DOPPLERŮV JEV – KE ČTENÍ
Vlnění: frekvence, perioda, vlnový vektor a vlnová délka
Zvuk a ultrazvuk
Taylorův rozvoj
Taylorův rozvoj je velmi užitečný matematický postup, při kterém nahradíme funkci nekonečnou mocninnou řadou. V praxi se vždy omezíme na polynom do určitého stupně. Pokud se omezíme na polynom prvního stupně, hovoříme o lineární aproximaci, danou funkci nahrazujeme ve zvoleném bodě tečnou. Pokud se omezíme na polynom druhého stupně, nahrazujeme danou funkci ve zvoleném bodě parabolou. Vyšší stupeň polynomu znamená lepší přiblížení zvolené funkce. Metodu polynomiálního rozvoje zformuloval anglický matematik sir Brook Taylor (1685–1731). Obecný vztah pro Taylorův rozvoj je
| f(x) = a0 + a1(x−c) + a2(x−c)2 + a3(x−c)3 + ··· ; ak = f (k)(c)/k! | (1) |
Bod, ve kterém provádíme rozvoj je označen c, koeficienty rozvoje ak jsou dány podílem k-té derivace zvolené funkce v bodě c a faktoriálu k. Základní podmínkou, aby rozvoj konvergoval ke zvolené funkci na určitém intervalu je, aby tato funkce měla na celém intervalu všechny své derivace.
Rozvoje některých elementárních funkcí
V mnoha případech se omezujeme na rozvoj v počátku, tj. v okolí bodu c = 0. Uveďme užitečné rozvoje některých známých funkcí:
| exp(x) = 1 + x + x2/2! + x3/3!+ x4/4! + ··· ; | (2) |
| sin(x) = x − x3/3!+ x5/5! − x7/7! + ··· ; | (3) |
| cos(x) = 1 − x2/2! + x4/4! − x6/6! + ··· ; | (4) |
| sinh(x) = x + x3/3!+ x5/5! + x7/7! + ··· ; | (5) |
| cosh(x) = 1 + x2/2! + x4/4! + x6/6! + ··· ; | (6) |
| ln(1+x) = x − x2/2 + x3/3 − x4/4 + ··· ; | (7) |
| 1/(1−x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + ··· . | (8) |
Některé rozvoje si lze snadno zapamatovat. Exponenciála má všechny mocniny x dělené příslušným faktoriálem. Siny mají jen liché mocniny, kosiny jen sudé mocniny. Trigonometrické rozvoje střídají znaménka (tím je dosaženo periodičnosti), hyperbolické rozvoje nestřídají znaménka. U logaritmické funkce platí rozvoj jen na definičním oboru této funkce. Poslední rozvoj je geometrická řada s kvocientem x. Rozvoj konverguje jen pro |x| < 1.
Vyzkoušejte si
V následujícím apletu si můžete vyzkoušet polynomiální náhradu nejrůznějších funkcí. V horním řádku jsou předpřipravené některé zajímavé příklady. Aplet je součástí celého balíku matematických apletů, které vytvořili David Eck a Thomas Downey. Aplety jsou volně šiřitelné pod licencí Creative Commons.
V prvním příkladu najdete Taylorův polynom druhého stupně pro funkci cos x. Kosinus je vykreslen fialově, polynom (v tomto případě parabola) modře. Prvním jezdcem můžete změnit stupeň polynomu. Druhý jezdec posouvá bod, ve kterém je proveden rozvoj. Poslední jezdec pohybuje černým bodem se souřadnicí x po polynomu. Můžete sledovat, jak se hodnota vypočtená z rozvoje liší od skutečné hodnoty. Rozdíl je zapsán v levém horním rohu apletu (hodnota Error). V druhém příkladu si můžete pohrát s funkcí sinus a ve třetím s exponenciální funkcí. Ve čtvrtém příkladu je ukázka rozvoje funkce 1/(1−x), která nesplňuje podmínky rozvoje (nemá všechny derivace na celé reálné ose) a Taylorův rozvoj konverguje jen v té části funkce, kde se nachází bod c. Zkuste pohnout bodem c, zvýšit přesnost rozvoje atd. Pro c = 0 jde o geometrickou řadu (8), která konverguje jen pro |x| < 1. Ověřte! V poli f (x) můžete zapsat vlastní funkci, jejíž rozvoj chcete prozkoumat.