovskou invarianci.

K tomuto posunu od narušení lorentzovské invariance k jejímu přesnému zachování nedochází skokově, což je pro jevy dekoherence a emergence dosti typické. Naopak, existuje pozvolný přechod od diskrétně hopsajících subkvantových objektů ke spojitě plynoucím makroobjektům, který nazýváme kvantovým světem.

V celé teorii relativity je vždy deformace času jistým způsobem duální k deformaci prostoru. Pro vysvětlení našich pozorování můžeme vždy použít jedno, či druhé. Co Bob vysvětlí zpomalením chodu hodin v soustavě Alice, to je pro Alici jen důsledkem deformací prostorových délek v soustavě Boba, a naopak. Srozumitelně lze tento princip demonstrovat na příkladu pohybu mionůMion – těžký elektron, hmotnost má 207 m_e. Střední doba života je přibližně 2×10⁻⁶ s. Těžký elektron se rozpadá na stabilní elektron, elektronové antineutrino a mionové neutrino. Mion se vyskytuje v sekundárních sprškách z kosmického záření. Mion byl objeven C. Andersonem v kosmickém záření za pomoci mlžné komory v roce 1936. v tzv. sekundárním kosmickém záření: to vzniká v horních vrstvách atmosféry interakcí tzv. primárního kosmického zářeníKosmické záření – proud částic nejrůznějšího původu přilétající z vesmíru. Při interakci s atmosférou vzniká sprška milionů i miliard částic. Nejenergetičtější částice kosmického záření, které se dosud podařilo detekovat, mají energie až 10²⁰ eV. Sprška z takové částice zasáhne na zemském povrchu mnoho desítek km². Tak energetická částice se objeví přibližně jednou za sto let. Kosmické záření je majoritním zdrojem antihmoty na naší planetě. Může vznikat v supernovách, pulzarech, aktivních galaktických jádrech, atd. Naprostá většina částic kosmického záření, okolo 88 %, jsou protony, přibližně 10 % jsou jádra hélia (alfa záření), 1 % elektrony a pozitrony a 1 % těžké prvky. Kosmické záření má naprosto nejširší spektrum energií ze všech dodnes známých jevů. Mnohé částice, které se dnes vědci pokoušejí nalézt v moderních urychlovačích, se mohou nacházet právě v kosmickém záření. Kosmické záření bylo objeveno v roce 1912 rakouským fyzikem Victorem Hessem při balónových experimentech ve výšce až 5 300 metrů. S rostoucí výškou stoupala ionizace atmosféry, a tím byl prokázán kosmický původ záření. Za objev získal Hess v roce 1936 Nobelovu cenu za fyziku. přicházejícího z hlubin vesmíru, s atomy vzduchu. Mion, který vznikne takovouto interakcí ve výšce zhruba 9 km nad zemským povrchem, se rozpadá natolik rychle, že by podle klasické fyziky měl urazit pouhých 450 m, což by mu znemožnilo dosáhnout povrchu. Experimenty však dokládají, že miony dopadají na zemský povrch ve velmi hojném počtu – dokonce se jedná na hladině moře o majoritní složku sekundárního kosmického záření. Tento zdánlivý rozpor vysvětlují právě Lorentzovy transformace: Pozorovatel na Zemi snadno spočítá, že díky vysoké rychlosti mionu ubíhá čas v soustavě mionu zhruba 20krát pomaleji, takže mion z hlediska soustavy spojené se Zemí žije 20krát déle než z hlediska své vlastní soustavy. To mu umožňuje urazit 20krát větší vzdálenost a dosáhnout zemského povrchu.

Nyní si na chvíli představme hypotetického kvantového pozorovatele cestujícího uvnitř mionu. Jeho hodiny od chvíle zrození mionu neúprosně odtikávají čas jeho života, který činí pouhé 2,2 μs. I když se řítí k Zemi rychlostí blízkou rychlosti světla, snadno si spočítá, že za tak krátkou dobu urazí nanejvýš 450 m. Protože se však výsledek téhož experimentu nazíraný z různých soustav nemůže lišit, bude mu oněch 450 m muset stačit k tomu, aby dosáhl zemského povrchu. To však neznamená nic jiného, než že se z hlediska soustavy spojené s mionem jeví prostorová vzdálenost mion – Země 20krát kratší, než je tomu z hlediska soustavy spojené se Zemí. Zatímco jeden pozorovatel použil k vysvětlení svého pozorování dilataci času, druhý pozorovatel vysvětlil své pozorování téhož jevu kontrakcí délek. Obě dvě vysvětlení jsou přitom duální v tom smyslu, že vedou ke shodné předpovědi – srážce mionu se Zemí.

Uvažujme jiný příklad: kladné a záporné náboje téže velikosti s lineární hustotou \(\tau\) rovnoměrně rozložené na přímce (typicky uvnitř či na povrchu rovného vodiče). Jsou-li oba druhy náboje v klidu, bude tato přímka elektricky neutrální. Představme si nyní, že náboje jednoho znaménka, například záporné, se začnou pohybovat rychlostí \(u\). Podle zákona o kontrakci délek vzroste lineární hustota záporných nábojů na \(- \gamma \tau\) a přímka se stane nabitou s lineární hustotou \(\gamma (1 - \tau )\), kde \(\gamma = 1{\rm{/}}\sqrt {1 - {\beta ^2}}\), \(\beta = u{\rm{/}}c\). Máme-li nyní dvě takové, pro jedno­duchost identické rovnoběžné přímky (typicky dva rovnoběžné vodiče) ve vzájemné vzdálenosti \(r\), budou na sebe působit elektrickou silou

\[{f_{\rm{e}}} = \frac{{{\tau ^2}{{(1 - \gamma )}^2}}}{{2\pi {\varepsilon _0}r}}.\]

(1)

Abychom určili celkovou sílu působící na jednotku délky druhé přímky, musíme určit zvlášť sílu působící na kladné a záporné náboje. Na kladné náboje působí zřejmě síla

\[f = \frac{{{\tau ^2}{{(1 - \gamma )}}}}{{2\pi {\varepsilon _0}r}}.\]

(2)

Přejdeme-li do klidové soustavy záporných nábojů druhé přímky, zjistíme, že na ně působí ze strany první přímky táž síla. Výsledná celková síla na jednotku délky druhé přímky bude

\[f = 2 \frac{{{\tau ^2}{{(1 - \gamma )}}}}{{2\pi {\varepsilon _0}r}}.\]

(3)

Srovnáním (1) a (3) zjistíme, že celková přitažlivá síla (3) je mnohem větší než nepatrná odpudivá síla elektrická (1). Pouhou Lorentzovou transformací tak vznikla mezi vodiči měřitelná přitažlivá síla

\[f = \frac{{{\tau ^2}}}{{\pi {\varepsilon _0}r}}\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {1 - {\beta ^2}} }}} \right) \approx - \frac{{{\mu _0}}}{{2\pi }}\frac{{{u^2}{\tau ^2}}}{r} = - \frac{{{\mu _0}}}{{2\pi }}\frac{{{I^2}}}{r}\,,\]

(4)

která při malých vzájemných rychlostech (ve srovnání s rychlostí světla) kladných a záporných nábojů odpovídá magnetické síle, jak ji popisuje Ampérův zákon.

Povšimněme si, že ačkoliv vznik magnetické síly bylo pro nás výhodné popsat prostřednictvím kontrakce délek v soustavě nabitých částic pohybujících se uvnitř vodiče, předchozí příklad s mionem nás utvrzuje v přesvědčení, že musí existovat komplementární popis celé situace z pohledu laboratorní soustavy, kde řídící úlohu bude hrát dilatace času. Ačkoli takový popis není zdaleka tak názorný, fyzikálně je duální našemu vysvětlení vzniku magnetické síly, jejž jsme podali výše.

Můžeme tedy říci, že zatímco v makroměřítkách se efektivně jeví relativní jak čas, tak i prostor (záleží na úhlu pohledu jednotlivých pozorovatelů, jak jsme právě demonstrovali v příkladu s mionem), v planckovských měřítkách se již prostor i čas stávají absolutními, neboť pevná prostorová mříž s invariantním objemem buněk vytváří podkladovou vrstvu pro mikrosvět, a změny v uspořádání partonů uvnitř této mříže (křížků uvnitř buněk 3D piškvorkového světa) definují lokální rychlost plynutí času. Jak si ale ihned ukážeme, s časem je to ještě krapet složitější. Definujme geometrodynamický čas (měřený v metrech) vztahem

\(t' = ct,\)

(5)

kde \(t\) je běžný čas měřený v sekundách. Potom element prostoročasového intervalu je v Minkowského geometrii vyjádřen rovností

\({s^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} - {t'^{\,2}},\)

(6)

na níž na první pohled zaujme skutečnost, že v ní časový parametr vystupuje se zápornou druhou mocninou. To je ono podivné chování, které deformuje platnost Pythagorovy věty v Minkowského prostoročase. Čtverec nad přeponou zde není roven součtu čtverců nad prostorovou a časovou odvěsnou, ale paradoxně jejich rozdílu. S časem tedy obecná teorie relativity nezachází stejným způsobem jako s prostorem.

James Burkett Hartle (*1939)

V roce 1983 si však Steven Hawking a Jim Hartle povšimli, že tento problém lze elegantně vyřešit použitím triviální matematické transformace, a sice vynásobením geometrodynamického času imaginární jednotkou:

\(\tau = {\mathop{\rm i}\nolimits} \,\,t'.\)

(7)

Tato jednoduchá transformace má dosti dramatický účinek, neboť kvadrát imaginární jednotky je roven minus jedné, což časový parametr v Einsteinových rovnicích staví na roveň prostorových parametrů:

\({s^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + {\tau ^2}.\)

(8)

V Hawkingově čtyřrozměrném prostoročase s imaginární časovou osou se vesmír a všechny jeho části jeví jako zcela statické, nepodléhající žádným časoprostorovým změnám. Čas je prostě jen další souřadnicí statického čtyřrozměrného prostoru. Všechny okamžiky minulé, přítomné a budoucí zde tvoří jen různé statické body prostoročasu existující nezávisle na své historii. Svoboda našich rozhodnutí, spolu s představou, že jimi můžeme ovlivňovat události budoucí, se v tomto scénáři jeví jako pouhá iluze – všechna naše rozhodnutí a jejich důsledky jsou již předem určeny pevně danou strukturou prostoročasového kontinua. Teprve zanedbání imaginární jednotky u časové souřadnice (přechod k běžnému pojetí času) vytváří iluzi jakéhosi driftu po časové ose, v důsledku kterého dospíváme postupně do jednotlivých světobodů jinak statického prostoročasového kontinua, což způsobuje zdání prostorového pohybu a jeho změn.

Již dlouhou dobu je známo, že v silném elektrickém poli můžeme vytvořit dvojici pozitivně a negativně nabitých částic. Jeden způsob kterak tuto skutečnost vysvětlit, je všimnout si, že v plochém eukleidovském prostoročase s imaginární časovou osou se částice náboje q, jako například elektron, pohybuje v homogenním elektrickém poli E po kružnici. Tento pohyb můžeme analogicky prodloužit z imaginárního času \(\tau\) do reálného času t'. Dostaneme pár pozitivně a negativně nabitých částic zrychleně se od sebe vzdalujících pod vlivem elektrického pole (viz obr. 1).

Obr. 1: Pohyb nabité částice v elektrickém poli v imaginárním (nahoře)
a v reálném (dole) čase

Proces tvorby elektron-pozitronového páru je pak popsán rozstřihnutím obou diagramů na poloviny podél os \(t' = 0\), resp. \(\tau = 0\) a složením vrchní poloviny Minkowského diagramu s reálným časem a spodní poloviny eukleidovského řešení s imaginárním časem (viz obr. 2). 

Obr. 2: Proces tvorby elektron-pozitronového páru v imaginárním čase

Tím obdržíme obrázek, v němž jsou pozitivně a negativně nabité částice vskutku jen jednou jedinou částicí. Ta tuneluje skrze eukleidovský prostor z jedné Minkowského světočáry do druhé. Tvorba párů v silném elektrickém poli byla pozorována experimentálně a její frekvence souhlasí s předpovědí Hawkingovy-Hartleovy teorie.

Zavedení imaginárního času do kvantové kosmologie vedlo ke skutečné revoluci v našem chápání procesu kvantového generování vesmíru v prvopočátcích existence reálného času. Podařilo se dokonce sestavit vlnovou funkci celého vesmíru a Schrödingerovu rovnici popisující její tvar v závislosti na imaginárním čase, podobně, jako v kvantové mechanice popisujeme reálně-časový vývoj vlnové funkce kvantových systémů.

Celá tato teorie přirozeně evokuje otázky po povaze vztahu mezi reálným časem každodenního života a imaginárním časem, jenž hraje zřejmě rozhodující úlohu za poněkud extrémních podmínek, jaké panují na submikroskopických rozměrech a za ohromných hustot energie ~ hmoty. 

Obr. 3: Kreace Vesmíru nahlížená v imaginárním čase

Obdobnou situaci si lze představit, i co se týče počátečního stavu vesmíru. Náš obvyklý pojem času je v tomto kvantově-kosmologickém prostředí překročen a stává se pouze dalším prostorovým rozměrem.

Ve skutečnosti fyzici tohoto triku změny času na prostor už dříve často účelově používali k vyřešení jistých problémů v běžné kvantové mechanice, ačkoliv si přitom nepředstavovali, že čas se doopravdy stává prostorem. Na konci výpočtu se jednoduše přesunuli zpět do rámce obvyklého výkladu, v němž existuje jeden rozměr času a tři (kvalitativně odlišné) prostorové rozměry.

Radikální charakter Hawkingova-Hartleova kvantového přístupu k času spočívá v tom, že se s časem zachází tak, jako by se ve vrcholném kvantově gravitačním prostředí skutečně podobal prostoru. Začínáme-li se vzdalovat od počátku vesmíru, očekáváme, že kvantové efekty se začnou vzájemně ovlivňovat a rušit, jak se hřebeny vln setkávají s vlnovými údolími a že vesmír bude se stále narůstající pravděpodobností sledovat klasickou dráhu.

Postupujeme-li zpátky směrem k počátku vesmíru, význačná povaha času jako kvalitativně odlišného od prostoru se stále více rozplývá a čas se postupně stává nerozlišitelným od prostoru. Tato bezčasovost původního kvantového stavu byla Hartlem a Hawkingem navržena pro její úspornost a také proto, že obchází singularitu v počátečním stavu vesmíru.

Důsledkem této teorie je absence určitého okamžiku či bodu stvoření – počáteční singularity, kde jsou hodnoty fyzikálních polí nekonečné. Když zpětně pohlížíme směrem k tomuto okamžiku, jejž jsme nazývali nulou času, slábne samotná představa času a nakonec čas v obvyklém slova smyslu úplně přestává existovat. Elementární částice jsou lokálně fluktuujícím časem bez jasně definované šipky svého plynutí nemilosrdně smýkány chaoticky sem a tam do všech směrů, až ztratí jakoukoli představu o časové následnosti a prostorových proporcích – prostor a čas se pro ně stávají poněkud mlhavou krajinou.

Opět to můžeme vysvětlit elementární úrovní popisu světa na Planckově škále, kde nelze zavést termodynamickou šipku času, jak jsme si to ukázali ve čtvrté kapitole. Parton oscilující chaoticky mezi buňkami piškvorkového světa můžeme chápat jako částici přeskakující mezi spojenými nádobami. Ve čtvrté kapitole jsme si ukázali, že všechny konfigurace takového systému jsou stejně pravděpodobné a nelze pro něj tedy zavést termodynamickou šipku času, která by byla dána růstem entropie směrem od uspořádanějších a tedy méně pravděpodobných stavů k těm s větší pravděpodobností a entropií. Situaci lze přirovnat ke kyvadlovým hodinám, kterým kdosi utrhl ručičky. Kdykoliv na hodiny pohlédneme, můžeme odečíst polohu kyvadla. Pokud ale chybí mechanizmus, který by zaznamenával a zobrazoval na ciferníku počet kyvů kyvadla, nezobrazují hodiny v každém okamžiku nic jiného, než pouhou polohu kyvadla. Identická poloha kyvadla přitom může nastat v jediném okamžiku, stejně jako po libovolném počtu kyvů. Pokud chybí systém, který by počítal a zaznamenával počet kyvů kyvadla, obvyklý pojem času se vytrácí, přestože je pohyb kyvadla prokazatelný. Na úrovni planckovského světa vskutku žádný takto složitý systém, který by se podobal hodinovému strojku, ještě neexistuje. K existenci času potřebujeme dosáhnout jisté úrovně složitosti a komplexnosti, která ve světě elementárních atomů látky ještě není k dispozici. Čas se tak vynořuje coby emergentní a nikoliv fundamentální vlastnost přírody.

Nejvyšší rychlost, kterou se dokáže parton přeskupit mezi dvěma buňkami, může v takovémto světě ve skutečnosti značně překračovat rychlost světla. Ve třetí kapitole jsme si vysvětlili, že lokálně nadsvětelné rychlosti částic jsou dokonce podstatou Hawkingovy radiace horizonzu událostí. Pouze zprůměrovaná, tedy v podstatě emergentní rychlost změn v přeskupování uspořádání partonů v mříži, nakonec definuje Planckův čas coby jistý „makroskopický“ limit. Nejedná se tedy zřejmě o nejkratší možný okamžik v mikrosvětě, ale opět o emergentní vlastnost. Můžeme tedy celou záležitost předefinovat tak, že nejkratší průměrný čas potřebný k přeskupení částic uvnitř prostorové mřížky piškvorkového světa je roven Planckovu času. Částice, která se trvale přeskupuje uvnitř mřížky tak, že všechny její elementy mění polohu o jednu Planckovu délku právě v Planckově čase, pak definuje makroskopický limit rychlosti – rychlost světla.

Hawkingova-Hartleova hypotéza dovoluje předefinovat pohyb částic pomalejších než světlo v Planckově škále jako jakousi cestu vrávorajícího opilce, který, ačkoli ušel již 1 000 kroků, stále se nalézá jen pár desítek metrů od hospody, ze které svoji noční pouť započal. Pokud takovéto částici začneme dodávat energii, dráha jejího chaotického pohybu se usměrní a její efektivní (emergentní) rychlost se zvýší. Jako když si pro vrávorajícího opilce přijde jeho manželka, aby jej odvlekla domů.

Hloubavý čtenář nyní jistě namítne, že pohyb je přeci relativní. Co se pozorovateli jedoucímu v rychlíku zdá jako klid (vagón, sedadla, spolucestující), to je pro pozorovatele stojícího venku na peróně v pohybu, a naopak. Jak tedy v takovém světě vůbec může docházet k relativistickému zpomalení chodu hodin? Odpověď zní, že u inerciálních pohybů to vlastně doopravdy možné není. Rozhodující roli zde hrají setrvačné síly a ještě i cosi navíc, o čem si nyní budeme chvíli vyprávět. Držte si klobouky, pojedeme z kopce.

Strašidelné působení na dálku – podruhé

Představme si modelovou situaci, kdy Bob zůstává na Zemi, zatímco jeho dvojče Alice se vydá na cestu vesmírem, kde se pohybuje rychlostí blízkou rychlosti světla a posléze se vrátí zpátky na Zemi.

Pro jednoduchost budeme předpokládat, že Země je inerciální soustava a Alice se vydává na cestu korábem, který může za velmi krátký časový interval dosáhnout rychlost blízkou rychlosti světla, nebo ji změnit na opačnou. Podle teorie relativity se od okamžiku startu, kdy si oba blíženci nařídili hodinky na stejný čas, vyvíjejí jejich časy různě. Bob pozoruje, že se zpomalují Aliciny hodinky, Alice naopak pozoruje, že se zpomalují hodinky Boba. Mnohý čtenář, nyní jistě namítne, že toto je holý nesmysl. Vždyť je přeci jasné, že při srovnávání času dvou hodin, mohou být vždy pouze jedny zpožděny oproti druhým a nemůže tomu být současně naopak. To už přeci není jen proti zákonům klasické fyziky, ale proti rozumu jako takovému.

Jak ale ihned uvidíme, skutečnost je dokonce ještě záhadnější. Podle teorie relativity zjistí sourozenci již za letu Aliciny rakety, že i po korekci na konečnou rychlost signálů, které je spojují, se skutečně Aliciny hodinky zpomalují oproti Bobovým a naopak. Poměr chodu času bude přitom stejný jak při Alicině cestě tam, tak i při cestě zpátky, neboť se změní jen směr vzájemné rychlosti. Ponechme zatím stranou manévry, při nichž Alice otočí raketu a pádí zpět, jakož i opětovné přistání na kosmodromu, a ptejme se, jak to dopadne, až si sourozenci padnou na kosmodromu do náruče a začnou si srovnávat hodinky. Jestliže se Alicin koráb pohyboval rychlostí 0,96 c a byl na cestách podle palubního deníku 14 let, tedy 7 let na cestě tam a 7 let na cestě zpátky, pak Alice zjistí, že bratr podezřele zešedivěl a na jeho hodinkách uplynulo od okamžiku startu již 50 let.

Teď už před sebou máme skutečný paradox. Alice navíc ví, že za dobu její cesty tam, uplynulo na Bobových hodinkách pouze 1,96 roku a stejně tak při cestě zpět. To si lehce ověříme z Lorentzova faktoru pro dilataci času. Bob by měl tedy zestárnout pouze o 3,92 roku. Bob se kupodivu nediví, když mu sestra řekne, že byla dle palubního deníku na cestách 14 let, neboť to odpovídá právě jeho 50 letům zkráceným Lorentzovým faktorem. Alici však schází 46 let a nějaká ta drobnost navrch při počítání Bobova času. Jak tedy vysvětlit rozdíl mezi pohledem Alice na Bobův čas a naopak? Kam se nám poděla ona stále proklamovaná symetrie soustav?

Bob po celou dobu seděl u kosmodromu, který zde reprezentuje jeden inerciální systém, kdežto Alice na své cestě v době obratu přesedala z jednoho inerciálního systému na jiný, pohybující se vůči Zemi sice stejnou rychlostí jako původní, ale v opačném směru. Je to tedy tak, že na Zemi uběhlo oněch 46 let, které nám scházejí do časové bilance, zatímco Alice prováděla svoji takřka okamžitou otáčku? Ačkoliv to zní neuvěřitelně, je taková odpověď v podstatě správná. Jen její formulace je trochu nevhodná. V teorii relativity neexistuje žádné jednoduché „zatímco“. V soustavě Země je s Alicinou otáčkou současná chvíle, kdy Bobovy hodinky odměřují 25 let od startu. Co tedy znamenají ony časy 1,96 roku po Alicině startu a 1,96 roku před jejím přistáním v Bobově, tj. pozemské soustavě? V teorii relativity nelze hovořit o čase a místě odděleně, ale vždy jen současně. Takže časový okamžik 1,96 roku po Alicině startu v místě Země je současný s Alicinou otáčkou v systému hvězdného korábu letícího od Země. Časový okamžik 1,96 roku před Aliciným přistáním na Zemi je současný s Alicinou otáčkou v systému korábu letícího zpět k Zemi. V průběhu 46 let se na Zemi vystřídají časové okamžiky, které budou postupně současné s okamžikem Aliciny otáčky ve všech inerciálních systémech, jimiž musel její koráb projít, aby změnil svoji rychlost na opačnou stejné velikosti. Zní to sice fantasticky, ale ona časová mezera 46 let opravdu odpovídá okamžiku Aliciny otáčky.

Na obr. 4 je zakreslena Alicina raketa v Minkowského rovině. Vidíme, že raketa startuje ze Země z klidové pozice a postupně zrychluje až do cestovní rychlosti 0,96 c, kterou se pak blíží například ke vzdálené planetě. Nechť pak Alice provede brzdný manévr, načež přistane na oné planetě. Nechme Alici na planetě pobýt 3 roky, po jejichž uplynutí se bude symetrickým způsobem vracet zpět na Zem. Opět tedy nejprve projde stádiem zrychlení do cestovní rychlosti 0,96 c a nakonec zpomalí a přistane na Zemi.

Obr. 4: Linie současnosti v paradoxu dvojčat

Na obrázku jsou vyznačeny neinerciální úseky startů a přistání. Protože je jejich vliv malý, bude Alici cesta tam i zpět trvat opět přibližně 7 let. Vějíř červených linií, který zobrazuje současnost v Alicině raketě, je nyní rozložen po úsecích, v nichž raketa zrychluje, nebo zpomaluje, tedy při startech a přistáních. Na obrázku je možno v daném měřítku zakreslit jen kousíček takovéto linie současnosti v místech startu a přistání na Zemi. V době, kdy Alice pobývá na cizí planetě, běží její čas stejně jako na Zemi za předpokladu, že je možno planetu považovat přibližně za klidovou vůči Zemi, jak tomu odpovídá kresba.

Z hlediska neinerciálního systému se výše popsané jevy často diskutují v učebnicích obecné relativity, protože potřebný matematický aparát je s aparátem obecné teorie relativity téměř shodný. Jde však o pouhý přepis vztahů speciální relativity do neinerciálních systémů, tedy o teorii plochého prostoročasu v obecných souřadnicích. Obecnou teorií relativity se zpravidla rozumí až teorie zakřiveného prostoročasu, tedy teorie skutečného gravitačního pole buzeného rozložením hmot, to je však do značné míry věc terminologická.

Síly, které nám občas působí nepříjemnosti v prudce brzdícím vozidle, jsou síly zdánlivé. Kdo někdy upadl v prudce brzdícím autobusu, nebude nadšen vysvětlením, že za to může zdánlivá síla. K pádu však došlo proto, že zatímco autobus brzdil, nepřipoutaný pasažér se snažil pokračovat setrvačností v rovnoměrném přímočarém pohybu a z hlediska vnějších pozorovatelů na něj síla začala působit až v okamžiku nárazu. Proto se síla, která ho vzhledem k automobilu urychluje, označuje jako „zdánlivá“.

Právě díky „zdánlivým“ silám má astronautka v raketě jiné zážitky než její sourozenec na Zemi. Za své pomalejší stárnutí zaplatila tím, že při urychlování rakety byla tlačena do opěradla svého sedadla a při brzdění pociťovala přetížení v opačném směru. Pokud se tedy spokojí jen s kvalitativním vysvětlením, sourozenec na Zemi stárl rychleji proto, že při urychlovací a brzdicí fázi Alicina letu volně padal v poli zdánlivých sil, nerozeznatelných od účinků stejnorodého gravitačního pole. Matematický popis situace pak ukáže, že hodiny na Zemi jdou z hlediska systému spojeného s raketou skutečně rychleji.

Proti tomuto vysvětlení můžeme ovšem vznést námitku: Představme si, že máme trojčata, dvě zároveň nasedla do raket, třetí zůstalo na Zemi. Obě rakety se celý rok urychlovaly na rychlost blízkou rychlosti světla. Po roce začalo první trojče brzdit, raketu otočilo a vrátilo se na Zemi. Druhé několik let pokračovalo v rovnoměrném přímočarém pohybu, a pak se teprve vrátilo na Zemi stejným způsobem jako jeho sourozenec. Uvažujeme-li o situaci z hlediska inerciálních pozorovatelů na Zemi, dojdeme k závěru, že po opětném setkání bude nejstarší ten sourozenec, který zůstal doma, a nejmladší ten, který letěl nejdéle. Výše jsme ale tvrdili, že rychlejší chod hodin na Zemi lze z hlediska raket vyložit přítomností pole zdánlivých inerciálních sil v systému raket. Jenže oba astronauti provedli urychlovací a brzdicí manévr naprosto stejným způsobem, jejich zážitky i trvání těchto období jsou naprosto shodné – stejně dlouho pociťovali účinky zdánlivého gravitačního pole. Jak tedy vysvětlit rozdíl v přírůstku času na pozemských hodinách z hlediska systémů spojených s raketami?

Odpovědí je, že chod hodin v jejich systémech nezávisí na intenzitě zdánlivého gravitačního pole, nýbrž na jeho potenciálu. Gravitační síla, která na nás působí v pátém a desátém patře budovy, je prakticky stejná. K vystoupání do desátého patra však potřebujeme vykonat dvakrát větší práci než k vystoupání do pátého, a naopak, pádem z desátého patra získáme větší pohybovou energii než pádem z pátého. V desátém patře máme větší potenciální energii, která je součinem naší hmotnosti a potenciálu gravitačního pole. A chod hodin v neinerciální soustavě závisí na potenciálu, nikoli na intenzitě zdánlivé gravitační síly. Když druhý z astronautů provádí otáčecí manévr, je Země dále, než když se otáčel jeho sourozenec, a tedy se nachází na vyšší absolutní hodnotě potenciálu (v tomto případě se ovšem nezajímáme o gravitační potenciál, nýbrž o potenciál vyvolaný působením setrvačných sil). Situace v systémech spojených s oběma raketami proto není identická ani během otáčecího manévru, a popis chodu hodin na Zemi vypadá v každém z uvedených případů jinak.

Joseph Carl Hafele (1933–2014), Richard E. Keating (1941–2006)
v letadle při experimentu s atomovými hodinami

Efekty dilatace času i efekty vlivu zdánlivého i skutečného gravitačního pole a jejich nerozlišitelnost, jsou dnes velice spolehlivě experimentálně ověřeny. V sedmdesátých letech fyzici Hafele a Keating použili tři identické cesiové standardy času, jeden nechali v laboratoři, druhé dva poslali na leteckou cestu kolem světa (jeden západním a jeden východním směrem). Protože se Země otáčí směrem k východu a rychlost obou letounů byla přibližně stejná, sčítala se s rychlostí rotace Země při letu na východ a odečítala se od ní při letu na západ. Výsledný efekt byl sice neobyčejně malý, ale měřitelný, a dopadl podle předpovědi teorie. Hodiny letící na východ ukazovaly po srovnání s hodinami v laboratoři méně, hodiny letící na západ o něco více.

Obr. 5: Schéma Hafeleho-Keatingova experimentu

Předpokládejme ale, že se raketa pohybuje s konstantním zrychlením, takže po celou dobu letu astronaut cítí stejnou tíži, jako když sedí na Zemi. Pokud platí, že účinek zdánlivé gravitace v raketě je stejný jako účinek skutečného gravitačního pole, pak se zdá přijatelným předpoklad, že astronaut bude stárnout stejně rychle vzhledem k hodinám, které si veze s sebou, jako jeho „pozemský“ druh vůči identickým hodinám na Zemi. Tento princip ekvivalence „skutečné“ a „zdánlivé“ gravitace je však úhelným kamenem obecné teorie relativity, takže obecná relativita nám sem zadními vrátky přeci jen vstupuje.

Z tohoto hlediska je „pomalejší stárnutí astronautů“ legitimní rekvizitou pro sci-fi. Pokud by cesta astronauta, který by celou dobu pociťoval pozemskou tíži, trvala z jeho hlediska rok, rozdíl v přírůstku času na Zemi by byl řádově měsíc. Pokud by ale trvala deset let, na Zemi by zatím uběhly desítky tisíc let a astronaut by mohl doletět až k hranicím Galaxie. Možnost sestrojit raketu, která by se takto pohybovala, je však mizivá. Jestliže se rychlost rakety blíží rychlosti světla, narůstá její energie do obrovských hodnot – v mezním případě rychlosti světla by vzrostla k nekonečnu. Je tedy vcelku oprávněné, že od té doby, co Isaac Asimov vymyslel cestování hyperprostorem, upadla tato metoda cestování po Galaxii u autorů sci-fi v nemilost. Cesty hyperprostorem sice v současné fyzice nemají žádnou oporu, alespoň však netrpí tím nedostatkem, že se kosmický agent vyslaný na druhý konec Galaxie vrátí, až když se na Zemi vystřídá spousta generací.

Modifikujme nyní náš myšlenkový experiment ještě kurióznějším způsobem: Mějme nyní opět tři pozorovatele, ale zatímco první pozorovatel rovnoměrně zpomalí, načež zas rovnoměrně zrychlí v opačném směru a vydá se na cestu k domovu, druhý pozorovatel na téže omezené dráze několikrát rovnoměrně zpomalí a opět zrychlí v opačném směru. Teprve po několika takto realizovaných oscilacích se vydá zpět. Sestrojme nyní opět diagram s liniemi současnosti jak pro vzdálenou Zemi, tak i pro hypotetickou planetu, v jejíž těsné blízkosti se celý manévr odehrál.

Na obr. 6 vidíme, že nyní se dokonce linie současnosti propojující Zemi a oscilujícího pozorovatele vzájemně kříží. Jak si vysvětlit, že během oscilace rakety v blízkém okolí cizí planety se Země zuřivě otáčí tam a zpět a ubíhají na ní celé roky, či (při dostatečně vysoké rychlosti rakety a dostatečně velké vzdálenosti od Země) dokonce celá staletí, s cizí planetou se mezi tím neděje takřka nic?

Gravitační potenciál zdánlivých sil je úměrný vzdálenosti – to jsme si již vysvětlili. Linie současnosti propojující raketu s cizí planetou tak budou ovlivněny mnohem méně, než linie současnosti propojující raketu se Zemí. Směr pohybu linií současnosti je však určen nikoliv velikostí potenciálu (což je skalární veličina), ale směrem zdánlivých sil, jež v raketě působí (což jsou vektory).

Obr. 6: Oscilující verze paradoxu dvojčat

Podle principu ekvivalence musí platit analogie s gravitačním polem, která říká, že čas se zpomaluje ve směru, kterým působí gravitační síla. Jestliže tedy stojím na břehu moře, ubíhá můj čas pomaleji, než čas někomu, kdo stojí na vrcholku Mount Everestu, neboť na mne působí gravitační síla ve směru od něho (on se nachází v poli gravitačních sil výše než já). Podobně, jestliže provádím v raketě manévr, který má změnit můj pohyb ze směru od Země do směru k Zemi, pociťuji sílu, která mne po celou dobu manévru tlačí směrem od Země. Z toho důvodu poběží můj čas pomaleji, než čas na Zemi.

Jakmile celou situaci otočím a budu se nyní snažit opět obrátit svůj pohyb ze směru k Zemi do směru od Země, můj čas se vůči času na Zemi naopak urychlí, neboť po celou dobu mého manévru na mne bude působit síla směrem k Zemi. Budu proto nyní pro změnu vystupovat v roli pozorovatele stojícího na vrcholku Mount Everestu, který si srovnává hodinky s někým, kdo stojí v gravitačním poli pod ním – třeba na břehu moře.

Zatímco v gravitačním poli nepřestává síla nikdy působit a pro změnu potenciálu je vždy potřeba vykonat nějakou práci (ať už kladnou, kdy stoupáme vzhůru, nebo zápornou, kdy naopak klesáme dolů), pokud se pohybujeme rovnoměrně a přímočaře prázdným prostorem, měníme polohu, aniž bychom při tom konali práci, tj. aniž by se na to spotřebovávala nějaká měřitelná energie. Je tomu ale skutečně tak?

Představme si modelový příklad, kdy necháme kmitat foton mezi dvěma zrcadly, která se kdesi ve vesmíru pomalu vzdalují od sebe. Co se stane? Foton bude ztrácet energii tzv. Dopplerovým jevem. Kam však ta energie mizí? Pominu-li tu malou část, která je využita na urychlování zrcadel při každém odrazu fotonu, většina energie je uložena v expandujícím prostoru (vakuu) mezi zrcadly. Pokud ta dvě zrcadla pošleme zase zpět proti sobě, foton postupně energii, kterou si před tím uložil do vakua, zase absorbuje. Samotná změna vzdálenosti dvou objektů ve vesmíru je tedy spojena se změnami určitého druhu energie.

Dopplerův posun mezi zrcadly pohybujícími se jinak prázdným prostorem a rozpínání vesmíru plného gravitující hmoty, se na první pohled jeví jako dva úplně odlišné jevy, nemající spolu žádnou souvislost. Opak je ovšem pravdou. Pozorovaný Hubblův červený posuv vzdálených galaxií je možno popsat stejně dobře jako Dopplerův posuv, i jako důsledek rozpínání geometrie prostoru, v důsledku čehož se natahují i vlnové délky fotonů, které tímto prostorem putují. Pokud bychom si rozpínající se prostor představili jako expandující povrch pouťového balónku a jednotlivé elektromagnetické vlnky bychom nakreslili fixem na jeho povrch, pak se jistě nebudeme divit, že se tyto vlnky natáhnou tím víc, čím více balónek nafoukneme.

Z předchozích kapitol již víme, že s prodlužující se vlnovou délkou fotonů jejich energie (energie původně uložená v elektro­magne­tic­kém poli) postupně klesá. Je ukládána do samotného prostoru v podobě skrytého „napnelismu“, který může mít měřitelné účinky právě v podobě potenciálu zdánlivých sil, jenž se projevuje dilatací času v paradoxu dvojčat. Jakoby jednotlivé hmotné objekty ve vesmíru byly navzájem propojeny předivem neviditelných vláken, která se natahují a smršťují, odměřujíc neustále se měnící vzdálenosti mezi hmotnými objekty a ovlivňujíc relativní chod času těchto objektů tak, aby se ve vesmíru neustále zachovávala lorentzovská invariance.

Působíme-li na partony silou (dodáváme-li jim energii), jejich vlastní čas (perioda kroků našeho vrávorajícího opilce z předešlé kapitoly) se zpomaluje až na úroveň blízkou periodě tiků planckovských hodin (10⁻⁴³ s). Jejich drift světem 3D piškvorek se však usměrňuje, takže emergentní rychlost soustavy vzrůstá. Linie současnosti se tomu okamžitě přizpůsobují doslova v celém vesmíru a veškeré kvantové procesy zpomalují, což efektivně ovlivňuje rychlost toku času – čas dilatuje. A co je ještě šílenější, tato synchronizace proběhne naráz celým prostorem během jeho jediného obnovovacího pulzu v trvání Planckova času.

Fyzikální podstata Heisenbergova principu

Představme si vodovodní kohoutek, ze kterého v pravidelných intervalech odkapává voda. Předpokládejme, že kohoutek ukápne právě jednou za sekundu. Položme si otázku, jak přesně bychom dokázali změřit rychlost jeho kapání pomocí hodinek, odměřujících čas s přesností na jednu sekundu. Pokud bychom nejprve měřili pouze po dobu jedné sekundy, a zaznamenali během této doby jednu kapku, neplyne z našeho jediného pozorování žádný údaj o tom, kolik času přesně uběhlo mezi dvěma kapkami. Pokud za měřený časový úsek tikly hodinky pouze jednou, mohlo uplynout jen o malinko více času než jedna sekunda, mohly to být ale také téměř dvě sekundy. Jediné pozorování je navíc zatíženo nekonečně velkou statistickou nejistotou, neboť je možné, že frekvence kapání je ve skutečnosti o mnoho řádů nižší, než jedna sekunda a my jsme se jen během měření náhodně trefili do onoho vzácného okamžiku, kdy zrovna ukápla kapka. Statistickou nejistotu je možno eliminovat tím, že měření mnohokrát po sobě nezávisle zopakujeme. Nenajdeme-li však nějaké přesnější hodinky, nebo nebudeme-li mít možnost měřit v delším než sekundovém intervalu, nebudeme schopni eliminovat nejistotu způsobenou chybou měřidla. Za daných podmínek nebudeme schopni říci nic určitějšího, než že kohoutek ukápne jednou za jednu až dvě sekundy. Pokud bychom tvrdili, že kohoutek ukápne každou jednu sekundu, bude naše tvrzení zatíženo nejistotou 100 %. Pokud bychom prezentovali, že kapka ukápne každé dvě sekundy, bude nejistota pouze 50 %.

Prodloužíme-li intervaly našich měření desetkrát a měření opět mnohokrát zopakujeme, zjistíme, že během deseti tiků hodinek ukáplo v průměru 10 kapek vody. S našimi mírně nepřesnými hodinkami můžeme nyní říci, že 10 kapek ukápne během deseti až jedenácti sekund. Nejistota měření se tím snížila na 10 %. Během desetisekundových měření jsme tak schopni periodu (která je nepřímo úměrná frekvenci a energii) určit s přesností na desetinu sekundy.

Všimněme si, že součin délky měření a nepřesnosti v určení periody kapání kohoutku, je v obou výše uvedených případech stejný a roven jedné. Takto bychom mohli pokračovat a měřit třeba po dobu 1 000 sekund s nejistotou 0,1 % a změřit tak frekvenci s přesností na tisícinu sekundy. Vždy přitom bude platit, že součin doby měření a přesnosti stanovení frekvence je roven jedné.

Představme si nyní jednoduchý kvantový systém – kupříkladu osamocený foton. Jeho energie se rovná jeho frekvenci násobené Planckovou konstantou. Pro tento objekt bude součin doby, po kterou měříme jeho frekvenci, a přesnosti, s níž tuto frekvenci můžeme stanovit, opět roven minimálně jedné. Pokud se však zajímáme rovnou o energii fotonu, pak součin přesnosti, s jakou můžeme energii změřit, a doby, jíž nám toto měření zabere, bude větší, nebo roven jedničce vynásobené Planckovou konstantou. Platí tedy

\(\Delta E\Delta t \ge \hbar\,.\)

(9)

Povšimněme si, že tato relace neurčitosti skutečně plyne z klasické analogie s neurčitostí kapajícího kohoutku, doplněné pouze o kvantovací vztah, jenž uvádí do souvislosti frekvenci a energii. Dále stojí za pozornost, že pokud bychom měli k dispozici hodinky odměřující čas s nekonečnou přesností, dokázali bychom přesně změřit interval kapání kohoutku již po zaznamenání pouhých dvou kapek, tzn. po jediné sekundě.

Werner Heisenberg (1901–1976)

Výše popsané úvahy vedly k velmi důležitému zjištění: existence principu neurčitosti je důsledkem kvantování samotného času (jak víme z prvního dílu, nejmenším kvantem času rozpoznatelným v prostoročase je Planckův čas (~10⁻⁴³ s). Vzpomeneme-li si na jinou relaci neurčitosti, tentokráte mezi hybností a polohou

\(\Delta p\Delta x \ge \hbar\,.\)

(10)

lze analogicky dospět ke zjištění, že také i tato relace je důsledkem diskretizace – tentokráte prostoru (nejmenším kvantem prostoru rozpoznatelným v prostoročase je Planckova délka (~10⁻³⁵ m). Jelikož princip neurčitosti stojí v samých základech kvantové mechaniky, je možno veškeré podivné chování objektů kvantového světa vysvětlit coby důsledek nespojitosti prostoru a času.

Z Heisenbergových relací plyne jedna význačná vlastnost kvantového světa, jíž je nekomutativita. Výsledek měření dvou nekomutujících fyzikálních veličin (takových, pro které platí relace neurčitosti) vždy záleží na pořadí, v jakém tyto veličiny měříme. Určení fyzikální veličiny přitom není izolovaný akt – vždy zahrnuje interakci s okolím. Výsledek takovýchto interakcí závisí na pořadí, ve kterém nastanou. Sir Roger Penrose a Alain Connes – tvůrce nekomutativní geometrie – před nedávnem nezávisle na sobě upozornili, že tento výsledek může definovat primitivní formu časové škály jevů, což by mohlo tvořit kořeny emergence času.

Connes zformuloval detailní matematickou verzi této myšlenky. Ukázal, že nekomutativita fyzikálních proměnných definuje speciální matematickou strukturu zvanou nekomutativní von Neumannova algebra, která obsahuje implicitně definovaný tok času. Všudypřítomná kvantová neurčitost vytváří rozmazání reality, což indukuje tok času. V konečném důsledku může být tedy čas i vyjádřením naší principiální neznalosti detailů přesného stavu systémů kvantového světa.

Závěr

Bezmála 50 let od chvíle, kdy byl formulován standardní model částicové fyziky, se díky úsilí řady geniálních mozků planety podařilo dovést koncept kvantování prostoročasu do podoby teorie, dávající jasné, smysluplné a testovatelné předpovědi. V osmi dílech tohoto bulletinu jsme si představili alespoň nejzákladnější rysy tohoto konceptu. Byli jsme současně svědky toho, kterak do sebe v jeho rámci začínají postupně zapadat moderní poznatky z nejrůznějších oblastí lidského bádání, jež se ve světle starších a neúplných modelů světa jevily jako téměř nezávislé, v mnoha případech dokonce jako vzájemně si odporující či paradoxní.

Snad již poměrně blízká budoucnost ukáže, zda jsme se poslední půlstoletí ubírali tou správnou cestou a zda doopravdy začínáme rozumět prostoru, času a gravitaci na té úplně nejzákladnější úrovni.

Závěrem bych rád poděkoval panu profesoru Petru Kulhánkovi za perfektní grafické provedení a množství cenných odborných rad, které významnou měrou přispěly ke zkvalitnění celé této série. 



*  *  *

Všechny bulletiny této série

Odkazy