Týdeník věnovaný aktualitám a novinkám z fyziky a astronomie. Vydavatel: AGA (Aldebaran Group for Astrophysics) Číslo 2 – vyšlo 7. ledna, ročník 20 (2022) © Copyright Aldebaran Group for Astrophysics Publikování nebo šíření obsahu je zakázáno. ISSN: 1214-1674, Email: bulletin@aldebaran.cz

2/2022

Kvantování prostoročasu – entropická gravitace

David Zoul

V roce 1997 ukázal Juan Maldacena, že strunový popis standardního modelu je duálním popisem 4+1dimenzionálnímu tzv. anti-de SitterovuVesmír AdS – Anti de Sitterův vesmír, maximálně symetrický vesmír s konstantní zápornou křivostí. Maximální symetrie znamená, že všechny body v tomto vesmíru jsou si rovnocenné. Záporná skalární křivost je způsobena zápornou hodnotou kosmologické konstanty. AdS vesmír se většinou uvažuje bez přítomnosti hmoty, která způsobuje kladné zakřivení prostoročasu. Tento prostoročas je pojmenován podle ředitele Leidenské observatoře, profesora Willema de Sittera. (AdS) vesmíru. Tento svět je jedním z možných řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole, v nichž vystupuje záporná kosmologická konstanta. V tomto světě vyvíjejí hmota a energie gravitační síly stejné, jako ve skutečném světě, navíc zde však existuje vzdálený horizont, ke kterému se vše ve vesmíru limitně přibližuje. Jinými slovy, svět o 3+1 dimenzích, obsahující standardní model, je ekvivalentní vesmíru se 4+1 dimenzemi s gravitací, projevující se v kosmologických měřítkách.

Umělecké ztvárnění základní geometricko-fyzikální struktury AdS prostoročasu.
Zdroj: Jean-Francois Podevin, 2018.

Vesmír AdS – Anti de Sitterův vesmír, maximálně symetrický vesmír s konstantní zápornou křivostí. Maximální symetrie znamená, že všechny body v tomto vesmíru jsou si rovnocenné. Záporná skalární křivost je způsobena zápornou hodnotou kosmologické konstanty. AdS vesmír se většinou uvažuje bez přítomnosti hmoty, která způsobuje kladné zakřivení prostoročasu. Tento prostoročas je pojmenován podle ředitele Leidenské observatoře, profesora Willema de Sittera. Vesmír de Sitterův – maximálně symetrický vesmír s konstantní kladnou křivostí, bez přítomnosti hmoty. Kladná křivost je způsobena kladnou hodnotou kosmologické konstanty. Maximální symetrie znamená, že všechny body v tomto vesmíru jsou si rovnocenné. Kladná skalární křivost je způsobena kladnou hodnotou kosmologické konstanty. Jde o nejjednodušší model vesmíru se zrychlenou se expanzí. Jako řešení Einsteinových rovnic ho nalezl de Sitter v roce 1917. Holografický princip – představa, že informace o N-dimenzionální entitě je zapsatelná v N−k dimenzích. Název pochází z holografie, v níž se informace o třírozměrném objektu zapisují na dvojrozměrném hologramu, z něhož je možné původní objekt rekonstruovat. V matematice jsou ze znalosti hodnot komplexní funkce mající derivaci (tzv. holomorfní funkce) na hranici množiny určitelné její hodnoty v celé množině. Ve fyzice jsou vlastnosti černé díry určeny pouze jejím povrchem. Holografický princip je velmi atraktivní ve fyzice elementárních částic a v některých teoriích gravitace. Obecná relativita – teorie gravitace publikovaná Albertem Einsteinem v roce 1915. Její základní myšlenkou je tvrzení, že každé těleso svou přítomností zakřivuje prostor a čas ve svém okolí. Ostatní tělesa se v tomto pokřiveném světě pohybují po nejrovnějších možných drahách, tzv. geodetikách. Kvantová teorie pole – popis interakce založený na kvantových principech, tj. na nekomutativnosti základních operací v mikrosvětě. Kvantová teorie pole nahrazuje silové působení polními částicemi. Tyto částice jsou virtuální a nikdy nemohou skončit v detektoru, působí jen mezi dvěma interagujícími částicemi. Jako první prototyp kvantové teorie pole se vyvinula ve 30. letech 20. století kvantová elektrodynamika, později se objevila teorie slabé a silné interakce. Jediná gravitace je popsána jinak – za pomoci obecné relativity.

Zákon zachování informace v AdS prostoročase

Zhruba v době, kdy Maldacena publikoval tento objev, zjistili kosmologové Adam Riess, Brian Schmidt, Niccholas Suntzeff a Saul Perlmutter, že ve 3+1 dimenzích obsahuje náš svět naopak kladnou kosmologickou konstantou, která nutí náš třírozměrný prostor se zrychleně rozpínat.

Horní řada: Adam Guy Riess (*1969), Brian Paul Schmidt (*1967)
Dolní řada: Nicholas B. Suntzeff (*1952), Saul Perlmutter (*1959)

Jednou z pozoruhodných vlastností expandujícího anti-de Sitterova vesmíruVesmír AdS – Anti de Sitterův vesmír, maximálně symetrický vesmír s konstantní zápornou křivostí. Maximální symetrie znamená, že všechny body v tomto vesmíru jsou si rovnocenné. Záporná skalární křivost je způsobena zápornou hodnotou kosmologické konstanty. AdS vesmír se většinou uvažuje bez přítomnosti hmoty, která způsobuje kladné zakřivení prostoročasu. Tento prostoročas je pojmenován podle ředitele Leidenské observatoře, profesora Willema de Sittera. je, že vzdálenost AdS horizontu se nikdy nemění s časem. V AdS prostoročase tedy existuje kauzálníKauzalita – příčinná souvislost. Pokud jsou dva děje v příčinné souvislosti (například zapálení rozbušky a exploze) musí ve všech souřadnicových soustavách nastat ve stejném pořadí. Kauzálně spojené děje jsou v takové vzdálenosti, že mezi nimi mohl proběhnout světelný signál. horizont, zpoza něhož již není návratu a zpoza něhož k nám nikdy nedoletí žádný signál. Na AdS horizontu se pro vzdálené pozorovatele projevuje nekonečný červený posuv a s ním související zpomalení, a nakonec úplné zastavení času. Zcela analogicky, jako na horizontu černé díry. A úplně stejně, jako horizont černé díryČerná díra – objekt, který kolem sebe zakřiví čas a prostor natolik, že z něho nemůže uniknout ani světlo. Část z nich vzniká kolapsem hvězdy v zá­vě­reč­ných fázích vývoje. Druhou skupinu tvoří obří černé díry sídlící v centrech galaxií. Rotující černé díry kolem sebe vytvářejí akreční disky látky a v ose rotace výtrysky vysoce urychlených částic. Paradoxně akreční disky i výtrysky, vznikající v bezprostředním okolí černé díry, velmi intenzivně vyzařují., vyzařuje i AdS horizont Hawkingovo záření. Pro vzdálené pozorovatele totiž AdS horizont představuje horký povrch, jenž neustále vyzařuje fotonyFoton – základní kvantum energie elektromagnetického záření, polní částice elektromagnetické interakce. Má nulovou klidovou hmotnost a nemá elektrický náboj. Jeho energie a hybnost jsou přímo úměrné frekvenci záření (E = ħω, p = E/c). Stav fotonu zahrnuje také polarizaci, protože jde o příčné vlnění. Kvantování energie poprvé zavedl Max Planck při pokusech o vysvětlení záření černého tělesa. Albert Einstein dal těmto kvantům reálný význam v roce 1905 při vysvětlení fotoelektrického jevu. Samotný název foton poprvé pro tuto částici použil až americký fyzikální chemik Gilbert Lewis v dopise časopisu Nature z roku 1926., které ale padají zpět do nitra sféry. Zvláštností AdS metriky je právě skutečnost, že AdS horizont září vždy dovnitř sféry, jejíž hranici tvoří. Informace o každém objektu, který projde AdS-horizontem, je ve formě Hawkingovy radiace z horizontu navrácena zpět do vesmíru.

Objekty, které leží blízko AdS horizontu, pozorujeme úplně stejně, jako by padaly na povrch klasického horizontu černé díry – tzn. zpomalené v čase a zrychleně se pohybující směrem od nás s nekonečným červeným posuvem. Pro vzdáleného pozorovatele v AdSVesmír AdS – Anti de Sitterův vesmír, maximálně symetrický vesmír s konstantní zápornou křivostí. Maximální symetrie znamená, že všechny body v tomto vesmíru jsou si rovnocenné. Záporná skalární křivost je způsobena zápornou hodnotou kosmologické konstanty. AdS vesmír se většinou uvažuje bez přítomnosti hmoty, která způsobuje kladné zakřivení prostoročasu. Tento prostoročas je pojmenován podle ředitele Leidenské observatoře, profesora Willema de Sittera. tedy běží čas na pro něj vzdálených objektech tím pomaleji, čím blíže jsou tyto objekty k jeho AdS horizontu. Toto zpomalení běhu času koresponduje s relativní rychlostí těchto objektů vůči pozorovateli. Pro vzdáleného pozorovatele také nikdy žádný objekt neprojde AdS horizontem – všechny informace o objektech, které „dopadly“ na AdS horizont, zůstávají jakoby zamrzlé na horizontu a vyzařují zpět do prostoru v podobě Hawkingovy radiace. Vzhledem k ohromné ploše AdS horizontu je toto záření nesmírně chladné. Vzhledem k soustavě, která zrovna prochází AdS horizontem, se ale neděje vůbec nic zvláštního.

Holografický principHolografický princip – představa, že informace o N-dimenzionální entitě je zapsatelná v N−k dimenzích. Název pochází z holografie, v níž se informace o třírozměrném objektu zapisují na dvojrozměrném hologramu, z něhož je možné původní objekt rekonstruovat. V matematice jsou ze znalosti hodnot komplexní funkce mající derivaci (tzv. holomorfní funkce) na hranici množiny určitelné její hodnoty v celé množině. Ve fyzice jsou vlastnosti černé díry určeny pouze jejím povrchem. Holografický princip je velmi atraktivní ve fyzice elementárních částic a v některých teoriích gravitace. je ve své podstatě principem komplementarity mezi prostorem a AdS-horizontem. Význačnost AdS-horizontu coby hologramu tkví právě v tom, že je pro vybraného pozorovatele hranicí skutečně celého prostoru a nese tudíž na svém povrchu úplnou informaci, zatímco každý horizont vytvořený uvnitř prostoru nese informaci pouze o jeho části, jíž obepíná. Počátkem roku 1998 zveřejnil Ed Witten článek s názvem „Anti-de Sitterův prostor a holografie“. V tomto článku Witten ukázal, že nejen objekty, jež bezprostředně projdou AdS-horizontem, ale veškeré informační bitybit – základní jednotka klasické informace, která nabývá dvou hodnot (ano/ne), (0/1), (pravda/nepravda) atd. Násobnou jednotkou je kilobit označující 2¹⁰ = 1024 možností. Termín zavedl Claude Elwood Shanon coby zkratku anglického termínu binary digit. Fyzikální realizace bitu si žádá systém se dvěma dobře definovanými stavy – například logický obvod bez napětí a s napětím. z celého nitra AdS-prostru jsou projektovány na jeho hranici, která musí mít vždy o dimenzi méně – v jazyce kvantové teorie poleKvantová teorie pole – popis interakce založený na kvantových principech, tj. na nekomutativnosti základních operací v mikrosvětě. Kvantová teorie pole nahrazuje silové působení polními částicemi. Tyto částice jsou virtuální a nikdy nemohou skončit v detektoru, působí jen mezi dvěma interagujícími částicemi. Jako první prototyp kvantové teorie pole se vyvinula ve 30. letech 20. století kvantová elektrodynamika, později se objevila teorie slabé a silné interakce. Jediná gravitace je popsána jinak – za pomoci obecné relativity. obývají tyto stupně volnosti hranici našeho AdS prostoru.

Willem de Sitter (1872–1934), Edward Witten (*1951),
Juan Martín Maldacena (*1968)

Obr. 1. AdS prostoročas znázorněný v dimenzionální redukciDimenzionální redukce – standardní matematická či fyzikální procedura aproximující určitý model tím, že se zaměříme pouze na určité vybrané stupně volnosti, zatímco všechny ostatní stupně volnosti ignorujeme. Například obtížně představitelnou pětirozměrnou varietu můžeme dimenzionální redukcí převést na matematicky snáze uchopitelný útvar s menším počtem dimenzí.. Umělecká vize vývoje protonu na různých škálách. Zdroj: Stanley J. Brodsky, Guy de Teramond, Terry Anderson / SLAC National Accelerator Laboratory.

V AdS vesmíruVesmír AdS – Anti de Sitterův vesmír, maximálně symetrický vesmír s konstantní zápornou křivostí. Maximální symetrie znamená, že všechny body v tomto vesmíru jsou si rovnocenné. Záporná skalární křivost je způsobena zápornou hodnotou kosmologické konstanty. AdS vesmír se většinou uvažuje bez přítomnosti hmoty, která způsobuje kladné zakřivení prostoročasu. Tento prostoročas je pojmenován podle ředitele Leidenské observatoře, profesora Willema de Sittera. tak beze zbytku platí holografický principHolografický princip – představa, že informace o N-dimenzionální entitě je zapsatelná v N−k dimenzích. Název pochází z holografie, v níž se informace o třírozměrném objektu zapisují na dvojrozměrném hologramu, z něhož je možné původní objekt rekonstruovat. V matematice jsou ze znalosti hodnot komplexní funkce mající derivaci (tzv. holomorfní funkce) na hranici množiny určitelné její hodnoty v celé množině. Ve fyzice jsou vlastnosti černé díry určeny pouze jejím povrchem. Holografický princip je velmi atraktivní ve fyzice elementárních částic a v některých teoriích gravitace., tzn. veškeré informace z jeho nitra jsou rozprostřeny na jeho hranici, kterou tvoří AdS horizont, a odtud vyzařovány zpět do vesmíru. Žádné informace z AdS vesmíru se tak nikdy neztrácejí a funguje v něm bez omezení tzv. S-maticový přístup kvantové mechaniky. Ten popisuje srážky částic prostřednictvím matematického objektu, zvaného matice rozptylu (Scattering matrix), zkráceně S-matice. Jedná se o abstraktní tabulku pravděpodobností všech možných vstupů a výstupů takovéto srážky. S-matice předpovídá pravděpodobnosti různých kvantových historií kolize částic.

Význačnou vlastností S-matice je její regularita, která je nutnou a postačující podmínkou pro existenci inverzní S-matice, jež dokáže obrátit veškeré změny způsobené původní S-maticí. Inverzní S-matice popisuje zpětný stav, od výstupu ke vstupu, tzn., efektivně obrací tok času. S-matice tak nejen že předpovídá pravděpodobnou budoucnost na základě vstupních parametrů z minulosti, ale zároveň dovoluje jednoznačně zrekonstruovat ze skutečně naměřené budoucnosti (jedné z možných) původní minulost. Pro každý typ srážky existuje unikátní S-matice, ta však vždy předpovídá pouze pravděpodobnosti různých možných konfigurací částic po srážce. Jakmile ale jednou srážka proběhla a my naměříme skutečný stav v určitém čase po ní, pak projekcí tohoto stavu přes inverzní S-matici dokážeme jednoznačně zrekonstruovat výchozí stav před srážkou.

Lze to do jisté míry nastínit na příkladu tuby tříbarevné zubní pasty. Ve fabrice stroj vtlačí do tuby skrz její hrdlo 3 přesně uspořádané různobarevné proužky zubní pasty. Hrdlo tuby můžeme s trochou nadsázky připodobnit k S-matici. Za ním se zubní pasta začíná zdánlivě náhodně rozptylovat po celém objemu tuby (ten můžeme připodobnit – opět s trochou nadsázky – k celému prostoru). Jelikož se jedná v zásadě o tekutinu, dříve dokonale geometricky uspořádané tříbarevné proužky se nyní náhodně slévají do jednolité kaše. Když bychom následně tubu rozstřihli v půli, objevíme v ní jen onu barevnou kaši, která bude vyhlížet zcela náhodně a chaoticky. Nikdo by pouhým pohledem na ni jistě nedokázal uhodnout původní stav, jímž byla „housenka“ se třemi uspořádanými barevnými proužky. O to překvapivější je však skutečnost, jíž při tom každý velmi dobře zná z každodenní ústní hygieny, avšak málokdo se nad ní skutečně zamyslí. Pokud pastu vytlačujeme ven z tuby stejným hrdlem, jakým se dostala před tím dovnitř, světe div se, rekonstruuje se nám před očima přesný výchozí stav zcela nezávisle na tom, jak moc jsme mezi tím informace zamíchali. Zubní pasta si zkrátka stále „pamatuje“ informaci o výchozím uspořádání. A pokud se má dostat ven stejnou cestou jakou původně vnikla dovnitř (stejnou S-maticí, pouze v opačném směru – tedy inverzní S-maticí) nelze toho dosáhnout jinak než uspořádáním se do identického stavu, jaký měla na počátku.

Taylorův Couettův tok (mísení) ve velmi viskózní kapalině. Zdroj: YT/Rahul Singh.

S-matice je tedy kódem, který zajišťuje, že informace se s časem neztrácejí. S přibývajícím časem se informace stále více rozptylují (narůstá entropieEntropie – v termodynamice je definována vztahem dS = dQ/T, kde dQ je diferenciál tepla a T je absolutní teplota (1/T je integrační faktor). Takto zavedená entropie je na rozdíl od tepla úplným diferenciálem, její integrál nezávisí na cestě ve stavovém prostoru. Ve statistice má entropie význam logaritmické míry pravděpodobnosti realizace stavu, v kvantové teorii je logaritmickou mírou počtu kvantových stavů, kterými lze daný makroskopický stav realizovat. Entropie tak souvisí s „množstvím chaosu“ v systému. V informatice entropie popisuje množství informací. V uzavřeném systému může entropie jen růst. V termodynamické rovnováze dosáhne svého maxima.), a proto může být stále obtížnější tuto rekonstrukci minulosti technicky provést, principiálně tomu však vůbec nic nebrání – říkáme, že veškeré procesy popisované kvantovou teorií jsou vratné. Maldacenův-Wittenův objev teoreticky předpověděl, že informace se z vesmíru nikdy a nikam neztrácejí – jsou stále navraceny zpět v podobě tepelného záření vycházejícího z horizontů. Potvrdil tím, že S-maticový přístup kvantové teorie rozptylu není narušen ani v kosmologických měřítkách a ani za přítomnosti extrémních gravitačních polí, jaká vládnou na horizontech černých děr. Že černé díry toho o sobě ve skutečnosti prozrazují daleko více, než jen pouhá tři čísla, o nichž jsme hovořili v předchozím dílu (AB 45/2021). Byl to další důležitý krok ke konečnému sjednocení kvantové teorie s obecnou reklativitou a významný argument pro podporu platnosti holografického principu v kosmologických měřítkách.

Bremermannův limit

Informace, která má být zpracovávána strojem, musí být nějakým způsobem fyzicky zakódována. Předpokládejme, že je zakódována pomocí energetických hladin v intervalu [0; E]. Na E můžeme pohlížet jako na celkovou energii dostupnou pro tento účel. Dále předpokládejme, že tyto úrovně energie mohou být měřeny s přesností ΔE. Potom je nejjemnější kódování definováno dělením celého intervalu do

N = E/ΔE

(1)

podintervalů. Energie může být měřena nejvýše s přesností ΔE, určenou Heisenbergovým principem neurčitostiRelace neurčitosti – v mikrosvětě není možné současně změřit polohu a hybnost objektů. Změření jedné veličiny naruší měření druhé veličiny. Čím přesněji zjistíme polohu, tím menší informaci budeme mít o hybnosti a naopak. Jde o principiální zákonitost kvantového světa, která souvisí s nekomutativností veličin na elementární úrovni. Relace neurčitosti objevil Werner Heisenberg. Stejné relace platí také mezi energií a časovým intervalem. Ve vakuu mohou po velmi krátkou dobu vznikat ve shodě s relacemi neurčitosti fluktuace (objekty) o určité energii. Čím vyšší energie, tím kratší doba života těchto fluktuací. Dále relace platí i pro jakoukoli zobecněnou souřadnici a její hybnost. Může jít například o nějaké pole, které nemůže mít současně nulovou hodnotu a nulovou hybnost, což vede k jeho vakuovým fluktuacím.

ΔE Δt ≳ ħ .

(2)

To znamená, že

N ≤ E Δt / ħ .

(3)

Dostupná energie E může být vyjádřena ekvivalentním množstvím hmoty m dle Einsteinovy formule

E = mc2 ,

(4)

odkud, dosazením do (3), získáme horní limit

N ≤ mc2 Δt / ħ .

(5)

Odtud, dosazením konkrétních hodnot jednotlivých konstant, již plyne formulace obecného zákona, známého jako Bremermannův limit: Žádný stroj na zpracování informací, umělý či živý, nemůže zpracovat více než 8,5×10⁵⁰ bitů za sekundu na kilogram své hmotnosti.

Hans-Joachim Bremermann (1926–1996). Zdroj: G. M. Bergman, Berkeley, 1989.

Margolusova-Levitinova věta

Teorém formulovaný Normanem Margolusem a Lvem B. Levitinem roku 1998 určuje výpočetní limit veškerých forem počítání, včetně kvantového počítání. Věta opět vychází z relace neurčitosti (2) a říká, že: Kvantový systém o energii E potřebuje určitý minimální čas k přechodu z jednoho stavu do stavu ortogonálního. Tento minimální čas je dán vztahem

t = ħ / E .

(6)

Z teorému plyne, že rychlost zpracování informací nemůže být vyšší, než 9,5×10³³ bitů za sekundu na jeden joule energie.

Norman H. Margolus (*1960), Lev B. Levitin (*1940)

Energie a informace

Jeden z nejkrásnějších výsledků moderní fyziky představuje propojení výše popsaných principů s Bekensteinovým principem, jejž jsme odvodili ve třetím dílu. Tato argumentace, vypracovaná profesorem Sethem Lloydem z Massachusettského institutu technologií (MITMIT – Massachusetts Institute of Technology, prestižní americká univerzita v massachusettském Cambridge. Univerzita byla založena Williamem Bartonem Rogersem v roce 1861. Skládá se z pěti škol a jedné koleje. Přestože jde o soukromou univerzitu, je podporována i státem. Spravuje livingstonskou část detektoru LIGO.), využívá černou díru jako ultimátní úložiště dat či výpočetní zařízení, což by bylo možné, pokud by byly nalezeny praktické způsoby jak informaci z děr číst v souladu s holografickým principemHolografický princip – představa, že informace o N-dimenzionální entitě je zapsatelná v N−k dimenzích. Název pochází z holografie, v níž se informace o třírozměrném objektu zapisují na dvojrozměrném hologramu, z něhož je možné původní objekt rekonstruovat. V matematice jsou ze znalosti hodnot komplexní funkce mající derivaci (tzv. holomorfní funkce) na hranici množiny určitelné její hodnoty v celé množině. Ve fyzice jsou vlastnosti černé díry určeny pouze jejím povrchem. Holografický princip je velmi atraktivní ve fyzice elementárních částic a v některých teoriích gravitace. coby řešením informačního paradoxu černých děr.

Seth Lloyd (*1960)

To by v praxi znamenalo dosáhnout hustoty informace přesně na Bekensteinově hranici. Černá díra jednotkové hmotnosti (1 kg) vyzáří za dobu svého života E = mc² = 10¹⁷ J. Dle Margolusova-Levitinova teorému by to odpovídalo množství E/ħ = 8,5×10⁵⁰ bit/s, což vskutku koresponduje s Bremermannovým limitem. Za dobu svého života (≈10⁻¹⁹ s) by však stihla uskutečnit pouze 10³² operací. Kilogram libovolné hmoty by tak mohl obsahovat přibližně odpovídající množství bitů. Ve třetím dílu jsme však ukázali, že takto lehké černé díry jsou pravděpodobně fyzikálně nereálné. Na konečný verdikt kolik bitů ve skutečnosti obsahuje jeden kilogram hmoty si tak budeme muset zřejmě ještě počkat.

Informace a entropie

Česká abeceda má 32 písmen, pro psaní však existují i jednodušší systémy, jako je například Morseova abeceda, využívající pouze tečku a čárku. Je-li informace kódována dvěma symboly, a je celkem jedno, jestli jsou to tečky a čárky, nebo třeba nuly a jedničky, říkáme těmto symbolům bity. Tak například název TEORIE RELATIVITY má v Morseově abecedě tvar

− · −−− ·−· ·· · ·−· · ·−·· ·− − ·· ···− ·· − −·−−

čítající 35 znaků. Kolik různých zpráv lze sestavit v Morseově abecedě ze 35 znaků? Stačí pouze násobit pětatřicetkrát dvojkou. Výsledek je tedy 2³⁵. Říkáme, že v binárním Morseově kódu má název TEORIE RELATIVITY 35 bitů.

Entropie je v teorii informace definována jako logaritmus počtu uspořádání, která vyhovují nějakému specifickému rozpoznatelnému kritériu. Je-li tímto kritériem přítomnost 35 bitů, pak počet možných uspořádání je 2³⁵, a entropie je logaritmus tohoto čísla neboli číslo 35. Je téměř jisté, že když vezmeme 16 písmen tohoto nápisu a zamícháme je, s velkou jistotou dostaneme naprostý nesmysl. Předpokládejme, že písmenka budeme prohazovat pěkně po jednom. Text bude postupně ztrácet koherenci – název bude stále hůře čitelný. Postupně se z písmenek stane jen kupa symbolů bez významu. Existuje tolik smysl postrádajících kombinací, že nakonec získáme z písmen pouze nesmysly.

Claude Shannon ve svém klasickém pojednání Matematická teorie komunikace z roku 1949 dal poprvé do souvislosti informaci a entropii na základě dřívější práce R. V. Hartleyho, který definoval informaci jako úspěšný výběr znaků či slov z daného seznamu. Vzorec, odvozený později Shannonem na základě této práce, je ve skutečnosti měřítkem pouze jedné představy o informaci – je to statistická míra neurčitosti, nebo „míra překvapení“ vzniklá z toku znaků zprávy. Shannon doslova říká: „Veličina, která jedinečně vyhovuje přirozeným požadavkům pro informaci, se zdá být přesně tím, čím je v termodynamice entropie. Měření informace pomocí entropie je vlastně přirozené, uvědomíme-li si, že informace v teorii komunikace je spojena s rozsahem volnosti výběru, kterou máme při konstruování zpráv“. Shannon předpokládá, že situace, která je vysoce organizovaná, nemá velkou volnost výběru, a mohli bychom tedy říci, že má nízkou informaci (a entropii).

Ralph Vinton Lyon Hartley (1888–1970), Claude Elwood Shannon (1916–2001).
Zdroje: Wikipedia/Henry Hartley; Google Arts & Culture.

Ze všech 2³⁵ možností dá smysl připomínající slovní spojení jen zlomek – desítky, možná stovky uspořádání – například TVORITEE REALITY, čemuž odpovídá entropie menší než 10. Naprostá většina permutací budou ale naprosté nesmysly. Těžko tedy někoho překvapí, že když zamícháme písmenky, entropie roste. Toto vyjadřuje ve skutečnosti velmi hluboký princip, stojící v samých základech přírody, který se nazývá druhý zákon termodynamiky.

Za matematický důkaz tohoto základního principu nevděčíme nikomu menšímu než Ludwigu Boltzmannovi, který má matematickou podobu tohoto zákona vytesánu na svém náhrobku na Centrálním hřbitově ve Vídni. Tento princip říká, že pokud ponecháme nějaký systém svému osudu, jeho entropie vždy s časem vzrůstá – auta korodují, stavby chátrají, pohoří erodují. Růstem entropie je dokonce ve fyzice definována tzv. termodynamická šipka času.

Ludwig Eduard Boltzmann (1844–1906)

Představme si nyní, že máme dvě spojené nádoby s plynem o n rozlišitelných molekulách. Počet možných konfigurací molekul plynu v nádobách je dán výrazem 2ⁿ. Pokud máme jen jednu molekulu (n = 1), existují pouze 2¹ = 2 možnosti, jak se může uspořádat – buď se molekula nachází v jedné nádobě, nebo ve druhé. Pokud bude n = 2, máme už 2² = 4 možností – obě molekuly v jedné nádobě, obě molekuly ve druhé nádobě, v každé nádobě po jedné molekule, totéž s prohozením obou molekul.

Pravděpodobnost, že se všechny molekuly během svého pohybu náhodně shromáždí jen v jedné nádobě, je dána počtem nádob (2) ku počtu všech možných konfigurací molekul. Tento počet je tedy 2/2ⁿ = 1/²ⁿ⁻¹. Pro pouhých 10 částic plynu v nádobě nastane podobná situace jen v jednom z 500 náhodných přeskupení molekul. Pro 60 částic už je tato pravděpodobnost tak malá, že kdyby se molekuly náhodně přeskupily každou jednu desetinu sekundy, neshromáždí se všechny v jedné z nádob ani za dobu současného trvání vesmíru, což je téměř 14 miliard let. Pokud máme na počátku všechny molekuly pouze v jedné z nádob, má tento stav entropii 2. Jakmile nádoby propojíme a necháme molekuly volně difundovat, začne entropie okamžitě růst, dokud se neustálí okolo hodnoty 59, kdy je v obou nádobách s vysokou mírou pravděpodobnosti vždy po 30 molekulách. Pravděpodobnost, že by se molekuly od tohoto stavu spontánně výrazněji odchýlily, je naprosto zanedbatelná, ačkoliv ne přesně nulová (může se stát, že entropie systému na malý okamžik spontánně i poklesne).

Reálné plyny v makroskopických nádobách však obsahují kvadriliardy molekul a šance, že by entropie takového systému spontánně klesala po dobu výrazněji převyšující Planckův čas, je absolutně mizivá a můžeme ji pro všechny praktické účely považovat za nulovou.

Lze to přirovnat k pokusu prohodit mičudu skrz velkou čínskou zeď. Kvantová mechanika striktně nezakazuje, aby míč protuneloval skrz čínskou zeď a objevil se neporušený na druhé straně. Zkušenost nám ale říká, že pravděpodobnost takového jevu je natolik malá, že se s ním v praxi nikdy nesetkáme. Obdobně je to i s entropií – šance, že by začala v nádobě s plynem spontánně trvale klesat, není sice úplně nulová, v praxi se však můžeme naprosto spolehnout, že nic takového nikdy nespatříme.

Pokud to přesto uvidíte třeba ve filmu, můžete si být jistí, že film běží pozpátku. Pokud se například ve filmu cigaretový kouř shlukuje a mizí uvnitř zapálené cigarety, na místo aby vycházel z cigarety ven a stále více se rozptyloval po místnosti, každému bude intuitivně jasné, že čas běží pozpátku, což ve filmu samozřejmě není problém zařídit. V reálném světě ale entropická síla vždy nutí určité procesy probíhat jen jedním směrem – jak my fyzikové říkáme – nevratně.

Entropie a gravitace

V létě roku 2009 rozpracoval nizozemský profesor teoretické fyziky Erik Verlinde koncept gravitace coby entropické síly, který v lednu 2010 publikoval. Jeho článek ukazuje, že gravitaci (Newtonovu i Einsteinovu) lze odvodit ze statistického chování mikroskopických objektů, aniž by mezi nimi působila nějaká fundamentální síla. Gravitaci tak popsal jako emergentníEmergence – spontánní vznik kvalitativně nových makroskopických vlastností složitých systémů, jež není snadné odvodit z mikroskopických vlastností jednotlivých jejich prvků a vazeb mezi nimi. Tyto jevy mohou být zcela neočekávané a z hlediska obvyklého lidského chápání nové. Matematickým jazykem pro popis emergence je teorie komplexních systémů. sílu.

Erik Peter Verlinde (*1962)

Když rozbijeme v místnosti lahvičku s voňavkou, ucítíme ji po chvíli v celé místnosti. Je to způsobeno difúzí, při které se molekuly vůně pohybují chaoticky a postupně se šíří prostorem. Dokonce lze zavést tzv. termodynamickou sílu (je úměrná gradientu koncentrace vůně), která je z makroskopického hlediska za šíření vůně zodpovědná. Původ této síly je v růstu entropie na mikroskopické úrovni a jde o typický příklad entropické síly. Erik Verlinde založil svou teorii gravitace na dvou předpokladech:

Obr. 2: Informace lokalizovaná na hranici prostoru – 3D model

Verlindovo pojetí řeší zcela neobvykle existenci prostoru a času. Prostor a čas se automaticky vynoří v důsledku existence informace (entropie) na uzavřeném holografickém plátně (hranici oblasti). Stejně tak jako vznikne prostor a čas, je i zákon setrvačnosti důsledkem existence informace na hranici oblasti. Verlinde ukázal, že růst entropie v jeho holografickém světě vede na gravitační sílu. Gravitaci tak chápe jako entropickou sílu, což znamená, že gravitace jakožto fundamentální interakce neexistuje, je jen důsledkem statistického chování objektů mikrosvěta, stejně jako síla elastická. Základním vztahem pro entropickou sílu je energetická bilance

T ΔS = F Δx ,

(7)

kde TΔS je v klasické termodynamice tepelná energie, FΔx je práce vykonaná při pohybu částice. Předpokládejme, že prostoročas není spojitý, ale je tvořen celulární sítí buněk o Planckových rozměrech, jejichž povrch tvoří holografické plátno, na nějž se promítají veškeré informace z nitra oblasti (holografický princip).

Obr. 3: Informace lokalizovaná na hranici prostoru – 2D model

Obr. 4: Povrch sférického prostoru jako hologram

Obr. 5: Verlindova holografická plocha

Informací na povrchu jsou určeny vlastnosti prostoru a času a také rozložení hmoty M uvnitř oblasti. Nechť se v blízkosti oblasti pohybuje malá testovací částice o hmotnosti m. V důsledku jejího pohybu se změní entropie oblasti o

ΔS ~ m Δx ,

(8)

Změna entropie je úměrná hmotnosti částice (dělením větší hmoty získáme více informace) a velikosti posunu částice. Teplotu povrchu sféry určíme z následující úvahy. Energie hmoty uvnitř musí být dána ekvipartičním teorémem, tj.

Mc2 ~ NkBT /2 ,

(9)

kde N je počet informačních bitů úměrný ploše holografického plátna, tedy R². Odtud máme:

T ~ M / R 2.

(10)

Prostým dosazením posledních dvou vztahů do Verlindovy formule (7) pro entropickou sílu máme okamžitě

F ~ mM / R 2,

(11)

tedy Newtonův gravitační zákon. Nikde jsme přitom nepředpokládali, že by na mikroskopické úrovni existovala gravitační síla. Gravitace se vynořila z informace uložené na povrchu holografického plátna spolu s časem, prostorem i zákonem setrvačnosti.

V únoru 2011 se britským fyzikům a odborníkům na kvantovou teorii informace Samuelu Braunsteinovi a Manasu Patrovi z Univerzity v Yorku podařilo na základě Verlindových myšlenek odvodit spektrum Hawkingova vypařování černých děr bez použití časoprostoru zakřiveného obecnou relativitou. Publikovaný článek výrazně zdvihl vlnu zájmu o Verlindovu teorii gravitace.

Samuel Leon Braunstein (*1961), Manas Kumar Patra (*1978)

Po několika letech si Erik Verlinde uvědomil, že pokud má být gravitace důsledkem projevů mikrosvěta, nemůže opomenout kvantové fluktuace vakua, které jsou přirozeným projevem relací neurčitosti u vakuových polí. Vakuum v kvantovém světě není prázdné, vždy v něm zůstane určité množství fluktuací polí, z nichž se rodí páry částice-antičástice a opět zanikají. Dosti často se uvažuje o tom, že právě vakuové fluktuace jsou zodpovědné za zrychlenou expanzi vesmíru a jsou totožné s tzv. temnou energiíTemná energie – entita zodpovědná za zrychlenou expanzi vesmíru, která byla objevena na konci roku 1998 (Saul Perlmutter, Adam Riess). Temná energie tvoří 68 % hmoty a energie ve vesmíru. Hustota temné energie je velmi málo proměnná v čase i v prostoru, pokud vůbec. Nejnadějnějším kandidátem na temnou energii je energie vakuových fluktuací.. Erik Verlinde tyto fluktuace započetl jako další zdroj entropické síly do své hypotézy v roce 2016. Verlindeova gravitace se nyní tedy opírá o tři tvrzení: 1) gravitace je entropická síla způsobená růstem entropie subsystémů; 2) holografický princip: entropie, která je původcem gravitace, je lokalizována na projekční ploše; 3) zdrojem entropické síly jsou rovněž kvantové fluktuace vakua.

Gravitace má tedy dva zdroje: jeden na projekční ploše, který dává příspěvek odpovídající Newtonovu gravitačnímu zákonu, druhý souvisí s vakuovými fluktuacemi a generuje další příspěvek, který ale neubývá s druhou mocninou vzdálenosti. Přidáním dalšího postulátu se hypotéza stala teorií, která nabízí předpovědi odlišné jak od Newtonovy, tak od Einsteinovy gravitace, a je proto ověřitelná experimentálně.

V makroměřítkách teorie velmi přesně souhlasí s obecnou relativitou, v kosmologických měřítkách se však její předpovědi od obecné relativity měřitelně odchylují. Zatímco běžná gravitace by měla být součástí holograficky zakódované informace na dvourozměrné ploše (holografickém plátně), působí ve Verlindeově teorii ještě informace vnořená do samotné holografické mřížky, jíž Verlinde nazývá temnou gravitací (dark gravity). Její vliv přesně odpovídá efektu, který připisujeme temné hmotě – tajemné vesmírné substanci, jejíž působení na běžnou hmotu se projevuje v galaktických a supergalaktických měřítkách právě odchylkami od předpovědí klasické teorie gravitace.

U sféricky symetrické kupy galaxií předvídá Verlindova teorie na periferii nekeplerovské orbity – rychlost se vzdáleností ubývá výrazně pomaleji. To samé platí i pro jednotlivé sféricky symetrické galaxie. Zdá se, jako by fluktuace vakua řešily ve Verlindově pojetí gravitace jak problém temné energie (zrychlené expanze vesmíru), tak problém temné hmoty (k jejímu zavedení vedl právě nesoulad rotačních křivek s gravitačním zákonem). Z Verlindovy teorie totiž plyne oproti standardní teorii jakýsi nadbytek gravitačního působení, který lze interpretovat jako zdánlivou hustotu temné hmoty.

Margot Brouwer (*1988)

Životaschopnost entropické gravitace prověřila v roce 2016 Margot Brouwerová z nizozemské Leidenské observatoře, spolu se svými kolegy z Amsterodamské univerzity a dalších pracovišť z Austrálie, Velké Británie a Německa. Použili k tomu efekt gravitačního čočkováníGravitační čočka – efekt gravitační čočky předpověděl v roce 1924 ruský fyzik Orest Chvolson a v roce 1936 Albert Einstein. Hmotný objekt (zpravidla velká galaxie) ležící mezi zdrojem záření a pozorovatelem zakřivuje světelné paprsky podobně jako skleněná čočka v laboratoři. Jsou-li objekty dokonale na přímce, vznikne jako obraz vzdálené galaxie tzv. Einsteinův prstenec. Jsou-li objekty mimo osu, vznikne buď oblouk, několikanásobný obraz nebo zdeformovaný obraz vzdálené galaxie či kvazaru. První gravitační čočka byla objevena v roce 1979.. Brouwerová s kolegy zmapovala rozložení gravitace celkem 33 613 galaxií a své výsledky porovnala s Verlindevými předpověďmi. Shledala, že výsledky měření rozložení gravitace jsou v dobrém souladu s touto teorií.



*  *  *

Všechny bulletiny této série

Odkazy