DOPPLERŮV JEV – KE ČTENÍ
Vlnění: frekvence, perioda, vlnový vektor a vlnová délka
Vlnová funkce
Při teoretickém popisu musíme uchopit celou škálu všech možných vlnění. Od vody na rybníce, přes zvukové vlny až po elektromagnetický signál. Při vlnění se pravidelně mění hodnoty různých fyzikálních veličin: teploty, tlaku, rychlosti, hustoty, elektrického pole, magnetického pole atd. Aby byl zápis přehledný, využíváme pro všechny veličiny jeden jediný zástupný symbol, který označujeme řeckým písmenem psí: ψ(t, x). Takto zavedené veličině říkáme vlnová funkce a můžeme si za ní dosadit cokoli, co se vlní, tedy hustotu, teplotu, magnetické pole atd. Položíme-li t = konst, získáme časový snímek vlnění, například fotografii rozbouřeného moře. Položíme-li naopak x = konst, získáme průběh vlnění v jednom jediném místě, tedy kmitání (veličina závisí jen na čase). Při matematickém popisu vlnění je výhodné využívat komplexní funkce, význam skutečně měřitelných veličin mají jejich reálné části. Komplexní funkci můžeme rozložit – jako každé komplexní číslo – na amplitudu a fázi, tedy zapsat pomocí dvou reálných funkcí:
| ψ(t, x) = A(t, x) exp [iφ(t, x)] | (1) |
Amplituda A vypovídá o rozkmitu vlnění (může se místo od místa měnit) a fáze φ popisuje v jaké fázi vlny ten či onen bod právě je (zda v maximu, minimu, nulové poloze atd.). Plochy se stejnou fází nazýváme vlnoplochy, jsou dány rovnicí
| φ(t, x) = konst | (2) |
Vlnoplochy se přesouvají fázovou rychlostí, která nijak nesouvisí s přenosem hmoty a informace, a proto může být její hodnota libovolná (i vyšší než rychlost světla).
Obrázek podélného (longitudinálního) vlnění – body kmitají ve směru šíření vlny. Vlnovou funkcí může být hustota částic. Vlnoplochy hustotních vln se zjevně šíří doprava, jejich fázová rychlost je nenulová. Samotná látka se ale nepřesouvá, každý bod kmitá kolem fixní prostorové polohy.
Obrázek příčného (transverzálního vlnění) – body kmitají kolmo na směr šíření vlny. Fázová rychlost je opět nenulová, rychlost přenosu hmoty nulová. |
Úhlová frekvence, frekvence, perioda
Úhlovou frekvencí nazýváme časovou změnu fáze:
| ω ≡ ∂φ/∂t. | (3) |
Úhlová frekvence vlnění se může měnit jak s časem, tak místo od místa. Pokud je vlnění dostatečně pravidelné (například popsané jedinou sinovou či kosinovou funkcí), úhlová frekvence se nemění. Pak můžeme zavést periodu vlnění jakožto časový interval T, po kterém se fáze vlnění v daném místě opakuje. Za tuto dobu se fáze změní právě o 360°, tedy o 2π a pro úhlovou frekvenci platí jednoduchý vztah
| ω ≡ 2π /T. | (4) |
Úhlovou frekvenci měříme v jednotkách rad·s−1. Často je třeba měřit počet opakování děje za určitou časovou jednotku, zpravidla za sekundu. Tato veličina se nazývá frekvence, měříme ji v hertzích (Hz = s−1) a je definována vztahem
| f ≡ 1 /T. | (5) |
Například frekvence 50 Hz znamená, že děj se opakuje padesátkrát za sekundu. Mezi oběma frekvencemi platí jednoduchý vztah
| ω ≡ 2π f. | (6) |
Vlnový vektor, vlnová délka
Vlnovým vektorem nazýváme změnu fáze s prostorovými souřadnicemi x, y, z. Jde tedy o tři veličiny, které tvoří vektor:
| kx ≡ ∂φ/∂x, ky ≡ ∂φ/∂y, kz ≡ ∂φ/∂z, neboli zkráceně k ≡ grad φ. | (7) |
Vlnový vektor se může měnit jak s časem, tak místo od místa. Pokud je vlnění dostatečně pravidelné (například popsané jedinou sinovou či kosinovou funkcí), vlnový vektor se nemění. Pak můžeme zavést periodu vlnění jakožto prostorový interval λ, na kterém se fáze vlnění v daném čase opakuje. Na této vzdálenosti se fáze změní právě o 360°, tedy o 2π. Pokud zvolíme jednu z os ve směru šíření vlnění, bude mít vlnový vektor jedinou nenulovou složku v této ose. Ta bude současně velikostí vlnového vektoru a bude pro ni platit jednoduchý vztah
| k = 2π/λ. | (8) |
