PLANCKOVA KONSTANTA – KE ČTENÍ
Energie
Slovo energie slýcháme v nejrůznějších souvislostech. Ve fyzice tvoří jeden z deseti základních zákonů zachování, které souvisí s prostoročasovými symetriemi (energie, 3 projekce hybnosti, 3 projekce momentu hybnosti a 3 projekce spinu). Samotná energie souvisí s posunutím v čase. Představte si nějaký experiment, který spustíme v čase t0. Poté ho za stejných podmínek spustíme o něco později, řekněme v čase t0+Δt. Pokud dopadne v obou případech experiment stejně, hovoříme o tom, že situace je symetrická vůči posunutí v čase. Jedině v tomto případě platí zákon zachování energie.
Příklad: Vodičem protéká konstantní proud. Generuje magnetické pole, ve kterém se pohybuje elektron. Jeho energie se bude zachovávat, neboť nezáleží na tom, zda elektron vypustíme v blízkosti vodiče nyní nebo za okamžik. Pole bude v obou případech stejné. Pokud by vodičem protékal proměnný proud, energie elektronu se zachovávat nebude.
Energie v klasické mechanice
Najděme energii v nejjednodušším případě – při pohybu tělesa v jediné dimenzi v konzervativním silovém poli. Konzervativní pole je takové pole, které lze popsat jednou jedinou funkcí. Síla míří do minima této funkce. Představte si situaci jako hornatou krajinu. Síla míří vždy směrem do údolí. Funkci popisující tvar „krajiny“ nazýváme potenciální energie (Wp). Matematické vyjádření skutečnosti, že síla míří do minima potenciální energie má v jedné dimenzi tvar
| F = −∂Wp/∂x. | (1) |
Znaménko minus značí, že síla míří do minima. Ve třech dimenzích bychom měli tři složky síly a derivace potenciální energie podle třech prostorových proměnných (minus gradient). Obecně je potenciální energie funkcí času a prostoru Wp = Wp(t, x, y, z). Předpokládejme, že situace je symetrická vzhledem k posunutí v čase, potom potenciální energie na čase nezávisí (musí být stejná teď i za chvíli). V jedné dimenzi tedy závisí na jediné proměnné, Wp = Wp(x). Ve vztahu (1) při derivování není na výběr a parciální derivace se stane úplnou. Druhý Newtonův pohybový zákon (součin hmotnosti a zrychlení tělesa je roven síle) má nyní jednoduchý tvar
| m dv/dt = −dWp/dx. | (2) |
Jednoduchým přeskupením diferenciálů získáme
m (dx/dt)dv = −dWp ,
mv dv = −dWp ,
mv2/2 = −Wp + const.
Poslední provedená úprava je integrace. Z předpokladu existence časové symetrie jsme z Newtonovy pohybové rovnice odvodili zachovávající se veličinu, kterou nazýváme energie:
| E ≡ mv2/2 + Wp = const. | (3) |
Energie se skládá z kinetické části závisící na rychlosti a potenciální části závisící na poloze. Tato veličina se zachovává jen tehdy, pokud platí symetrie vzhledem k posunutí v čase, jak tomu bylo v úvodním příkladě.
Při pohybu těles ve sluneční soustavě je možné používat klasický vztah pro energii.
Energie v relativistické fyzice
Ve speciální relativitě je celková energie letící částice dána formulí
| E = γm0c2 ; γ = 1/(1−v2/c2)½. | (4) |
Někdy bývá zvykem kombinaci γm0 označovat jako pohybovou hmotnost m, není to ale ani nutné, ani zcela korektní. Z relativistické formule je zjevné, že pro urychlení částice s nenulovou klidovou hmotností m0 na rychlost světla by bylo zapotřebí nekonečné energie, proto se částice s m0 ≠ 0 nikdy nemohou pohybovat rychlostí světla. Tou se pohybují jen částice s nulovou klidovou hmotností (například foton). Kinetická energie je v relativitě chápána jako rozdíl celkové a klidové energie:
| Wk = γm0c2 − m0c2 . | (5) |
Jak tento vztah souvisí s klasickým vztahem pro kinetickou energii? Postačí provést lineární aproximaci (Taylorův rozvoj do prvního řádu výrazu γ v proměnné v2/c2):
Wk = γm0c2 − m0c2 = [γ−1]m0c2 = [(1−v2/c2)–½ – 1] m0c2 ≈ [1+v2/2c2– 1]m0c2 = m0v2/2 .
Relativistický vztah tedy zjevně přechází v nerelativistický, je-li rychlost částice malá vzhledem k rychlosti světla. Pro energii je užitečný ještě jeden vztah, kterému se říká Pythagorova věta o energii:
| E2 = m02c4 + p2c2 . | (6) |
Veličina p značí hybnost částice. Patrné je, že pro částice s nulovou hmotností (například foton), platí formule E = pc. Stejný vztah lze využít i pro relativistické částice s vysokou energií a hybností, pro které lze hmotový člen v (6) zanedbat. Částice s extrémními energiemi se chovají tak, jakoby měly nulovou klidovou hmotnost.
Simulace srážky v detektoru CMS na urychlovači LHC. Při pohybech částic s vysokými rychlostmi je třeba používat relativistické vztahy pro energii. Zdroj: CERN.
Energie v mikrosvětě
V mikrosvětě počítáme energii objektů z kvantové teorie. Pokud se podle klasické teorie může těleso vzdálit do nekonečna (není vázané na nějakou prostorovou oblast), je jeho energie spojitá. Například elektron, který se volně pohybuje prostorem, může mít libovolnou kladnou energii. Takový elektron není vázán na proton, tj. netvoří atom. Pokud se podle klasické teorie nemůže těleso vzdálit do nekonečna, má jeho energie v mikrosvětě jen diskrétní hodnoty. Příkladem je elektron v atomárním obalu, jehož energie například pro vodík může nabývat pouze hodnot
| En = − E1/n2 ; E1 = 13,6 eV, n = 1, 2, 3, ... . | (7) |
Základní stav (stav s nejnižší možnou energií) má minus 13,6 eV, druhý stav minus 3,4 eV atd. Elektron vázaný v obalu nemůže mít jinou energii, při přeskoku elektronu mezi dvěma hladinami musí být buď absorbován nebo vyzářen foton s energií rovnou rozdílu obou hladin. Pokud elektron získá dostatek energie, může atom opustit s libovolnou kladnou energií (pro E > 0 je spektrum spojité. Jiným příkladem je harmonický oscilátor (objekt v potenciální energii s parabolickým průběhem). Energetické spektrum takového objektu je
| En = ħω/2 + nħω ; ħ = 1,05×10–34 Js, n = 0, 2, 3, ... . | (8) |
Základní stav má energii ħω/2, jde o tzv. energii nulových kmitů. Kmity nelze nikdy zastavit, i při absolutní nule konají ionty v krystalu tyto nulové kmity. Rozdíl dvou sousedních hladin je konstantní a roven
| ΔE = ħω . | (9) |
Energii ħω má i foton úhlové frekvence ω. Energie jednoho jediného fotonu tedy závisí na frekvenci (barvě) fotonu. Energie světla (elektromagnetického záření) dané frekvence je potom násobkem základního kvanta ħω
| En = nħω , n = 0, 2, 3, ... . | (10) |
Někdy se namísto úhlové frekvence používá frekvence a namísto Planckovy konstanty ħ její starší vyjádření h. Hodnoty se liší faktorem 2π:
| ħω = hν ; h = 2πħ, ν = ω/2π . | (11) |
Jedna z představ atomu vodíku. Elektron je uvězněn v obalu jako vlna. Může mít jen takové energie, které odpovídají vlně o určitém počtu vlnových délek.
