DOPPLERŮV JEV – KE ČTENÍ

Vlnění: frekvence, perioda, vlnový vektor a vlnová délka

Zvuk a ultrazvuk

Taylorův rozvoj

Lineární aproximace

Lineární aproximace funkcí je jedním z nejčastěji používaných matematických obratů. Funkci v daném bodě nahradíme její tečnou, což je v těsném okolí bodu dotyku zpravidla dostačující přiblížení. S lineární funkcí se pracuje snáze než s funkcí původní. Lineární aproximaci lze chápat jako Taylorův rozvoj do prvního řádu:

f(x) ≈ f(a) + f′(a)·(x−a).

(1)

Uvedená aproximace platí jen v malém okolí bodu a. Pokud aproximujme v okolí počátku (a = 0), je aproximace planá pro |x| << 1. Uveďme nyní užitečné lineární aproximace některých důležitých funkcí:

exp(x) ≈ 1 + x;	(2)
sin(x) ≈ x;	(3)
cos(x) ≈ 1;	(4)
sinh(x) ≈ x;	(5)
cosh(x) ≈ 1;	(6)
ln(1+x) ≈ x;	(7)
(1±x)^p ≈ 1 ± px.	(8)

Všechny vztahy platí pro |x| << 1. Poslední vztah je pro kladné celočíselné p začátkem binomického rozvoje. Platí ale i pro neceločíselná p, lze ho využít například k aproximaci odmocnin nebo výrazů typu 1/(1±x).

Příklady

Uveďme bez hlubších komentářů několik příkladů, které využívají lineární aproximaci. Nezapomeňte, že argument trigonometrických funkcí musíte vyjádřit v radiánech. Nejprve odhadněme za pomoci lineární aproximace odmocninu z 24:

√24 = √(25−1) = 5√(1−1/25) = 5(1−0.04)^1/2 ≈ 5(1− ½·0.04) = 4.9.

Správný výsledek je 4.8989794. Pokud obě čísla od sebe odečteme, budou se lišit o přibližně o jednu tisícinu. Při výpočtu jsme využili rozvoj (8), neboť argument 0.004 je dostatečně malý oproti 1. Nyní zkusme vypočítat sinus malého argumentu, tj. ověřit, zda pro malá x platí, že sin x ≈ x, tedy funkci sinus lze nahradit přímo jejím argumentem. Zvolme například úhel 4°:

sin 4° ≈ 4° = 4°·2π/360° rad = 8π/360 = 0.069813.

Správný výsledek je 0.0697564. Oba výsledky se od sebe liší o pouhých 6 stotisícin. Tento příklad souvisí s matematickým kyvadlem. Na malou kuličku zavěšenou na nehmotném závěsu působí síla úměrná sinu úhlu výchylky závěsu z rovnovážné polohy. Pokud tento sinus můžeme nahradit argumentem, hovoříme o matematickém kyvadlu. Zpravidla se udává, že kuličku na nehmotném závěsu můžeme považovat za matematické kyvadlo až do výchylky 5°. Prohlédněte si, jak se sinusovka liší od argumentu v následujícím apletu (druhý předpřipravený příklad). Na závěr si ukážeme, jak lze v některých případech jednoduše převést jmenovatele na čitatele:

1/(1+0.01) = (1+0.01)⁻¹ ≈ 1 − 0.01; 1/(1−0.01) = (1−0.01)⁻¹ ≈ 1 + 0.01.

Zjistěte, jak se tyto aproximace liší od skutečných hodnot! Pro malé hodnoty x platí jednoduché převody: 1/(1−x) ≈ 1+x, případně 1/(1+x) ≈ 1−x. Čitatel tedy můžeme převést na jmenovatele tak, že zaměníme znaménko. To je důležité pro Dopplerův jev, při kterém pozorovaná frekvence při pohybu zdroje vychází dělená faktorem (1±v/c) a při pohybu pozorovatele naopak násobená faktorem (1±v/c). Pro malou hodnotu v/c je výsledek v podstatě totožný, neboť jmenovatele můžeme převést na čitatele (v je rychlost zdroje nebo pozorovatele, c je rychlost šíření signálu). Nezáleží proto na tom, zda se pohybuje zdroj nebo pozorovatel.

Vyzkoušejte si

V následujícím apletu si můžete vyzkoušet lineární aproximaci nejrůznějších funkcí. V horním řádku jsou předpřipravené některé zajímavé příklady. Aplet je součástí celého balíku matematických apletů, které vytvořili David Eck a Thomas Downey. Aplety jsou volně šiřitelné pod licencí Creative Commons.

V prvním předpřipraveném příkladu je znázorněna parabola. Fialový bod je místem konstrukce tečny. Černý bod leží na tečně a je aproximací modrého bodu, který je na původní křivce. Prvním jezdcem volíte polohu na tečně resp. křivce. Druhým jezdcem ovlivníte místo na křivce, ze kterého je tečna vedena. V dalším předpřipraveném příkladu si můžete pohrát s aproximací sinusovky argumentem v okolí počátku. Poslední předpřipravený příklad aproximuje sinusovku tečnou v okolí maxima. V poli f (x) můžete zapsat vlastní funkci, jejíž aproximaci chcete prozkoumat.